圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题、圆锥曲线新定义问题专项训练-2025届高三数学三轮复习

圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题、圆锥曲线新定义问题专项训练 圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题、圆锥曲线新定义问题专项训练 考点一 三角形面积问题 1．（2025·安徽黄山·二模）平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）设到定直线的距离为， 依题意，可得，化简得， 即曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：， 则圆的圆心到直线的距离，即 ① 由消去，可得， 由，可得， 设，则， 则 ， 将①式代入，化简得：， 因点到直线的距离为， 则的面积为， 设，则，， 因，当且仅当时取等号， 此时， 的面积的最大值为. 2．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为. (1)求椭球面C对应的椭球体的体积； (2)已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A. ①证明：点A在定直线上； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由题得； （2） ① 当时，得椭圆，右焦点F， 当直线l的斜率存在时，设l：，， 与椭圆联立得， ， 此时过M，N时的切线方程分别为， 联立求得的坐标为， ， 所以在直线上； 当直线l的斜率不存在时，其方程为，，代入椭圆方程解得， 所以此时，， 联立解得，也在直线上， 所以点A在定直线上； ②当直线l的斜率存在时， 由①得，所以， 此时， 到直线l的距离， 所以 ， 显然当增大时，和都为正，且都在变小，所以也在变小， 当趋近于正无穷大时，趋近于， 当趋近于0时，趋近于正无穷大， 由①知，当直线l的斜率不存在时，， 所以取值范围为. 3．（2025·江西南昌·二模）己知抛物线，过点作斜率大于直线与曲线交于、两点.原点关于的对称点为记为点. (1)求证：： (2)当在抛物线上时，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设、， 由题意，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程得，则， 由韦达定理可得，，， ，所以. （2）设关于直线的对称点，则， 解得，，即， 又因为点在抛物线上，则，解得 所以，，， 所以， 所以. 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4． (1)求p； (2)若点G在M上，是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）圆，即的圆心，半径， 抛物线的焦点为，， 由点与圆上点的距离的最小值为4，得， 所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，即，求导得， 设点，切线的方程为， 即，即，同理，切线的方程为， 由点为两条切线的交点，得，点的坐标满足方程， 因此直线的方程为，由消去得， 由点G在M上，得，则，，， 于是， 点到直线的距离为， 因此， 而，当且仅当时取等号， 所以的面积取最大值. 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点，线段的长为8. (1)求的值； (2)在轴的正半轴上存在点使得求点的坐标及三角形的面积； (3)若直线与抛物线交于两点，与圆交于两个不同的点求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3)2 【详解】（1）解：由焦点，设直线，代入抛物线得：， 根据抛物线定义，， 所以，可得； （2）设，， 由，得， 联立和，所以，故得， 有，代入得， 解得或（舍去）． 所以点的坐标为， 又点到直线的距离， 所以三角形的面积． （3）如图所示： 结合几何性质，设的中点为， 则， 设圆心到直线的距离为，则， 所以， 设点，则， 所以当时，即时，最小值为． 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的方程可化为   ∴圆心,半径 ∵  ∴ ∴圆心到直线的距离， 即，解得. （2）由（1）， 到的距离，     ∴，     ∴的面积为. 7．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若O是坐标原点，，求的面积； (3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)32 (3)证明见解析 【详解】（1）（1）由双曲线C的离心率为，且点在双曲线C上， 可得，解得，，所以双曲线C的方程为 （2）设，，由（1）可知双曲线C的左焦点为，所以可设直线l的方程为， 当时，易知，不合题意，故． 由，即，消去x，得，其中， 所以． 记直线l的倾斜角为，由，得， 由，得，解得（舍去）或， 所以，故． （3）由题意设直线l的方程为，设，， 由直线AP：，得，则， 又， 所以 ． 由，消去x，得，其中， 则，，，所以． 因为，所以， 所以，即为定值． 8．（24-25高二上·湖南常德·期末）已知抛物线（）的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点，，点在第一象限，为坐标原点. (1)求的最小值（用表示）； (2)若直线与抛物线的准线交于点 （ⅰ）求证：轴； （ⅱ）若直线的斜率大于零，的中点为，过点作直线的垂线交抛物线的准线于点，与的面积相等，求直线的斜率. 【答案】(1). (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，整理得， 所以，， ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. （2）（ⅰ）易知直线的方程为，则， 由（1）知，所以，所以轴. （ⅱ）过点的垂线方程为，所以与准线的交点为， 则，所以，则， 又， ， 记点，到直线的距离分别是，， 由相似知 所以， 由条件知，化简得， 解得，因为直线的斜率大于零， 所以直线的斜率. 考点二 四边形面积问题 1．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）在直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为. （i）设，若，求点坐标； （ii）设两直线与在轴上方（包括轴）的交点分别为或，记三角形和四边形面积分别为，若恒成立，求的最大值. 【答案】(1)当时，；当时， (2)（ⅰ） ；（ⅱ）8 【详解】（1）设，由题意可知，， 当时，，两边平方，化简整理得； 当时，，两边平方，化简整理得 故轨迹的方程为：当时，；当时，. （2）（ⅰ）由题意可知，设，， 由，则，所以， 则直线的方程为 令，则，故. 又，故，，故， 解得（负值已舍去），则点坐标为 .    （ⅱ）当点在上时，设点坐标为，切点M，N的坐标分别为和. 不妨设，则直线PM的方程为， 将代入可得，解得 由，可得，， 联立和可得，解得， 设Q，R的坐标分别为和， 不妨设，则，同理可知， 故直线QR的斜率为， 直线QR的方程为， 点P到直线QR的距离为 又，故， 当点在上时，设P点坐标为，， 设切点M，N的坐标分别为和， 不妨设，则直线PM的方程为， 将代入可得，解得由，可得， 联立和可得，解得 设S，T，Q，R的坐标分别为，和，. 不妨设， 由于四边形STQR为等腰梯形， 则 又，恒成立，则，故的最大值为    2．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线的标准方程； (2)线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析;②9 【详解】（1）因为抛物线焦点为， 则，即， 所以直线， 代入抛物线方程可得：， 即， 则，由题意，解得， 所以所求抛物线方程为. （2）①证明：设. 若，则直线斜率不存在， 由对称性，可知均在轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：方程：， 方程：.设， 因，则. 则直线与轴平行，设直线与线段交点为. 将代入直线方程， 则； 将代入直线方程， 则. 注意到 ，又，则两点重合， 即为线段与交点，且点三点共线； ②由（2），直线与轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 如图， 过作平行线，交为，则四边形为平行四边形， 结合，则. 因，则，结合， 则，又M为中点，则E为NC中点.则， 则四边形的面积 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知点，动点在以点为圆心，4为半径的圆上，若线段的中垂线交线段于点为坐标原点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若轨迹交轴正半轴于点，过线段（不含端点）上一动点，作斜率分别为1和的两条直线，若交轨迹于两点，交抛物线于点两点，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）线段的中垂线交线段于点，则， 且，则， 根据椭圆定义可知点的轨迹为椭圆. 设椭圆方程为，其中为半焦距. 由，可得，又，根据，可得. 点的轨迹方程为. （2）由（1）易知，设， 设直线与椭圆联立： 联立方程，将代入椭圆方程得. 设，由韦达定理得. 计算，得.   设直线与抛物线联立： 联立方程，将代入抛物线方程得. 设，由韦达定理得. 计算，因为， 所以，得.   因为，所以. 记，求导得. 令，即，解得，所以在上单增，同理在上单减. 所以，则.   四边形的面积的最大值为，此时为椭圆的右焦点.    4．（24-25高二上·广东广州·期末）已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点. （i）证明：； （ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）依题意，，而半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由（1）知，椭圆：，设，， 由消去得， 则，，， 由以为直径的圆过原点，得， 整理得，则， 即，则，此时成立， 所以. （ii）设线段中点为，则，结合图可知，， 又， 由，得点坐标为，， 于是，化简得，即， 则， 所以四边形面积的取值范围为. 5．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)32. 【详解】（1）由已知，抛物线的准线方程为. 因为直线与椭圆相交所得弦长为. 结合椭圆的对称性， 可得直线与椭圆相交弦的一个端点坐标是， 将代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线的方程为. （2） 如图，设圆心的坐标为， 由在抛物线上，可知到轴距离为，， 则， ， 故圆心在抛物线上运动时，弦的长为定值4. （3） 由（1）知. 易知，直线，的斜率存在且不为零， 如图，设直线，的方程分别为，， 点、， 由得， ，， 则， 同理可得， 所以四边形的面积为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为32. 6．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．求四边形的面积的最大值； 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设椭圆的方程为，由椭圆过点，得， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，，则， 设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，，， 四边形的面积， 当且仅当时取等号，所以四边形的面积的最大值为. 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，，，动点P满足：，记动点P的轨迹为曲线G，过点A的直线与曲线G交于C、D两点. (1)求曲线G的方程； (2)若过A且与垂直的直线与曲线G交于E，F，求四边形面积S的最大值； (3)若点Q满足：且，证明：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)7 (3)证明见解析 【详解】（1）设，可得 化简得：，即曲线G的方程为： （2）如图，    当直线斜率不存在时，为圆G的直径，即    当直线斜率为0时，同理可得 当直线斜率存在不为0时，设斜率为k，则斜率为 则方程为：，即，圆心O到距离为： ，同理 ，当且仅当，即取等号， 又，∴四边形面积S的最大值为7. （3）设，，，由，， 可得，① 当斜率为0，不妨设，，可得，即Q在直线上 当斜率不为0，设，此时， 由①式，可得，整理得 由 ， ，，即Q在直线上 综上，Q在定直线上. 8．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知在平面直角坐标系内，点到直线的距离是到点的距离的倍，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程， (2)已知上一动点，过且垂直于的直线交曲线于两点，线段的中点为. ①证明：共线： ②若曲线上存在点，使得，且.求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设，因为，所以，整理得 （2） ①    根据（1）可得曲线是椭圆，,右焦点为. 因为点在直线上，故可设，则. 又因为，故直线方程为：，代入整理得. 设，则，，. 设中点，则， 直线，所以， 则在直线上，即共线； ②因为，则， 代入得, 即. 方法1：因为，所以四边形面积 . 方法2： . 考点三 圆锥曲线新定义问题 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【详解】（1）因为椭圆是等差椭圆，所以， 所以，又， 所以， 化简得. （2）由且可知，，. 所以椭圆方程为，如图， 联立直线得， ，，设，， 则，， ，， ，，， 把，代入，得， 所以存在实数，使得. 2．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. (1)求“倒影椭圆”C的方程； (2)求“倒影椭圆”C的面积； (3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设， 由“倒影距离”的定义可知，， ， 由题意，即， 所以“倒影椭圆”C的方程为； （2）由， 得， 当时，， 当时，由对称性知，， 其图象如图所示， 故“倒影椭圆”C的面积； （3）由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为，且经过点， 可得椭圆的方程为， 由（2）知，， 由题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消得， 则恒成立， 则， 线段得中点为，即， 又， 则线段的中垂线的方程为， 即， 同理线段的中垂线的方程为， 设的外接圆的圆心的坐标为， 则是方程的两根， 所以， 又， 所以，整理得， 则，即， 所以直线与的斜率之积为定值. 3．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的共轭点分别记为， ， 直线的方程为， 联立得， ， ； （2）点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入， 得，即， ， ， 当时，易知，对应共轭点为， 此时，故也成立， ，当且仅当时等号成立； （3）由（2）知，对任意点，都有， ， 点到直线的距离为， 的面积， 故的面积为定值. 4．（24-25高二上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. (1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; (2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; (3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）由已知得，又， 且直线过点， 的方程; （2）（2）设直线的斜率分别为， 则. 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； （3）设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析；定点 【详解】（1）由椭圆的长轴长为， 则，解得， 又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在， 故设直线，， 联立方程，消去得， ， ，即， 所以，， 则 . 又，所以，得证.    （3）当中有横坐标为时，纵坐标为， 则或， 直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在. 由（2）得，，又， 所以，所以是和的交点. 因为，所以，设， 则，所以，直线的方程为， 即， 令得，所以恒过定点.    6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义：若曲线和上分别存在点，关于原点对称，则称点和点为和的一对“关联点”. (1)若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程. (2)若上任意一点的“关联点”为点，求的取值范围. (3)若和有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设点，则点的“关联点”为， 将点的坐标代入，得， 即，所以点所在的曲线方程为. （2）设，则根据对称性得， 因为曲线关于轴对称， 当时，设，，， 所以， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. （3）和有且仅有两对“关联点”等价于曲线和有且仅有两个交点， 即，化简可得， 令，则. （i）若，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. ①当时，，即， 则没有零点，不满足题意. ②当时，，只有一个零点，不满足题意. ③当时，，即， 当时，，， 因为，所以，故， 又，所以在上有一个零点. 设，则，单调递增，所以， 则当时，， 又，所以，因此在上有一个零点. 故当时，有两个不同的零点，满足题意. （ii）若，则由，得，. ①当时，，当时，； 当时，； 当时，. 所以在和上单调递减，在上单调递增. 又，所以至多有一个零点，不满足题意. ②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意. ③当时，，当时，； 当时，；当时，. 所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，所以至多有一个零点，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 7．（2024·四川·一模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）设直线， 联立，得， 得 由韦达定理可知： 由题可知： 因为面积的最小值为，且， 所以. （2）设， 由题可知，，两式求差可得 所以， 所以直线方程为，整理得 同理：方程为： 令可得 可知，方程为： 因为过焦点，所以有 方程为： 令可得 由，可知 因为， 得 取对数可得 由题可知， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以有 解得 （3）不存在，理由如下 假设存在，则一定有 因为，得 化简得 因为 显然 所以在无解； 故不存在连续的三项为等差数列. 8．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，并按这样的规律继续下去． (1)求． (2)求证：不存在正整数，使得三角形的面积为2022; (3)求证：对于任意正整数，三角形为锐角三角形． 【答案】(1)5；4 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由两点间距离公式得， 由题意得，，所以. （2），，而不可能等于， 故不存在正整数，使得三角形的面积为. （3），，， 因为，所以在三角形中， 为最大角，由余弦定理得，，则为锐角， 即三角形为锐角三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题、圆锥曲线新定义问题专项训练 圆锥曲线：三角形面积问题、四边形面积问题、圆锥曲线新定义问题专项训练 考点一 三角形面积问题 1．（2025·安徽黄山·二模）平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 2．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为. (1)求椭球面C对应的椭球体的体积； (2)已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A. ①证明：点A在定直线上； ②求面积的取值范围. 3．（2025·江西南昌·二模）己知抛物线，过点作斜率大于直线与曲线交于、两点.原点关于的对称点为记为点. (1)求证：： (2)当在抛物线上时，求三角形的面积. 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4． (1)求p； (2)若点G在M上，是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点，线段的长为8. (1)求的值； (2)在轴的正半轴上存在点使得求点的坐标及三角形的面积； (3)若直线与抛物线交于两点，与圆交于两个不同的点求的最小值. 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 7．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若O是坐标原点，，求的面积； (3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值． 8．（24-25高二上·湖南常德·期末）已知抛物线（）的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点，，点在第一象限，为坐标原点. (1)求的最小值（用表示）； (2)若直线与抛物线的准线交于点 （ⅰ）求证：轴； （ⅱ）若直线的斜率大于零，的中点为，过点作直线的垂线交抛物线的准线于点，与的面积相等，求直线的斜率. 考点二 四边形面积问题 1．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）在直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为. （i）设，若，求点坐标； （ii）设两直线与在轴上方（包括轴）的交点分别为或，记三角形和四边形面积分别为，若恒成立，求的最大值. 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线的标准方程； (2)线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知点，动点在以点为圆心，4为半径的圆上，若线段的中垂线交线段于点为坐标原点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若轨迹交轴正半轴于点，过线段（不含端点）上一动点，作斜率分别为1和的两条直线，若交轨迹于两点，交抛物线于点两点，求四边形的面积的最大值. 4．（24-25高二上·广东广州·期末）已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点. （i）证明：； （ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围. 5．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 6．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．求四边形的面积的最大值； 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，，，动点P满足：，记动点P的轨迹为曲线G，过点A的直线与曲线G交于C、D两点. (1)求曲线G的方程； (2)若过A且与垂直的直线与曲线G交于E，F，求四边形面积S的最大值； (3)若点Q满足：且，证明：点Q在定直线上. 8．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知在平面直角坐标系内，点到直线的距离是到点的距离的倍，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程， (2)已知上一动点，过且垂直于的直线交曲线于两点，线段的中点为. ①证明：共线： ②若曲线上存在点，使得，且.求四边形面积的取值范围. 考点三 圆锥曲线新定义问题 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 2．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. (1)求“倒影椭圆”C的方程； (2)求“倒影椭圆”C的面积； (3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 3．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 4．（24-25高二上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. (1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; (2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; (3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义：若曲线和上分别存在点，关于原点对称，则称点和点为和的一对“关联点”. (1)若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程. (2)若上任意一点的“关联点”为点，求的取值范围. (3)若和有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围. 7．（2024·四川·一模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由. 8．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，并按这样的规律继续下去． (1)求． (2)求证：不存在正整数，使得三角形的面积为2022; (3)求证：对于任意正整数，三角形为锐角三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$