北师大版高中数学必修四　课件：第一单元第4课正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式（2份打包）

课时目标 (1)了解单位圆的概念； (2)理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义； (3)理解三角函数的周期性. 知识点1 单位圆的定义 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆. 知识点2 正弦函数、余弦函数 一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sinα；点P的横坐标u叫做角α的余弦函数，记作u＝cosα . 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sinx和y＝cosx.它们的定义域为全体实数，值域为[－1,1]. 知识点3 正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sinα ＋ ＋ － － cosα ＋ － － ＋ 讲重点 对三角函数定义的理解 (1)任意角的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，角的大小(自变量的取值)可以是任意实数． (2)一个任意角α的三角函数值的大小只依赖于角α的大小(即只与这个角的终边的位置有关)． (3)正弦、余弦都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．由于角的大小与实数之间可以建立起一一对应的关系，故三角函数可以看成自变量为实数的函数． ①“sinα”不是“sin”与“α”的乘积，而是一个值；“sinα”是一个整体，单独的“sin”、“cos”是没有意义的． ②角、实数和三角函数值之间的对应关系． 角与实数是一对一的，角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示： 知识点4 公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα，k∈Z； cos(α＋k·2π)＝cosα，k∈Z. 由此我们可以得到如下结论： 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 讲重点 诱导公式一的几点说明 (1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°＋α)＝f(α)或f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式，其中对应法则f为三角函数． (2)当用弧度表示时，必须写成k·2π而不是k·π的形式，其中k∈Z. (3)诱导公式一说明了终边相同的角的同一三角函数值相等这个结论，即角和三角函数值的对应关系是多对一，如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应． (4)诱导公式一的作用在于：可把任意角的三角函数值转化为0～2π(或0°～360°)之间角的三角函数值. 知识点5 周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对于定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的周期． (2)最小正周期 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期． 讲重点 关于周期函数和最小正周期的理解 (1)周期函数的定义是针对定义域中每一个x值而言的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)不能说明T是f(x)的周期． (2)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果没有特别指明，一般都指它的最小正周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期． (4)周期函数的周期不唯一，若T是f(x)的周期，则kT(k∈Z，k≠0)一定也是f(x)的周期． 类型一 用三角函数的定义求三角函数值 【例1】　若点P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上，求sinα，cosα的值． 思维启迪：抓住正弦、余弦的定义是解决本题的关键． 解析：点P(2m，－3m)(m＜0)在第二象限， 且r＝－eq \r(13)m，故有： sinα＝eq \f(－3m,r)＝eq \f(－3m,－\r(13)m)＝eq \f(3\r(13),13)，cosα＝eq \f(2m,r)＝eq \f(2m,－\r(13)m)＝－eq \f(2\r(13),13). 点评：　 已知m＜0，所以可判定点P(2m，－3m)在第二象限，且r＝－eq \r(13)m，这一点必须注意. 变式训练1　若α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq \f(\r(2)x,4)，则sinα＝__________. 解析：由题意，得r＝eq \r(x2＋5).∴cosα＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2)x,4)，∴x＝±eq \r(3). ∵α是第二象限角，∴x＜0，x＝－eq \r(3)， ∴sinα＝eq \f(\r(5),\r(8))＝eq \f(\r(10),4). 答案： eq \r(\f(10,4)) 类型二 三角函数值的符号判定