北师大版高中数学必修四　课件第二单元第4课平面向量的坐标（2份打包）

知识点1 向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点2 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作eq \o(OP,\s\up16(→))＝a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得eq \o(OP,\s\up16(→))xi＋yj，因此a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示． 讲重点 对向量的坐标表示的理解 (1)a＝xi＋yj是根据平面向量基本定理得出的，因此，x，y既是存在的又是唯一的； (2)向量a有两种写法，即a＝xi＋yj＝(x，y)； (3)由向量的坐标的定义得：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)； (4)两向量相等当且仅当它们的坐标相等． 释疑点 点的坐标与向量的坐标的关系 在平面直角坐标系中，由于相等向量的存在，因此平面内所有与a相等的向量，都可以由以原点O为起点的向量eq \o(OP,\s\up16(→))来表示，其中a＝eq \o(OP,\s\up16(→))，由于a＝(x，y)，所以eq \o(OP,\s\up16(→))＝(x，y)，因此点P的位置被向量a唯一确定，此时(x，y)即是点P的坐标．这里的点P的坐标之所以与向量的坐标一致，关键就在于起点为坐标原点O.换句话说，若起点不是坐标原点O，则其相应的终点的坐标便不再是向量的坐标．若两个向量坐标相同，则这两个向量为相等向量．在直角坐标系中，点和向量都可以看作是有序实数对的直观形象. 知识点3 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量积的坐标等于实数与向量的相应坐标的乘积． 类型一 平面向量的坐标表示 【例1】　在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 思维启迪：题目中给出了向量a、b、c的模以及与坐标轴的夹角，要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形式，然后写出其相应的坐标． 解析：设a＝(x1，y1)， 则x1＝2·cos45°＝eq \r(2)，y1＝2·sin45°＝eq \r(2)， ∴a＝(eq \r(2)，eq \r(2))． 设b＝(x2，y2)， 则x2＝3·cos120°＝－eq \f(3,2)，y2＝3·sin120°＝eq \f(3\r(3),2)， ∴b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))). 设c＝(x3，y3)， x3＝4·cos330°＝2eq \r(3)，y3＝4·sin330°＝－2， ∴c＝(2eq \r(3)，－2). 向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，从以下两个方面考虑：一是相等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标． 变式训练1　(1)如图所示，在正方形ABCD中，O为中心，且eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－1，－1)，试求eq \o(OB,\s\up16(→))、eq \o(OC,\s\up16(→))、eq \o(OD,\s\up16(→))的坐标． (2)已知点O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°，求向量eq \o(OA,\s\up16(→))的坐标． 解析：(1)eq \o(OC,\s\up16(→))＝－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)． 由正方形的对称性得B(1，－1)， ∴eq \o(OB,\s\up16(→))＝(1，－1)，同理eq \o(OD,\s\up16(→))＝(－1,1)． (2)如图所示，利用三角函数的定义，可得： sin60°＝eq \f(y,|\o(OA,\s\up16(→))|)，cos60°＝eq \f(x,|\o(OA,\s\up16(→))|)， 所以y＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|·sin60°＝4eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6， x＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|·cos60°＝4eq \r(3)×eq \f(1,2)＝2eq \r(3)， ∴A(2eq \r(3)，6)， ∴