北师大版高中数学必修四　课件：第三单元第2课两角和与差的三角函数（3份打包）

课时目标 (1)熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程； (2)熟记并灵活运用两角差的余弦公式. 知识点 两角差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β为任意角 讲重点 对两角差的余弦公式的记忆和理解 (1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式． (2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角． (3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)等． 类型一 化简求值 【例1】　求值： (1)sin460°·sin(－160°)＋cos560°·cos(－280°)； (2)cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)． 思维启迪：可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解． 解析：(1)原式 ＝－sin100°·sin160°＋cos200°·cos280° ＝－sin100°·sin20°－cos20°·cos80° ＝－(cos80°·cos20°＋sin80°·sin20°) ＝－cos60°＝－eq \f(1,2). (2)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos60°＝eq \f(1,2). 点评：(1)两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． (2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值． 变式训练1　求下列各式的值： (1)cos(－15°)；(2)cos105°＋sin195°. 解析：(1)cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). (2)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°) ＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝eq \f(\r(2)－\r(6),2). 类型二 给值求值 【例2】　已知△ABC中，sinC＝eq \f(4,5)，cosB＝－eq \f(2,3)，求cosA. 思维启迪： 解析：在△ABC中，由cosB＝－eq \f(2,3)，可得sinB＝eq \f(\r(5),3)， 由cosB＝－eq \f(2,3)＜0，知B为钝角，∴C为锐角， ∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC ＝－eq \r(1－sin2C)＝－eq \f(3,5)， sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC＝eq \f(4,5)， ∴cosA＝cos[(A＋B)－B] ＝－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),3)＝eq \f(6＋4\r(5),15). 点评：(1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，α＝eq \f(1,2)[(β＋α)－(β－α)]等． 变式训练2　已知锐角α，β满足cosα＝eq \f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq \f(12,13)，求cosβ. 解析：∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π， ∵cosα＝eq \f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq \f(12,13)， ∴sinα＝eq \f(