北师大版高中数学必修四　课件：第三单元第3课 二倍角的三角函数（2份打包）

课时目标 (1)理解二倍角公式的推导； (2)熟练掌握二倍角公式及变形公式； (3)灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题. 知识点 二倍角公式 讲重点 细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍…这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用． 讲拓展 二倍角公式的变形 (1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α (2)降幂公式：cos2α＝eq \f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cos2α,2) (3)万能公式：sin2α＝eq \f(2tanα,1＋tan2α) cos2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α) 类型一 给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： (1)sin2eq \f(π,8)－cos2eq \f(π,8)； (2)8sineq \f(π,48)coseq \f(π,48)coseq \f(π,24)coseq \f(π,12). 思维启迪：直接利用公式可求出结果． 解析：(1)原式＝－coseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2). (2)原式＝4sineq \f(π,24)coseq \f(π,24)coseq \f(π,12)＝2sineq \f(π,12)coseq \f(π,12)＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). 点评： 善于研究公式的结构特征，直接利用公式少走弯路. 变式训练1　化简下列各式： (1)1＋2cos214°－cos28°； (2)－eq \r(3)sin2eq \f(π,12)＋sineq \f(π,12)coseq \f(π,12). 解析：(1)1＋2cos214°－cos28°＝1＋2·eq \f(1＋cos28°,2)－cos28° ＝1＋1＋cos28°－cos28°＝2. (2)－eq \r(3)sin2eq \f(π,12)＋sineq \f(π,12)coseq \f(π,12)＝－eq \r(3)·eq \f(1－cos\f(π,6),2)＋eq \f(1,2)sineq \f(π,6) ＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)coseq \f(π,6)＋eq \f(1,2)sineq \f(π,6) ＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＝1－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2－\r(3),2). 类型二 给值求值问题 【例2】　已知sinα＋cosα＝eq \f(1,3)，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 思维启迪：eq \x(sinα＋cosα＝\f(1,3))→eq \x(sin2α)→eq \x(cos2α)→eq \x(tan2α) 解析：∵sinα＋cosα＝eq \f(1,3)，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq \f(1,9)， ∴sin2α＝－eq \f(8,9)且sinαcosα＝－eq \f(4,9)<0，∵0<α<π，sinα>0， ∴cosα<0，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(17),3)，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα) ＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(17),3)))＝－eq \f(\r(17),9)， ∴tan2α＝eq \f(sin2α,cos2α)＝eq \f(8 \r(17),17). 点评：对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解． 变式训练2　已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq \f(1,2)，求eq \f(sin2α－2cos2α,1＋tanα)的值． 解析：∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝－eq \f(1,2)， 解得tanα＝－3.∴原式＝eq \f(2sinαcosα－2cos2α,1＋tanα) ＝－2cos2α·eq \f(1－tanα,1＋tanα)