精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

绝密★启用前 2024—2025学年高一（上）学期期末考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一种药在病人血液中会以每小时比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ）（，精确到） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ） A 或 B. C. 或 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数图象过点，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 16 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 17 已知函数，且. （1）求的最小正周期和的值； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，且，求的取值集合. 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024—2025学年高一（上）学期期末考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式结合题干所给条件计算即可. 【详解】 故选：B. 3. 已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间. 【详解】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的大小关系比较即可 【详解】依题意得，， ， ，所以， 故， 故选：B. 5. 一种药在病人血液中会以每小时的比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ）（，精确到） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结解不等式即可. 【详解】设再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过， 则， 可得， 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，再利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则，可得， 所以. 故选：B. 7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可解决. 【详解】由题意，函数，可得函数的周期为. 因为，所以. 由函数在区间上有且仅有一个零点， 得，且，即，且. 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集. 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，都有，，且， 所以，且， 设任意，则，则， 又，所以， 若，则当时，，则，矛盾， 所以，所以，所以函数是单调递减函数， 所以不等式等价于，所以， 故即，解得. 所以不等式的解集是. 故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，故的一个周期为，即A正确； 对于B，根据诱导公式可知： ，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知 ，即为偶函数， 当时，，显然此时函数单调递减， 由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误； 由B结论可知为的一个周期， 此区间上，故D正确. 故选：ABD 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，再根据函数图象过点，可得. 【详解】由函数为幂函数，得，即， 所以， 又函数过点， 则， 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值． 【详解】由已知的定义域是， 设，，显然它们在定义域内都是增函数， 因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0， 作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示， 由，由， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系即可求值； （2）利用同角三角函数的基本关系化简，再结合是第三、四象限角求解即可. 【详解】（1）原式， 又，所以原式； （2）因为①， 两边平方得， 因为②，所以③， ②+③得， 即，所以， 因为是第三、四象限角，所以， 所以， 所以④， 联立①④，解得，， 所以. 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；单调递减区间是， （2），；， （3） 【解析】 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 【小问3详解】 ，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 17. 已知函数，且. （1）求的最小正周期和的值； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，且，求的取值集合. 【答案】（1）， （2）最大值，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）由周期公式直接求周期，由得方程，结合的范围即可得解. （2）由的范围结合的性质即可求解； （3）由得，结合正弦函数性质得不等式，结合解该不等式即可求解. 【小问1详解】 的最小正周期， 因为，所以，即， 所以，又，所以取，. 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 因在上单调递增，在上单调递减， 所以，即时，取得最大值， 因为， 所以，即时，取得最小值； 【小问3详解】 由得， 所以， 所以， 又，所以只能取，得， 即 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值； （2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解； （3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，利用奇偶性单调性变形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出． 【小问1详解】 依题意，， 又是上的奇函数，则，即， 亦即，整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式化为，解得， 【小问3详解】 假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由（2）知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于是有对任意恒成立，则， 当时，，因此； 有对任意恒成立，设， ①当时，函数的图象开口向上，对称轴， （i）当，即时，必有，则； （ii）当，即时，在上恒成立，则； （iii）当，即时，在上恒成立，则； ②当时，，不满足在上恒成立， 综上得且， 所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质 （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 ，， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 【小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $