精品解析：2025年四川省德阳市九年级中考一模数学试题

2025年春期初中毕业年级总复习阶段第一次模拟考试 数学试卷 考生注意： 1．考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置，注意填涂规范． 2．非选择题用黑色墨水笔或中性签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 3．全卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下运算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AD ⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（ ） A. 互为余角 B. 互为补角 C. 相等 D. 不能确定 4. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为和的队员换下场上两名身高是和的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（ ） A. 中位数变大，众数不变 B. 中位数不变，方差变小 C. 平均数变大，众数变小 D. 平均数变小，方差变大 7. 孝泉古镇是川西平原的一颗明珠，具有丰富的孝文化内涵和历史底蕴，孝泉古名阳泉县，仁寿二年（602）废县，唐置姜诗镇，北宋英宗治平年间因避姜诗名讳，本其事迹，更名为孝泉镇．古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 9. 如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转 后得到按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线交 于A、B两点， 是 的直径，点C为 上一点，且 平分，过C作，垂足为D，且， 的直径为20，则 的长等于（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 11. 如图平面直角坐标系中，、， 为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，先有一张矩形纸片，，，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点 落在矩形的边上，记为点，点 落在 处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是．其中正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 14. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器在我国海南文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．将数据精确到千分位并用科学记数法表示为________． 15. 已知，则_____，_____． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝10，则EF的长是_____． 17. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 18. 如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____． 三、解答题：（本大题共7小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 21. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点 的一次函数的图象与 轴交于点． （1）求 、的值和一次函数的表达式； （2）连接 ，求点 到线段 的距离． 22. 如图，四边形为平行四边形，对角线 的垂直平分线分别交边，于点 ， ，垂足为 ． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点 ，使，连接．若 为的中点，且，，求的面积． 23. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 25. 如图，内接于 ，直径 交于点 ，过点 作射线 ，使得，延长 交过点 的切线于点 ，连接． （1）求证： 是 的切线； （2）若． ①求 的长； ②求 的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期初中毕业年级总复习阶段第一次模拟考试 数学试卷 考生注意： 1．考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置，注意填涂规范． 2．非选择题用黑色墨水笔或中性签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 3．全卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下运算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正数的识别，负整数指数幂，有理数的乘方计算，求一个数的绝对值和立方根，根据相关计算法则求出每个选项中式子的结果，再根据正数是大于0的数即可得到答案． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、不是正数，不符合题意； C、不是正数，不符合题意； D、不是正数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，AD ⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（ ） A. 互为余角 B. 互为补角 C. 相等 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据余角的定义即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 则与的关系是互为余角， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直、平行线的性质、余角，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得： ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键． 5. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为 株，根据“这批椽的价钱为文”、“每株椽的运费为文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽的数量为 株，根据题意得，， 故选A. 6. 某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为和的队员换下场上两名身高是和的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（ ） A. 中位数变大，众数不变 B. 中位数不变，方差变小 C. 平均数变大，众数变小 D. 平均数变小，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差．根据题意算出换人前后的中位数、众数、平均数，并进行比较，即可解题． 【详解】解：换人前：中位数为：190，众数为：190， 平均数为：， 换人后：中位数为：190，众数为：190， 平均数为：， ∵用两名身高分别为和的队员换下场上两名身高是和的队员，数据波动变小， ∴方差变小， 综上所述，中位数不变，众数不变，方差变小，平均数变大，方差变小， 故选：B． 7. 孝泉古镇是川西平原的一颗明珠，具有丰富的孝文化内涵和历史底蕴，孝泉古名阳泉县，仁寿二年（602）废县，唐置姜诗镇，北宋英宗治平年间因避姜诗名讳，本其事迹，更名为孝泉镇．古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正方形和正八边形的性质、相似三角形的判定和性质．设，得到，，即可得到． 【详解】解：如图，设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点 作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点 作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 9. 如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转 后得到按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，以及一次函数与坐标轴交点的问题，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 先依次求出的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2025次后点B的坐标与重合，即可求解． 【详解】解：对于，当，时，，解得 ， ∴， ∴第一次旋转后，根据旋转的不变性得，即， 第二次旋转后，即， 第三次旋转后，即， 第四次旋转后与点B重合，， 发现4次一循环，而， ∴第2025次旋转结束后，点与点重合，∴， 故选：B． 10. 如图，已知直线交 于A、B两点， 是 的直径，点C为 上一点，且平分，过C作，垂足为D，且， 的直径为20，则 的长等于（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为F，则，先证明四边形是矩形，设，再用含x的式子表示出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为F，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵， 的直径为20， ∴，， ∴， 在中，∵，即， ∴（负舍）， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图平面直角坐标系中，、， 为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切的定义，二次函数的性质等相关知识，过点 作轴于点 ，设，证明得出，，勾股定理求得，根据二次函数的性质得出时，取得最小值，进而求得 点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作轴于点 ， ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ ∴，， ∵， 在中， ∴时，取得最小值，即有最小值 ∴， ∴， 故选：C． 12. 如图，先有一张矩形纸片，，，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点 落在矩形的边上，记为点，点 落在 处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是．其中正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立， 故错误； 点与点 重合时，如图 所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故正确； 当过点 时，如图 所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 当点与点 重合时，如图 ，最长，四边形的面积最大， ∴， ∴， 故错误； 正确的项为， 故选． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器在我国海南文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．将数据精确到千分位并用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；先求出原数的近似数，再用科学记数法表示出该近似数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知，则_____，_____． 【答案】 ①. 1 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，原方程等价于，根据非负数的性质得出，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：原方程等价于， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：1，4． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝10，则EF的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出AD=5，证明DE是△ABC中位线，推出∠DEA=∠FCE=90°，CF=ED，再证明△AED≌△ECF即可得到EF=AD=5． 【详解】解：∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴，DE是△ACB的中位线，AE=CE ∴，， ∵∠ACB=90°，， ∴∠DEA=∠FCE=90°，CF=ED， ∴△AED≌△ECF（SAS）， ∴EF=AD=5． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 17. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 18. 如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____． 【答案】＜t＜1##0.6<t<1 【解析】 【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围． 【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2， 由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝， ∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）， ∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3， ∴2＜x3＜， ∴t＝＝， ∴＜t＜1． 故填：＜t＜1 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题共7小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）不等式组无解 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，此不等式组无解． 20. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1） ， （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． 【小问2详解】 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点 的一次函数的图象与 轴交于点． （1）求 、的值和一次函数的表达式； （2）连接 ，求点 到线段 的距离． 【答案】（1），， （2）点 到线段 的距离为 【解析】 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得 、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出 的长度，最后根据，计算得 的长度，即为点 到线段 的距离． 【小问1详解】 点、在反比例函数图象上 ， 又 一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； 【小问2详解】 如图，连接，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段 的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 22. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点 ， ，垂足为 ． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点 ，使，连接．若 为的中点，且，，求的面积． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵ 为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 23. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； （2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； 【小问2详解】 设购进腊梅m束，则购进百合束， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时（束）． 答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 25. 如图，内接于 ，直径 交于点 ，过点 作射线 ，使得，延长 交过点 的切线于点 ，连接． （1）求证： 是 的切线； （2）若． ①求 的长； ②求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∵， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 即 ， ∴， 又∵ 为 的半径， ∴ 是 的切线； （2）① ；②． 【解析】 【分析】（ ）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （ ）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵ 是 的切线， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ 的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $