精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

雅礼教育集团2025年上学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值（ ） A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案. 【详解】，，． 故选：A 2. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角. 【详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长2，则，，， ，，， 设异面直线与所成角为,， 则,所以. 故选：C 3. 设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，在复平面内的对应点关于实轴对称,所以 ,所以,故选B. 4. 设向量满足， ，则= A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，两式相加得：，所以，故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键． 5. 已知、是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为，求出半径，即可求出球的表面积． 【详解】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球的半径为，此时，. 因此，球的表面积为. 故选：A. 【点睛】本题考查球的半径与表面积的计算，确定点的位置是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化条件得，再利用即可得解. 【详解】由可得， ，， . 故选:D. 【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，属于基础题. 7. 设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，求出，得到等腰三角形. 【详解】， 即，，， 所以，为等腰三角形. 故选：D 8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，若，根据线面垂直的判定定理得，得出矛盾可判断A；根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断B；由平面得就是与平面所成的角，求出可判断C；求出四面体的体积可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 若，因为，，平面，平面，所以平面， 可得，这与矛盾，故A错误； 对于B，因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 得，又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，所以，故B正确； 对于C，平面，所以就是与平面所成的角， 因为，所以与平面所成的角为，故C错误； 对于D，四面体的体积为，故D错误. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 复数z虚部的最大值为2 B. 复数z实部的取值范围是 C. 的最小值为1 D. 复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意得复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再依次讨论求解即可. 【详解】解：满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图， 由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确； 实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确； 表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确； 由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误． 故选：ABC 10. 下列四个选项中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用拆角与和角公式即可判断A项；逆用两角差的余弦公式即可判断B,C两项；运用诱导公式五先转化部分三角函数式，再逆用公式即可判断D项. 【详解】对于A项, ，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD. 11. 已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则， B. 存在平面，使得，， C. 有且只有一对互相平行的平面和，其中， D. 至多有一对互相垂直的平面和，其中， 【答案】BC 【解析】 【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C； 【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误； 对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确； 对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个，过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确； 对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D错误； 故选：BC 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】 先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高. 【详解】半径为的半圆弧长为， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥底面半径为：，所以圆锥的高：， 故答案为：3. 13. 已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一，由由，得，借助于几何作图，作，确定点P的轨迹，结合圆的几何性质，即可求得答案; 法二，由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件确定确定点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案. 【详解】法一　由，得. 如图所示，分别作,作， 由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以, 作，则, 所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上. 由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值, 故||的最大值是, 故答案为： 法二　由，得， 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设 ，由， 得 ， 所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上. 所以 故答案为： 14. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数（）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为， （1）求函数的解析式； （2）设，则，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期， ∴f（x）=2sin（2x-）+1 （2），f（）=2 ∴2sin（-）+1=2,得sin（-）=，= 16. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：（I）直线； （II）． 【答案】（I）证明见解析． （II）证明见解析． 【解析】 【详解】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点 ． （II），又， 所以． 17. 在中，． （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由、及，利用正弦定理即可求出的值；（2）由余弦定理表示出，把、及的值代入求出的值，由为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，从而利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别求出和的值，把所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将和的值代入即可求出值. 【详解】（1）在中，根据正弦定理，，于是. （2）在中，根据余弦定理，得 于是， 从而，. 所以 . 18. 半径为1的圆内接，且． （1）求数量积，，； （2）求的面积． 【答案】（1），，． （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，两边平方即可求得的值，同理可求，的值； （2）利用向量的数量积或夹角公式求出的夹角或余弦值进而可得正弦值，结合三角形面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 ，， 则，即得， 所以，同理，． 【小问2详解】 由，， 由，，得， 则， 同理，， 则， 所以． 19. 如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； （3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，即为平面与平面所成锐二面角的平面角，求出各边长，得到，求出答案. 【小问1详解】 证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； 【小问2详解】 在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； 【小问3详解】 在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2025年上学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值（ ） A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不存在 2. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则 A. B. C. D. 4 设向量满足， ，则= A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 已知、是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 A. B. C. D. 6. 若，则 （ ） A. B. C. D. 7. 设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确是（　　） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 复数z虚部的最大值为2 B. 复数z实部的取值范围是 C. 的最小值为1 D. 复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限 10. 下列四个选项中，化简正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则， B. 存在平面，使得，， C. 有且只有一对互相平行的平面和，其中， D. 至多有一对互相垂直的平面和，其中， 三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________. 13. 已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 14. 已知，则_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数（）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为， （1）求函数的解析式； （2）设，则，求的值 16. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：（I）直线； （II）． 17. 中，． （1）求的值； （2）求的值. 18. 半径为1的圆内接，且． （1）求数量积，，； （2）求的面积． 19. 如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$