精品解析：江西省景德镇市第十七中学2023﹣2024学年下学期期中复习试题(B)

江西景德镇市十七中2023﹣2024学年下学期期中复习试题 ▶ 八年级数学（B）◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　） A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 3. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，已知， ，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一罐饮料净重，罐上标注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量至少为______g． 8. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 9. 的最小值是a，的最大值是b，则 ______ 10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____． 11. 利用不等式的性质，填空．若，，则_____． 12. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的所有值__________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过，则超过的部分每立方米收费2元．小亮家某月的水费不少于25元，那么他家这个月的用水量至少是多少？请列出关于x的不等式． （2）已知：如图，在中，，为上的一点，平分，且．求证：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点． （1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长． 15. 已知关于的不等式，两边同除以，得，试化简：． 16. 如图，在正方形网络中，已知为格点三角形，请使用无刻度直尺借助于网格按下列要求作图． （1）在图1中，作，使两个三角形全等，且无重叠，（将所作图的结论写在横线上）； （2）在图2中，作的边上的高h（将所作图的结论写在横线上）． 17. 如图，已知中，，平分，且，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 设a和b是两个非负实数，已知． （1）求a的取值范围； （2）设，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围． 19. 在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 20. 关于x的两个不等式①与②1﹣3x＞0． （1）若两个不等式的解集相同，求a的值； （2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）M、N同时运动多少秒后，M、N两点重合？ （2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？ （3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由． 22. 课本再现： 承前启后： 前面已经证明了“等腰三角形的两底角相等”；反过来，命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”成立吗？事实上，可以发现并证明上述是等腰三角形的一个判定定理． （1）定理证明 小敏根据上述定理，已经写出了已知，求证，请你完成证明过程 已知：如图1，在中，， 求证： 证明： （2）解决问题 ①如图2，飞机在距离地面高空上飞行，先在A处测得正前方的地面某小岛C的俯角为，飞行一段距离后，在B处测得该岛的俯为，求飞机的飞行的距离． ②如图3，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E ．求证：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 提出问题： 如图，等边边长为，是的中线，为射线（不包括点）上一动点，以为一边且在下方作等边，连接． （1）当动点在线段上时，如图，线段与始终相等吗？请说明的理由； 当，如图，求此时的长； 延伸探究： （2）当动点在线段的延长线上，如图，点在射线上，且时，判断的长是否为定值，若是，请求出定值的长；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西景德镇市十七中2023﹣2024学年下学期期中复习试题 ▶ 八年级数学（B）◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴济南当日气温的变化范围是， 故选：C． 2. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　） A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 3. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案． 【详解】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 设∠A＝x，则x+2x+3x＝180， 解得：x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键． 4. 如图，已知， ，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，根据等腰三角形的性质“等边对等角”求解是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等和等边对等角可求出即可 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 5. 一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式．设车速是，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：分钟小时， 设车速是，根据题意可列不等式． 故选：A． 6. 如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ∴∠BPD=90°-∠B=30°，∠CDE=90°-∠C=30° ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一罐饮料净重，罐上标注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量至少为______g． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．关键描述语是：蛋白质含量，则问题可转化为“蛋白质的含量至少应为多少克”，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设蛋白质的含量至少应为克，依题意得： 解得， 故答案为：． 8. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________． 【答案】对应角相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9. 的最小值是a，的最大值是b，则 ______ 【答案】-4 【解析】 【详解】分析：解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答． 详解：因为x≥2的最小值是a，∴a=2； x≤﹣6的最大值是b，∴b=﹣6； 则a+b=2﹣6=﹣4，所以a+b=﹣4． 故答案为﹣4． 点睛：解答此题要明确，x≥2时，x可以等于2；x≤﹣6时，x可以等于﹣6． 10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝16，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD＝4，则△ABD 的面积为_____． 【答案】32． 【解析】 【分析】作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE 的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作 DE⊥AB 于 E， ∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝4， ∴△ABD 的面积＝×AB×DE＝32， 故答案为：32 ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 11. 利用不等式的性质，填空．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的所有值__________________． 【答案】秒或秒或秒 【解析】 【分析】分两种情况：为腰或为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP的长度，即可求出t的值． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G ∵点B（-8，8），点C（-2，0）， ∴DC=6cm，BD=8cm，由勾股定理得：BC=10cm ∴在直角三角形COG中，OC=2cm，CG=BC=10cm， ∴OP=OG= ， 当点P运动到点F或点H时，BE=8cm，BH=BF=10cm， ∴EF=EH=6cm ∴OP=OF=8-6=2（cm）或OP=OH=8+6=14（cm）， 故答案为：2秒，4秒或14秒． 【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过，则超过的部分每立方米收费2元．小亮家某月的水费不少于25元，那么他家这个月的用水量至少是多少？请列出关于x的不等式． （2）已知：如图，在中，，为上的一点，平分，且．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，全等三角形的判定； （1）据小亮家的水费即可判定用水量应大于10，设小亮家这个月的用水量为，根据题意可列出不等式即可； （2）根据角平分线得到，燃弧根据等量代换和等边对等角得到，然后利用证明两三角形全等即可． 【详解】（1） 解：设小亮家每个月的用水量是， 根据题意，得． （2）略 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点． （1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长． 【答案】（1）∠B＝30°；（2）BC＝15 【解析】 【分析】（1）由DE为中垂线，可知∠B=∠2，AD是角平分线，可得∠1=∠2，由此知三角相等，三角之和为90º，可求∠B， （2）由角平分线性质得CD=DE，由∠B=30º，利用30度角的直角三角形，可知DB=2DE，再求BC即可． 【详解】解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠2＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝=30°； （2）∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝10， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝5， ∴BC＝CD+BD＝15． 【点睛】本题考查求直角三角形的锐角度数和直角边的长，关键是掌握线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，和30º角的直角三角形的性质． 15. 已知关于的不等式，两边同除以，得，试化简：． 【答案】-1 【解析】 【分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得，所以；然后判断出的正负，求出的值是多少即可． 【详解】解：因为，两边同除以，得， 所以，， 所以， 所以 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出． 16. 如图，在正方形网络中，已知为格点三角形，请使用无刻度直尺借助于网格按下列要求作图． （1）在图1中，作，使两个三角形全等，且无重叠，（将所作图的结论写在横线上）； （2）在图2中，作的边上的高h（将所作图的结论写在横线上）． 【答案】（1） 即为所作； （2） 如图，即为所作； 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，平移的性质，三角形的高； （1）利用平移的性质作即可； （2）取格点D，然后连接，交的延长线于点H，则AH即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，已知中，，平分，且，求证：． 【答案】 证明：过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵又， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于，由等腰直角三角形的性质得，然后证明，又平分，，，则，证明， 通过全等三角形的性质即可求证． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 设a和b是两个非负实数，已知． （1）求a的取值范围； （2）设，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围． 【答案】（1）0≤a≤3；（2）c=2a+3，3≤c≤9 【解析】 【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3-a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可． （2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a的范围，求出c的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵a+2b=3， ∴2b=3-a， ∵a、b是非负实数， ∴b≥0，a≥0， ∴2b≥0， ∴3-a≥0， 解得0≤a≤3； （2）∵a+2b=3，c=3a+2b， ∴c-3=（3a+2b）-（a+2b）=2a， ∴c=2a+3， ∵0≤a≤3， ∴0≤2a≤6，3≤2a+3≤9， 即3≤c≤9． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质和运用，以及不等式的解法．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 19. 在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【答案】①②作为条件，③作为结论，证明： ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠EBA， ∵∠CFE＝∠BCF+∠EBC，∠BEC＝∠A+∠EBA， ∴∠CFE＝∠CEF ∴①②作为条件，③作为结论成立． 【解析】 【分析】结合题意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根据角平分线性质，计算得∠EBC＝∠EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案． 【详解】略． 【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解． 20. 关于x的两个不等式①与②1﹣3x＞0． （1）若两个不等式的解集相同，求a的值； （2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围． 【答案】（1）a=1（2）a≥1 【解析】 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可． 【详解】解：（1）由①得：x＜，由②得：x＜，由两个不等式的解集相同，得到，解得：a=1； （2）由不等式①的解都是②的解，得到，解得：a≥1． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）M、N同时运动多少秒后，M、N两点重合？ （2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？ （3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由． 【答案】（1）10秒后M、N两点重合；（2）点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN； （3）M、N运动的时间为秒，理由： 当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN=AM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴∠AMC=∠ANB， ∵AB=BC=AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM=BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM=y-10，NB=30-2y，CM=NB， y-10=30-2y， 解得：y=．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒． 【解析】 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形； （3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， x×1+10=2x， 解得：x=10； ∴10秒后M、N两点重合； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①， AM=t×1=t，AN=AB-BN=10-2t， ∵△AMN是等边三角形， ∴t=102t， 解得， ∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN． （3）略． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 22. 课本再现： 承前启后： 前面已经证明了“等腰三角形的两底角相等”；反过来，命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”成立吗？事实上，可以发现并证明上述是等腰三角形的一个判定定理． （1）定理证明 小敏根据上述定理，已经写出了已知，求证，请你完成证明过程 已知：如图1，在中，， 求证： 证明： （2）解决问题 ①如图2，飞机在距离地面高空上飞行，先在A处测得正前方的地面某小岛C的俯角为，飞行一段距离后，在B处测得该岛的俯为，求飞机的飞行的距离． ②如图3，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E ．求证：． 【答案】（1） 解：证法1：作的平分线，交于点D， ∵ 平分 ∴ ∵ ∴ ∴ (全等三角形的对应边相等 )； 证法2： 过点A作的垂线，垂足为D， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ (全等三角形的对应边相等 )； （2）①； ②证明：如图，连接， 的垂直平分线分别交于点D，E， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键. （1）作的平分线，交于点D，或过点A作的垂线，垂足为D，证明，即可得出结论； （2）①作交延长线于D，设，求出，利用勾股定理得到，建立方程求解即可；②如图，连接证明 再求解 可得， 从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 作交延长线于D，如图2， 设， 由题意得， ∴， ∴， 由勾股定理，得，， 即， ∴ 解之，（负值舍去），则， ∵， ∴， 答：飞机飞行的距离为； ② 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 提出问题： 如图，等边边长为，是的中线，为射线（不包括点）上一动点，以为一边且在下方作等边，连接． （1）当动点在线段上时，如图，线段与始终相等吗？请说明的理由； 当，如图，求此时的长； 延伸探究： （2）当动点在线段的延长线上，如图，点在射线上，且时，判断的长是否为定值，若是，请求出定值的长；若不是，请说明理由． 【答案】（）如图，，理由， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ； （）定值． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由等边三角形的性质可得，，，然后证明， 再通过全等三角形的性质即可； 由是等边三角形，边长为，且是的中点，则，，，再由勾股定理和全等三角形的性质即可求解； （）过点作，垂足为，证明，则，，再由勾股定理求出，则有． 【详解】解：（）略 如图，∵是等边三角形，边长为，且是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴在中，， ∴ 由（）可知，， ∴； （）定值，理由如下：如图，过点作，垂足为， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $