数列通项公式讲义-2025届高三三轮冲刺高频考点复习

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 数列：数列通项公式 高频考点分析 1.定义法：已知为等差数列或等比数列 （1）等差数列的通项公式：. （2）等差数列的前项和公式：. （3）等比数列的通项公式：. （4）等比数列的前项和公式：. 2.法 （1）因为①，② 所以（）. （2）注意事项 ①. ②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式. ③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简. ④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索. ⑤代表数列的前项和. 3.累加法：已知或 （1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列. 4.累乘法：已知或 （1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （3）如论是或，均需注意最后求和的项数. 5.构造法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. （5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明. 6.倒数法：已知 (1)取倒数得 (2)若，则数列是以为首项，为公差的等差数列. (3)若，则进行二次构造等比数列. 真题速递 1．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 7．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 实战演练一：利用与的关系求通项（法） 1．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 2．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 3．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 5．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，求数列的通项公式； (3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和，证明：． 实战演练二：累加法 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 2．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 3．（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 4．（23-24高二下·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，且对，都有． (1)设，证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． (3)求数列的前n项和． 6．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）数列满足：，，等比数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 7．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求. 8．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 实战演练三：累乘法 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 2．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列中，（，）. (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前n项和． 4．（2025·安徽·二模）已知数列满足，且. (1)若，求满足条件的的值； (2)设集合， （ⅰ）若，证明：，，成等比数列； （ⅱ）若（其中），且，求的最大值. 5．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 7．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求并证明：. 8．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，令，求证：． 实战演练四：构造法 1．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 2．（2025·浙江台州·二模）已知数列和满足，，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 4．（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 5．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 6．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）设数列的前项和为，，且，数列满足且 (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，数列前项和.若集合中有且仅有5个元素，求实数的取值范围. 7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 8．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 数列：数列通项公式 高频考点分析 1.定义法：已知为等差数列或等比数列 （1）等差数列的通项公式：. （2）等差数列的前项和公式：. （3）等比数列的通项公式：. （4）等比数列的前项和公式：. 2.法 （1）因为①，② 所以（）. （2）注意事项 ①. ②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式. ③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简. ④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索. ⑤代表数列的前项和. 3.累加法：已知或 （1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得. （3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列. 4.累乘法：已知或 （1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得. （3）如论是或，均需注意最后求和的项数. 5.构造法 （1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和. （3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得. （4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列. （5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明. 6.倒数法：已知 (1)取倒数得 (2)若，则数列是以为首项，为公差的等差数列. (3)若，则进行二次构造等比数列. 真题速递 1．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 7．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 实战演练一：利用与的关系求通项（法） 1．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②，式子①-②得 ，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）， 所以， 因为在R上单调递增， 所以只需求出的最大值， 其中， 又，所以当或时，取得最大值， 最大值为， 所以的最大值为. 2．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 3．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 4．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 【答案】(1)证明见解析 (2)或13，最小值为. 【详解】（1）由，得①， 所以②， 由②-①，得， 化简得， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列的公差为1. 由，得， 解得. 所以， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 5．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，当时， ， 当时，不适合上式， 故 6．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，求数列的通项公式； (3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）数列的前n项和为，由，得，解得， 当时，，整理得， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. （2）由（1）知，则化为， 当时，，两式相减得，即， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是. （3）令，则， 当时，，即， 当时，，则，递增，即， 当n是偶数时，由对任意正整数n恒成立，得，而递增， 即，且，因此； 当n是奇数时，由对任意正整数n恒成立，得， 而，当时，递增，即，因此，解得， 所以的取值范围是. 7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以时，， 两式相减可得，所以，即， 所以数列为常数列，则，可得. （2）因为，所以， 可得， 所以 . 所以. 8．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② 得：，， 令，则， 所以是关于n的减函数，得， 所以是关于n的增函数，所以， 而，所以，从而． 实战演练二：累加法 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 2．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则 ，，…，又， 累加可得. （2）由（1），则，故 3．（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，所以， 又 因此是以为首项，1为公差的等差数列， 设的前n项和为，则， 又由， 得，， 当时，经检验也满足， ∴． （2）．因此 ． 4．（23-24高二下·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，且对，都有． (1)设，证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【详解】（1）证明：，， ，即，则数列为等差数列； （2），，，， ，又， 当时，，，，， 累加有，则． 也符合上式，所以数列的通项公式为，. （3）， ①， ②， ①②得 ， ． 6．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）数列满足：，，等比数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 【答案】(1)，，， (2) 【详解】（1）因， 则当且时，， 则， 由累加法可得， 又，则， 又当时，也满足上式，故，； 因，则， 两式作差得， 则，，， 因数列为等比等比数列，则公比，且， 又，得，则， 故，. （2）由（1）可知， 则， 则， 由两式相减可得，， 故. 7．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 所以 . 8．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 实战演练三：累乘法 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，； 又，所以，所以， 所以，． （2）因为，所以， ， 以上各式相乘可得， 因为，所以. 2．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：当时，， ； 当时，满足； 综上所述：. （2）由（1）知：， . 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列中，（，）. (1)求数列的通项公式． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为（，），所以当时，， 所以当时， ， 当时，也成立， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 则 ， 所以. 4．（2025·安徽·二模）已知数列满足，且. (1)若，求满足条件的的值； (2)设集合， （ⅰ）若，证明：，，成等比数列； （ⅱ）若（其中），且，求的最大值. 【答案】(1)3 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由题意可知：或， 且， 若，则或，显然不合题意； 若，则，符合题意； 所以. （2）（ⅰ）由题知，当时，， 若，则与且矛盾， 所以，所以， 若，则与且矛盾， 所以，同理可得， 所以成公比为的等比数列； （ⅱ）由 可推得，或， 对于任意正整数， 可得， 即， 所以，所以， 由题知，所以，，， 所以，，， 若，则与且矛盾，所以， 因为且，所以且，所以， 因为，，所以， 又，，， 所以为正奇数， 所以， 同理，，， 所以， 当为，，1，，0，，，0，，，0，，时，符合题意， 所以的最大值为. 5．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 则，，， ，则当时， ，满足上式， 所以数列通项公式为 （2）由（1）， ， 两式相减则： 所以. 6．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得.构造函数，x， 则，在上单调递增. 所以，即任意时，. ，，且， 且，故. 所以，. （2）下面用数学归纳法证明. ①当时，成立；当时，成立； ②假设当时，，， 则当时，， 且，所以， 综合①②可知，对任意，成立. ，， 由，则，即， ，数列为递增数列， ，即. 当时，，即， 当时，， 所以，对，得证. 7．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求并证明：. 【答案】(1) (2)；证明见解析 【详解】（1）因为，， 当时，，故， 当时，， 两式作差可得，整理可得， 则，又， 所以是各项为的常数列， 则，故. （2）由（1）可得， 所以， 类比复合函数的单调性可知为递增数列，又， 所以的最小值为， 又，所以， 综上，. 8．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，令，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 由，得， 解得：，所以． （2）由（1）知，， 即，，，……，， 利用累乘法可得： ，也符合上式， 所以． 实战演练四：构造法 1．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 2．（2025·浙江台州·二模）已知数列和满足，，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由可得，且， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列， 所以，，故， 由已知， 可得①， 当时，则有②， ①②得，解得， 也满足， 故对任意的，. （2）因为 ， 所以，， 另一方面，当时， ， 所以，， 所以，， 又因为，因此，. 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 4．（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，所以， 由，可得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以； （2）由，得到， 令，则， 当时，，得到， 当时，，所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到， 所以； （3） ， 所以，所以， ，故得证. 5．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2）由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3）由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 6．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）设数列的前项和为，，且，数列满足且 (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，数列前项和.若集合中有且仅有5个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1），，数列是公差为的等差数列， ，①，② ，. ， 所以，而也符合该式，故. （2） 所以 ，，， 则，所以为递减数列， ，，所以. 7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）令得， 当时，由得： ，两式相减得： ， 整理得，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得， 当时，， 时，上式也成立，所以， 所以，即. （2）记，其前项和为， 则， ， 两式相减得 所以 8．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． （2）由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$