数列：数列前n项和 讲义-2025届高三三轮冲刺高频考点复习

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 数列：数列前项和 高频考点分析 1.定义法：已知为等差数列或等比数列 （1）等差数列的通项公式：. （2）等差数列的前项和公式：. （3）等比数列的通项公式：. （4）等比数列的前项和公式：. 2. 裂项相消法 （1）裂项相消法：基本思想是将一个复杂的分数拆分成两个简单分数的差，从而简化求和过程. （2）裂项相消法的常见模型 ①等差型： ②无理型： ③指数型： ④常见裂项：， . ， . ，. 3.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）,则，其中，.（不建议直接用） 4.倒序相加法 （1）. （2）. （3）上述两式相加，得 （4）若数列在满足的情况下，则. （5）所以 5.分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 真题速递 1．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 实战演练一：公式法 1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 4．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）数列是等比数列，公比大于0，前项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求． 实战演练二：裂项相消法 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（24-25高二下·宁夏吴忠·阶段练习）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式和前项和； (3)记，求数列的前项和，并证明. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列的通项公式； (3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 6．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 7．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求,的通项公式； (2)若，求数列的前n项和，并求证：． 8．（2025·江苏南通·二模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 实战演练三：错位相减法 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求数列的前n项和. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 3．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 4．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 6．（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 7．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）等比数列中，，数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求. 8．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 实战演练四：分组（并项）求和法 1．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知等比数列各项均为正数，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，． (1)求，的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且． ①证明：数列是等比数列； ②设数列满足，求的前n项和． 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）在数列中， . (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若 ，记数列的前项和，求以及. 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 实战演练五：倒序相加法 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 5．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 6．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 7．（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 8．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 数列：数列前项和 高频考点分析 1.定义法：已知为等差数列或等比数列 （1）等差数列的通项公式：. （2）等差数列的前项和公式：. （3）等比数列的通项公式：. （4）等比数列的前项和公式：. 2. 裂项相消法 （1）裂项相消法：基本思想是将一个复杂的分数拆分成两个简单分数的差，从而简化求和过程. （2）裂项相消法的常见模型 ①等差型： ②无理型： ③指数型： ④常见裂项：， . ， . ，. 3.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）,则，其中，.（不建议直接用） 4.倒序相加法 （1）. （2）. （3）上述两式相加，得 （4）若数列在满足的情况下，则. （5）所以 5.分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 真题速递 1．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 6．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 实战演练一：公式法 1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)或13， 【详解】（1）由可知数列是公差为1的等差数列 因为，所以，解得 （2）由（1）可得， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知条件得，因为，所以， 所以，故，即数列为以2为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，故， 设数列的前项和为，则. 4．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）数列是等比数列，公比大于0，前项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列是等比数列的公比为，且 又因为 ，所以，所以， 所以(舍去)或， 所以. （2）. 实战演练二：裂项相消法 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为. （2）因为， 所以 . 2．（24-25高二下·宁夏吴忠·阶段练习）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 3．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）数列是等差数列，设公差为， 由根与系数关系得， 于是有，则， 故，则； （2）由（1）知，故， 由根与系数关系知； （3）由（2）得， 所以 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式和前项和； (3)记，求数列的前项和，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)；证明见解析 【详解】（1）证明：因为数列满足， 可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）解：由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列， 可得，所以， 则数列的前项和为. （3）解：由（2）知：，可得， 所以， 所以， 当时，为单调递增数列， 当时，取得最小值，最小知为， 又因为，可得，所以. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列. (1)若，判断是否为数列； (2)若数列是数列，且，求数列的通项公式； (3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：. 【答案】(1)是数列 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则，且，所以，数列是以首项和公比都为的等比数列， 则，所以， 且当，时，，， 即数列满足，所以是数列. （2）若数列是数列，设数列的前项和，则有， 当时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列， 因为，，所以，，解得， 所以，数列的公差为，所以. （3）若数列是数列，所以，所以，. 当时，，，则，解得， 当时，（ⅰ），（ⅱ）， （ⅰ）－（ⅱ）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以首项为、公比为的等比数列，可知， 由（2）知，则， ，所以得证. 6．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由，，成等比数列，得，而，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 7．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求,的通项公式； (2)若，求数列的前n项和，并求证：． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【详解】（1）因为是等差数列，是等比数列，可设的公差为，的公比为， 由已知条件可得，，， 则有，解得， 故，； （2）由（1）可知， 则， 因为，所以，故； 又由，得，即数列单调递增，故， 综上，可得，证毕. 8．（2025·江苏南通·二模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，对任意的，，都有， 故对任意的，，， 所以对任意的，，，即为定值， 所以数列是公差为2的等差数列， 据，，得，， 所以，解得，故， 所以 （2）由（1）可知，， 所以当，， ， 又符合上式，所以 所以， 故 ， 因为，， 所以 实战演练三：错位相减法 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得或， 当时数列的通项公式； 当时数列的通项公式； 所以或. （2）因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 又满足上式，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，即． （2）由（1）知，， 所以，① ，② ①②得， 所以 ． 3．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，可得， 解得，所以. （2）因为， 所以， 则， 两式作差得：， 则，整理. （3）因为的前项和， 则，， 又， 所以. 4．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）， 又，，故， 故为等差数列，首项为2，公差为2， 所以； 设的公比为，则， 又，故，解得， 又，所以； （2）， 设数列的前项和为， 则①， ②， 则①-②得 ， 故 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在正整数，理由见解析 【详解】（1），故， ，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以； （2）， 所以①，故②， 式子①-②得， 故； （3）不存在正整数，使得、、成等差数列，理由如下： 、、成等差数列，故， 即，即， 设，则， 当时，恒成立， 所以当时，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数，均有， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 6．（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则， 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式. （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．不等式， 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 7．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）等比数列中，，数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 在等比数列中，，， 所以， 所以，所以，所以， 又数列的前项和， 当时， 当时， 经检验当时也成立，所以. （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得， 即， 也即 . 8．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 实战演练四：分组（并项）求和法 1．（24-25高二下·北京房山·阶段练习）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 2．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知等比数列各项均为正数，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公比为， 由，得，所以（舍去）， 所以； （2）由（1）得， 所以. 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时. 4．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 5．（24-25高二下·山西太原·阶段练习）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，． (1)求，的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且． ①证明：数列是等比数列； ②设数列满足，求的前n项和． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，， 可得，，解得：（负的舍去）， 则，； （2）①当时，，即， 当时，联立， ①－②，可得，即， 所以， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列； ②由①可得，则，， 所以 ． 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）在数列中， . (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若 ，记数列的前项和，求以及. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由对正整数恒成立， 是以为首项，1为公差的等差数列， . （2）由（1）， . . 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可得，则 因为数列是递减的等比数列，解得， 所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以，， 故. （2）当为奇数时，，令， 则，所以，， 两个等式作差可得 ，化简得； 当为偶数时， 令， 故. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. （2）n是奇数时，；n是偶数时， ∴， 所以 实战演练五：倒序相加法 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】A 【详解】， 所以， 两式相加可得：， 所以， 故选：A 5．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 【答案】 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 6．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【答案】4050 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，， 则， 由，当时，， 于是， 令， 则， 因此， 所以. 故答案为：4050. 7．（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 【答案】 【详解】由题设，可得，故，则， 由的展开式通项为，， 所以其第二项为，故，且， 当时，，则， 即，故， 所以； 当时，，则 ， 所以. 故答案为： 8．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$