2.4一元二次方程根与系数的关系 期中专题复习2024—2025学年浙教版数学八年级下册

2.4一元二次方程根与系数的关系期中专题复习浙教版2024—2025学年八年级下册 一、选择题 1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 4．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 5．若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 6．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 二、填空题 7．已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为　　． 8．设a、b是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　 　． 9．若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则4m2﹣6m+2016的值为　 　． 10．若关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣4＝0有一个根为x＝﹣1，则m＝　 　． 11．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a+2023的值为　 　． 三、解答题 12．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+2＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1+x2+x1x2＝m2+3，求m的值． 14．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长； （3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1﹣x2）2+2m+3＝0，求m的值． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　　，x1x2＝ 　　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 17．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为5，求k的值． 18．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值． 20．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2，求m的值． 21．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　． （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值． 参考答案 一、选择题 1．【解答】解： 由根的判别式得，△＝b2﹣4ac＝k2+8＞0 故有两个不相等的实数根 故选：A． 2．【解答】解：一元二次方程中，a＝1，b＝﹣2，c＝2， ∵， ∴一元二次方程有有两个相等的实数根， 故选：B． 3．【解答】解：由条件可知：（﹣1）2+4m＞0， ∴m＞﹣． 故选：B． 4．【解答】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根， ∴x12﹣3x1+1＝0， ∴x12＝3x1﹣1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3， 根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选：D． 5．【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4． 故选：A． 6．【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根， ∴△＝﹣4m≥0， ∴m≤0， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12， ∴m＝3或m＝﹣2； ∴m＝﹣2； 故选：A． 二、解答题 7．【解答】解：设方程的另一个根为c， ∵（+）c＝3， ∴c＝﹣． 故答案为：﹣． 8．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2027， ∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2027+1+1＝﹣2025． 故答案为：﹣2025． 9．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣2＝0， ∴2m2﹣3m＝2， ∴原式＝2（2m2﹣3m）+2016＝2019． 故答案为：2025． 10．【解答】解：将x＝﹣1代入x2+mx+2m﹣4＝0， ∴1﹣m+2m﹣4＝0， ∴m＝3， 故答案为：3 11．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解， ∴a2﹣2a＝1， 则2a2﹣4a+2023＝2（a2﹣2a）+2019＝2×1+2023＝2025； 故答案为：2025． 三、解答题 12．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0， ∴该方程总有两个实数根： （2）解：由条件可知[x+（1﹣m）]（x+1）＝0， ∴x+（1﹣m）＝0或x+1＝0， ∴x1＝m﹣1，x2＝﹣1， ∵m＞0， ∴x1＝m﹣1＞﹣1， ∴（m﹣1）﹣（﹣1）＝2， 解得m＝2． 13．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+2＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+2）≥0， ∴m≥﹣1； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+2＝0的实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+2， ∵， ∴4﹣2m+2＝m2+3，即m2+2m﹣3＝0， ∴m＝﹣3或1． ∵m≥﹣1； ∴m＝1． 14．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2） ＝（m﹣1）2， ∵无论m取何值，（m﹣1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴等腰三角形另一腰长也为5， ∵两边长度为该方程的两根， ∴x＝5是原方程的解， 由x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0得：52+（m﹣3）×5﹣m+2＝0， 解得：m＝﹣3， 原方程为x2﹣6x+5＝0， 设x1，x2是原方程的两根，因此x1+x2＝6， 则等腰三角形的周长为6+5＝11； （3）解：∵（x1﹣x2）2+2m+3＝0， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2+2m+3＝0， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m﹣3），x1x2＝﹣m+2， ∴[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m+2）+2m+3＝0， m2＝﹣4， 故方程无解． 15．【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵+﹣x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 16．【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴+＝＝＝p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 17．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1） ＝4＞0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x＝＝k±1， 解得x1＝k+1，x2＝k﹣1， 当k+1＝5时，k＝4； 当k﹣1＝5时，k＝6， 综上所述，k的值为4或6． 18．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0， 解得k＞1． （2）∵1＜k＜5， ∴整数k的值为2，3，4， 当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 当k＝3或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，k的值为2． 19．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m） ＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m ＝16m2﹣8m+1 ＝（4m﹣1）2≥0， ∴方程总有实数根； （2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m， ∵+＝＝＝﹣， ∴，整理得5m2﹣7m+2＝0， 解得m＝1或m＝． 20．【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8 ＝8m﹣4≥0， ∴m≥； （2）∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∴由x1+x2＝x1x2得2（m+1）＝m2+2， 解得：m1＝0，m2＝2， ∵m≥， ∴m＝2． 21．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣； 故答案为：﹣，﹣； （2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝﹣，mn＝﹣， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t， ∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根， ∴s+t＝﹣，st＝﹣， ∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝， ∴t﹣s＝±， ∴＝＝＝±． 学科网（北京）股份有限公司 $$