精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

南宁三中2024～2025学年度下学期高二期中考试 数学试题 2025.4 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 （ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 32 2. 随机变量的分布列为 0 1 则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）． A. 10 B. 20 C. 15 D. 25 4. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（    ） A. 9倍 B. 18倍 C. 27倍 D. 81倍 5. 函数单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 6. 直线与圆相交的充分不必要条件可以是（    ） A. B. C. D. 7. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 8. 已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B. 如果甲，乙必须相邻，则不同排法有48种 C. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 11. 已知正项等比数列的公比为，函数，则（ ） A. 当时，无极值 B. 当时，的极小值点为 C. 当是递增数列时，在上单调递增 D. 当是递减数列时，在上单调递减 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知角的终边经过点，则_______. 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，直三棱柱中，，，是的中点． （1）证明：直线平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． （1）求数列通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 17. 已知函数 （1）当时，求函数的极值. （2）求函数的单调区间. 18. 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. （1）若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. （2）若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 19. 在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁三中2024～2025学年度下学期高二期中考试 数学试题 2025.4 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案. 【详解】. 故选：B. 2. 随机变量的分布列为 0 1 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量X的概率和为1求得答案. 【详解】. 故选：C 3. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）． A. 10 B. 20 C. 15 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二项式系数的性质列式求得n值，利用通项即可求. 【详解】由题意可知，，解得， 的展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的系数为. 故选：A 4. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（    ） A 9倍 B. 18倍 C. 27倍 D. 81倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 5. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 6. 直线与圆相交的充分不必要条件可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离小于半径，求得的范围即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 由直线与圆相交，得，即，得， 结合选项可知：直线与圆相交的充分不必要条件可以是. 故选：C. 7. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 8. 已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件和双曲线的定义可得， ，，，由，应用余弦定理，化简可得 【详解】由双曲线定义和题设条件，得，，． 如图所示，因为，所以． 又由双曲线定义，得,因为，所以． 在和中，，有， 应用余弦定理，得， 得，化简得，所以． 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 C. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，特殊元素优先考虑，逐项求解判断即可. 【详解】对于A，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空， 然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故A错误； 对于B，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法， 看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故B正确； 对于C，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故C正确； 对于D，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法， 其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故D正确. 故选：BCD 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 11. 已知正项等比数列的公比为，函数，则（ ） A. 当时，无极值 B. 当时，的极小值点为 C. 当是递增数列时，在上单调递增 D. 当是递减数列时，在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，通过等比数列的性质，确定，，进而逐项判断即可. 【详解】由题意可知：， ， 则， 对于A：，则， 即单调递增，无极值，A正确； 对于B，，则， 所以当或时，， 当时，， 所以在单调递增；在单调递减， 所以在处取得极小值，B正确； 对于C：当递增数列时，， 若，即， 易知的解集为：， 所以在单调递增，故C错误； 对于D， 当是递减数列时易知， 所以的解集为：， 即在上单调递减，D正确， 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知角的终边经过点，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义即可求解. 【详解】由已知得，所以. 故答案为：. 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______． 【答案】0.86## 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”， 事件为“购买的灯泡是合格品”， 则，， ，， 所以. 故答案为：0.86. 14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【解析】 【分析】由已知当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得为奇数时的通项公式，由此可求. 【详解】当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由 ，故. 故. 故答案为： . 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，直三棱柱中，，，是的中点． （1）证明：直线平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）得出平面与平面的法向量，，再利用面面角与向量夹角之间的关系计算即可. 小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， 又，平面，平面，则直线平面. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，得到，利用乘公比错位相减法求和，得到，结合数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：因为成等差数列，所以， 又因为数列是公比为的等比数列，所以， 解得，所以， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 解：由（1）知，则 可得， 则， 两式相减，可得 ， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 又因为，可得， 综上可得：. 17. 已知函数 （1）当时，求函数的极值. （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间. 【小问1详解】 当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. （1）若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分概率. （2）若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果； （ii）记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，分别求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果； （2）根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，设轮比赛后，乙累计得分为，则，再根据条件，即可求出结果. 【小问1详解】 （i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和， 所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为. （ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分， 记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分， 则，， 易知互斥，所以. 【小问2详解】 因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为， 设轮比赛后，乙累计得分为，则， 由题知，又，函数在上单调递增， 所以， 由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，利用相互独立事件的概率公式求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，从而得到轮比赛后，乙累计得分满足，再根据条件，即可求解. 19. 在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出等式，化简可得； （2）（i）设直线方程为，联立可得，同理可得，由，可得； （ii）由及，可得，设，则，即得. 【小问1详解】 设，由题意知， 化简得方程为 【小问2详解】 设直线方程为，则， 联立，可得，故， 因在右支上，故，得即，解得， 设方程为，则， 联立，得，故， 因在右支上，故得，即，解得， 综上可知，. （ii），，， 故， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问根据几何性质可得，结合，，代入后利用函数的性质求最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$