8 数学探究活动(二) 探究函数性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§８　数学探究活动(二) 　　　探究函数性质 [基础达标练] １．若f(x)＝－１２x ２＋bln(x＋２)在(－１,＋∞) 上是减函数,则b的取值范围是 (　　) A．[－１,＋∞)　　　　　B．(－１,＋∞) C．(－∞,－１] D．(－∞,－１) ２．若函数f(x)在定义域 R内可导,f(１􀆰９＋x) ＝f(０􀆰１－x)且(x－１)f′(x)＜０,a＝f(０),b ＝f １２ æ è ç ö ø ÷,c＝f(３),则a,b,c的大小关系是 (　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c ３．已知函数f(x)＝ex－ax２(x＞０)无零点,则实 数a的取值范围为 (　　) A．－∞,e２ æ è ç ö ø ÷ B．－∞,e ２ ４ æ è ç ö ø ÷ C．e ２ ４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ D．e２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ ４．已知函数f(x)＝ax３－３x２＋１,若f(x)存在 唯一的零点x０,且x０＞０,则实数a的取值范 围是 (　　) A．(２,＋∞) B．(－∞,－２) C．(１,＋∞) D．(－∞,－１) ５．(多选)已知函数f(x)＝x３＋ax２＋bx＋c,下 列结论中正确的是 (　　) A．∃x０∈R,f(x０)＝０ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x０ 是f(x)的极小值点,则f(x)在区间 (－∞,x０)单调递减 D．若x０ 是f(x)的极值点,则f′(x０)＝０ ６．已知函数f(x)＝ax＋lnx－１ (a＞０)在定义域 内有零点,则实数a的取值范围是　　　　． ７．已知函数f(x)＝－１２x ２＋４x－３lnx在[t,t＋ １]上不单调,则t的取值范围是　　　　． ８．已知函数f(x)＝a＋ x 􀅰lnx(a∈R),试求 f(x)的零点个数． [能力提升练] ９．(多选)(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ x３－x＋１,则 (　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(０,１)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝２x是曲线y＝f(x)的切线 １０．已知函数f(x)的定义域为[－１,５],部分对 应值如下表,f(x)的导数y＝f′(x)的图像如 下图所示,下列关于函数f(x)的结论正确的 是 (　　) x －１ ０ ４ ５ f(x) １ ２ ２ １ A．函数f(x)的极大值点有２个 B．函数f(x)在[０,２]上是减函数 C．若当x∈[－１,t]时,f(x)的最大值是２, 则t的最大值为４ D．当１＜a＜２时,函数y＝f(x)－a有４个 零点 １１．已知函数f(x)＝sinx－１,g(x)＝a２lnx－ x,若对任意 x１∈R 都存在 x２∈(１,e)使 f(x１)＜g(x２)成立,则实数a的取值范围是 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第二章　导数及其应用 １２．设函数f(x)＝lnx－x＋１． (１)讨论f(x)的单调性; (２)求证:当x∈(１,＋∞)时,１＜x－１lnx＜x． [素养培优练] １３．(多选)对于函数f(x)＝lnxx２ ,下列说法正确 的是 (　　) A．f(x)在x＝e处取得极大值１２e B．f(x)有两个不同的零点 C．f(２)＜f(π)＜f(３) D．若f(x)＜k－１x２ 在(０,＋∞)上恒成立,则k ＞e２ １４．已知函数f(x)＝(x－１)lnx－x－１． 证明:(１)f(x)存在唯一的极值点; (２)f(x)＝０有且仅有两个实根,且两个实根 互为倒数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 １２．解:(１)设日销售量为k ex ,则 k e４０ ＝１０,∴k＝１０e４０,则日 售量为１０e ４０ ex 件． 则日利润L(x)＝(x－３０－a)１０e ４０ ex ＝１０e４０×x－３０－a ex ; 所以该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元 的函数关系式为L(x)＝１０e４０x－３０－a ex ． (２)L′(x)＝１０e４０３１＋a－x ex ． ①当２≤a≤４时,３３≤a＋３１≤３５, 当３５＜x＜４１时,L′(x)＜０．∴当x＝３５时,L(x)取最 大值为１０(５－a)e５; ②当４＜a≤５时,３５≤a＋３１≤３６, 令L′(x)＝０,得x＝a＋３１,易知当x＝a＋３１时,L(x) 取最大值为１０e９－a． 综上可得L(x)max＝ １０(５－a)e５,(２≤a≤４) １０e９－a,(４＜a≤５){ ． 所以当２≤a≤４时,当每件产品的日售价为３５元时,L (x)取最大值为１０(５－a)e５;当４＜a≤５时,每件产品 的日售价为a＋３１元时,该商品的日利润L(x)最大,最 大值为１０e９－a． １３．解:(１)由题意知,BM＝１００sinθ,AB＝１００＋１００cosθ, 故S＝＝１２AB 􀅰BM＝５０００sinθ(１＋cosθ)(０＜θ＜π)． (２)因为S５０００sinθ(１＋cosθ)(０＜θ＜π), 所以S′＝５０００(cosθ＋cos２θ－sin２θ) ＝５０００(２cos２θ＋cosθ－１)＝５０００(cosθ＋１)(２cosθ－１)． 令S′＝０,得cosθ＝１２ 或cosθ＝－１(舍去),又θ∈(０, π),故θ＝π３ ． 当０＜θ＜π３ 时,１ ２ ＜cosθ＜１ ,S′＞０,S为增函数; 当 π ３ ＜θ＜π 时,－１＜cosθ＜１２ ,S′＜０,S为减函数． 故当θ＝π３ 时,S取得极大值,也是最大值,最大值为３ ７５０ ３ ,此时AB＝１５０． 即当点A 距路边的距离为１５０m 时,绿化面积最大,最 大面积为３７５０ ３m２． １４．解:由题意可知,每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝０．２×４３πr ３ －０．８πr２＝０．８π r ３ ３－r ２( ) ,０＜r≤６． 所以f′(r)＝０．８π(r２－２r) 令f′(r)＝０,解得r＝２． 当x∈(０,２)时,f′(r)＜０;当x∈(２．６)时,f′(r)＞０． 因此,当半径r＞２时,f′(r)＞０,f(r)单调递增,即半径 越大,利润越高;当半径r＜２时,f′(r)＜０,f(r)单调递 减,即半径越大,利润越低． (１)半径为６cm 时,利润最大 (２)半径２cm 时,利润最小,这时f(２)＜０,表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润为负值． §８　数学探究活动(二) 探究函数性质 １．C　[由题意可知f′(x)＝－x＋ bx＋２＜０ ,在x∈(－１,＋ ∞)上恒成立,即b＜x(x＋２)在x∈(－１,＋∞)上恒成 立,由于x≠－１,所以b≤－１,故 C正确．] ２．D　[∵(x－１)f′(x)＜０,∴当x＞１时,f′(x)＜０,此时 函数f(x)单调递减;当x＜１时,f′(x)＞０,此时函数f (x)单调递增．又f(１􀆰９＋x)＝f(０􀆰１－x),∴f(x)＝f(２ －x),∴f(３)＝f[２－(－１)]＝f(－１),∵－１＜０＜ １２ , ∴f(－１)＜f(０)＜f １２( ) ,∴f(３)＜f(０)＜f １ ２( ) , ∴b＞a＞c．] ３．B　[因为函数f(x)＝ex－ax２(x＞０)无零点,所以方程 ex－ax２＝０在x∈(０,＋∞)上无解,即a＝e x x２ 在x∈(０, ＋∞)上无解,令g(x)＝e x x２ (x＞０),g′(x)＝e x(x－２) x３ , 当x＞２时,g′(x)＞０,函数g(x)单调递增,当０＜x＜２ 时,g′(x)＜０,函数g(x)单调递减,所以x＝２时,函数g (x)有唯一的极小值,也是最小值．因为g(２)＝e ２ ４ ,所以 g(x)≥e ２ ４． 若a＝e x x２ 无解,则a＜e ２ ４ ,故选:B．] ４．B　[由题意a≠０,f′(x)＝３ax２－６x＝０,得x＝０或x＝ ２ a． 当a＞０时,f(x)在(－∞,０)和 ２a ,＋∞( ) 上单调递 增,在 ０,２a( ) 上单调递减．且f(０)＝１＞０,故f(x)有小 于０的零点,不符合题意,排除 AC．当a＜０时,要使x０ ＞０且唯一,只需f ２a( ) ＞０,即a ２＞４,∴a＜－２．] ５．ABD　[由于三次函数的三次项系数为正值,当x→－∞ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 时,函数值→－∞,当x→＋∞时,函数值→＋∞,又三次 函数的图 像 是 连 续 不 断 的,故 一 定 穿 过 x 轴,即 一 定 ∃x０∈R,f(x０)＝０,选项 A中的结论正确;函数f(x)的 解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)３＋n(x＋ m)＋h的形式,通过平移函数图像,函数的解析式可以 化为y＝x３＋nx 的形式,这是一个奇函数,其图像关于 坐标原点对称,故函数f(x)的图像是中心对称图形,选 项B中的结 论 正 确;由 于 三 次 函 数 的 三 次 项 系 数 为 正 值,故函数如果存在极值点x１,x２,则极小值点x２＞x１, 即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的, 所以选项 C中的结论错误;根据导数与极值的关系,显 然选项 D中的结论正确．] ６．解析:函数f(x)定义域为(０,＋∞)．因为函数f(x)＝ax ＋lnx－１(a＞０)在定义域内有零点,所以a＝x－xlnx 有解,令h(x)＝x－xlnx,所以h′(x)＝－lnx,所以h(x) 的增区间为(０,１),减区间为(１,＋∞),所以h(x)max＝h(１) ＝１,故０＜a≤１． 答案:０＜a≤１ ７．解析:由题意知f′(x)＝－x＋４－ ３x ＝ －x２＋４x－３ x ＝ － (x－１)(x－３) x , 由f′(x)＝０得函数f(x)的两个极值点为１、３, 则只要这两个极值点有一个在区间(t,t＋１)内, 函数f(x)在区间[t,t＋１]上就不单调, 由t＜１＜t＋１或t＜３＜t＋１,得０＜t＜１或２＜t＜３． 答案:(０,１)∪(２,３) ８．解:函数f(x)＝a＋ x 􀅰lnx的定义域为(０,＋∞), f′(x)＝(x )′lnx＋ x 􀅰１x＝ x(lnx＋２) ２x , 令f′(x)＞０,解 得 x＞e－２;令 f′(x)＜０,解 得 ０＜x ＜e－２． 所以f(x)在(０,e－２)上单调递减,在(e－２,＋∞)上单调 递增．f(x)min＝f(e－２)＝a－ ２ e , 显然当a＞ ２e 时,f(x)min＞０,f(x)无 零 点;当a＝ ２ e 时,f(x)min＝０,f(x)有１个零点;当a＜ ２ e 时,f(x)min ＜０,f(x)有２个零点． ９．AC　[由题意,f′(x)＝３x２－１,令f′(x)＞０得x＞ ３３ 或 x＜－ ３３ , 令f′(x)＜０得－ ３３＜x＜ ３ ３ , 所以f(x)在(－ ３３ ,３ ３ )上单调递减,在(－∞,－ ３３ ), (３ ３ ,＋∞)上单调递增, 所以x＝± ３３ 是极值点,故 A正确; 因f(－ ３３ )＝１＋２ ３９ ＞０ ,f(３３ )＝１－２ ３９ ＞０ ,f(－２) ＝－５＜０, 所以,函数f(x)在 －∞,－ ３３ æ è ç ö ø ÷ 上有一个零点, 当x≥ ３３ 时,f(x)≥f ３３ æ è ç ö ø ÷ ＞０,即 函 数 f(x)在 ３ ３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 上无零点, 综上所述,函数f(x)有一个零点,故B错误; 令h(x)＝x３－x,该函数的定义域为 R,h(－x)＝(－x)３ －(－x)＝－x３＋x＝－h(x), 则h(x)是奇函数,(０,０)是h(x)的对称中心, 将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象, 所以点(０,１)是曲线y＝f(x)的对称中心,故 C正确; 令f′(x)＝３x２－１＝２,可得x＝±１,又f(１)＝f(－１) ＝１, 当切点为(１,１)时,切 线 方 程 为y＝２x－１,当 切 点 为 (－１,１)时,切线方程为y＝２x＋３, 故 D错误．] １０．AB　[根据y＝f′(x)的图像,当－１≤x＜０或２＜x＜４ 时,f′(x)＞０,函数f(x)为增函数;当０＜x＜２或４＜x ≤５时,f′(x)＜０,函数f(x)为减函数．∴当x＝０时, 函数f(x)取得极大值;当x＝４时,函数f(x)取得极大 值．∴函数f(x)有两个极大值点．∴A正确．函数f(x) 在[０,２]上是减函数,∴B正确． 作出f(x)的图像如图所示,若x∈[－１,t]时,f(x)的 最大值是２,则t满足０≤t≤５,即t的最大值是５．∴C 错误．由y＝f(x)－a＝０,得f(x)＝a,若f(２)≤１,则当 １＜a＜２时,f(x)＝a有４个根． 若１＜f(２)＜２,则当１＜a＜２时,f(x)＝a不一定有４ 个根,有可能是２个根．∴函数y＝f(x)－a有４个零 点不一定正确．∴D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 参考答案 １１．解析:对 任 意 x１ ∈R 都 存 在 x２ ∈(１,e)使 f(x１)＜ g(x２)成 立,所 以 得 到f(x)max＜g(x)max,而f(x)＝ sinx－１,所以f(x)max＝０,即存在x∈(１,e),使 a ２lnx －x＞０,此时lnx＞０,x＞０,所以a＞０,因此将问题转 化为存在x∈(１,e),使 ２a ＜ lnx x 成立,设h(x)＝lnxx , 则２ a＜h (x)max,h′(x)＝ １－lnx x２ ,当x∈(１,e),h′(x)＞ ０,h(x)单调递增,所以h(x)＜h(e)＝１e ,即 ２ a ＜ １ e ,所 以a＞２e,所以实数a的取值范围是(２e,＋∞)． 答案:(２e,＋∞) １２．解:(１)f′(x)＝１x－１ (x＞０)． 由f′(x)＞０,解得０＜x＜１;由f′(x)＜０,解得x＞１． ∴f(x)在(０,１)上单调递增,在(１,＋∞)上单调递减． (２)证明:要证当x∈(１,＋∞)时,１＜x－１lnx＜x ,即证 lnx＜x－１＜xlnx． 由(１)得f(x)＝lnx－x＋１在(１,＋∞)上单调递减, ∴当x ∈ (１,＋ ∞ )时,f (x)＜ f (１)＝ ０,即 有lnx＜x－１． 设F(x)＝xlnx－x＋１,则F′(x)＝１＋lnx－１＝lnx． 当x∈(１,＋∞)时,F′(x)＞０,F(x)单调递增． ∴F(x)＞F(１)＝０,即 有xlnx＞x－１．∴原 不 等 式 成立． １３．ACD　 [由 题 意,函 数 f(x)＝lnxx２ ,可 得f′(x)＝ １－２lnx x３ (x＞０),令f′(x)＝０,即１－２lnxx３ ＝０,解得x ＝ e,当０＜x＜ e时,f′(x)＞０,函数f(x)在(０,e)上 单调递增;当x＞ e时,f′(x)＜０,函数f(x)在(e,＋∞) 上单调递减,所以当x＝e时,函数f(x)取得极大值,极大 值为f(e)＝１２e ,所以 A 正确;由当x＝１时,f(１)＝０, 因为f(x)在 (０,e)上 单 调 递 增,所 以 函 数 f(x)在 (０,e)上只有一个零点,当x＞ e时,可得f(x)＞０,所 以函数 在 (e,＋ ∞)上 没 有 零 点,综 上 可 得 函 数 在 (０,＋∞)只有一个零点,所以 B不正确;由函数f(x) 在(e,＋∞)上 单 调 递 减,可 得f(３)＞f(π),由 于 f(２)＝ln ２２ ＝ ln２ ４ ,f(π)＝lnππ ＝ lnπ ２π , 则f(π)－f(２)＝lnπ２π－ ln２ ４ ＝ lnπ２ ４π － ln２π ４π , 因为π２＞２π,所 以 f(π)－f(２)＞０,即 f(π)＞ f(２),所以f(２)＜f(π)＜f(３),所以 C 正确;由 f(x)＜k－１x２ 在(０,＋∞)上恒成立,即k＞f(x)＋１x２ ＝ lnx＋１ x２ 在(０,＋∞)上恒成立, 设g(x)＝lnx＋１x２ ,则g′(x)＝－２lnx－１x３ , 令g′(x)＝０,即－２lnx－１x３ ＝０,解得x＝１ e , 所以当０＜x＜１ e 时,g′(x)＞０,函数g(x)在 ０, １ e æ è ç ö ø ÷ 上 单调递 增;当 x＞ １ e 时,g′(x)＜０,函 数 g(x)在 １ e ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 上单调递减,所以当x＝１ e 时,函数g(x)取 得最大值,最 大 值 为g １ e æ è ç ö ø ÷ ＝e－ e２ ＝ e ２ ,所 以k＞ e ２ ,所以 D正确,故选:ACD．] １４．证明　(１)f(x)的定义域为(０,＋∞), f′(x)＝x－１x ＋lnx－１＝lnx－ １ x． 因为y＝lnx在(０,＋∞)上单调递增,y＝１x 在(０,＋∞) 上单调递减, 所以f′(x)在(０,＋∞)上单调递增． 又f′(１)＝－１＜０,f′(２)＝ln２－１２＝ ln４－１ ２ ＞０ ,故存在 唯一x０∈(１,２),使得f′(x０)＝０． 又当x＜x０ 时,f′(x)＜０,f(x)单调递减; 当x＞x０ 时,f′(x)＞０,f(x)单调递增． 所以,f(x)存在唯一的极值点． (２)由(１)知f(x０)＜f(１)＝－２,又f(e２)＝e２－３＞０,所以 f(x)＝０在(x０,＋∞)内存在唯一根x＝α． 由α＞x０＞１,得 １ α＜１＜x０． 又f １α( )＝ １ α－１( )ln １ α－ １ α－１＝ f(α) α ＝０ , 故１ α 是f(x)＝０在(０,x０)内的唯一根． 所以f(x)＝０ 有 且 仅 有 两 个 实 根,且 两 个 实 根 互 为 倒数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册