6 用导数研究函数的性质6.2函数的极值&6.3函数的最值-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

E五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 由图可知,当a=e时,方程a--有一根,综上,a的取 'cos x-6sin x+2-3sin xcos x-0. 即(1-3sinx)(2+cosx。)-0. 值范围为(-o,0)U(e),故选ACD.] .cosx<1.2+cosx.0.1-3sinx=0,即sin 14.解析:当k<0时,任一正整数都满足不等式xke(x +1,故>0. 当 >0,x→1时,不等式x>he(x十1)等价于 .cos 2_。-1-2sinxn-1-2×()-. (x+1-1<0. 答案:7 七 2 8.解:(1)因为f(x)=ax^+blnx,所以/(x)-2ax+ &当x→1时,/(x)-(*+x-1)>o恒成立, , './(x)在[1,十×)上单调递增, /(1)-0,2a+b=0, 故 1--1. 3e /(2)-3 2。 答案:。) 且/()---1-(+1)(--1 )r 2 6.2 函数的极值 令/(x)-0,则x=-1(舍去)或x-1. 当工变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 1.AD[结合y=/'(x)的图像,可知,对A,由于x=-3 (0.1) 的两侧导数符号不同,故一3是极值点;对B,由于一1两 (1,) /() 侧导数符号相同,因而不是极值点;对C,x一0处的导数 0 大于零,故在x一0处的切线斜率大于零;对D,当x f(x){ 单调递减 极小值 单调递增 (一3,一1)时导数大于零,因而为递增区间.综上可知 AD正确,] 所以函数((x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间 2.B [根据极值的概念,左侧/(x)0,单调递增;右侧 是(1,+),且函数在定义域上只有极小值/(1)一 /(x){0,单调递减,/(x)为极大值。 而无极大值. 2(-1) 3.D[:y-1- 1+r=1+ →0..,画数y=x-ln(1+r*)无极值.] 令/P(x)-0,得*一(-1),(*) 4.B [由y=e-2mx,得y'=e-2m.因为函数y=e 要使f(x)存在极值,则方程(*)在(0,十oo)上有解. 2mx有小于零的极值点,所以e一2m一0有小于零的实 '.(-1)0.又N..-2,4,6,8.....b的取值 集合是(2,4,6,8...).] 10.AC[由题意得,f(x)的定义域为(0,+oo),且f(x)一 # 5.ABD[由题图可知,当x(-o,c)时,/(x)0,当xE .h(x)在(0,+o)上单调增,又()-et-2=、# (c.e)时,f(x)<0,当xé(e,十)时,f(x)>0,所以f(x) -2~0,h(1)一e-1>0,h(x。)存在唯一零点,设为 在(-o,c)上递增,在(c,e)上递减,在(e,十oo)上递增, x.。,当0 x<x。时,/(x)<0,f(x)单调递减,当x>x。 对A,f(d)>f(e),故A错误;对B,函数f(x)在[a,b]上 时,/(x)0,f(x)单调递增,'f(x)有唯一极小值点 递增,在[b,c]上递增,在c.d上递减,故B错误;对C xo,故选项A正确.令/(x。)-。1-o,得。= 函数f(x)的极值点为c,e.故C正确;对D,函数f(x)的 1。 极大值为f(c),故D错误。] 1,两边同时取对数可得x。-ln--lnx。../(txo) 。2 6.解析:由题意,函数f(x)=一x十ar一4,可得f(x) 1。 .。-2-0(当 一-3r*十2ax,因为x一2是函数f(x)的极值点,可得 r。 f(2)-0,所以-3×4+2ax2-0,解得a-3. 且仅当x。=1时等号成立),又1<x。<1,:./(r。)> 答案:3 0,即[f(x)]0,./(x)无零点,故选项B错误,由/ .函数/(x)在x一x。处取得极值, r .64. 参考答案 课时作业 当<<l时,(x)<o()在(1)上单调 (2)由(1)知(x)--, 减(1)<g(x)<()#</(x),故选 所以/(1)-#(x-1)(x+1) C正确,选项D错误,故选:AC.] 当x-1或x1时,f(x) 0;当-1<x 1时, 11.D[因为f(x)=a(x-a)(x-b),所以f(x)=a( f'(x)<0.所以函数f(x)在(一,-1)和(1,+o)上 a)(3x-a-2b). 是增函数,在(一1,1)上为减函数. _ao 所以当工一一1时,函数取得极大值,且极大值为f(一 因为x一a为f(x)的极大值点,所以 1)-1;当x一1时,函数取得极小值,且极小值为f(1) 1一a+2或 --1. 6.3 10 函数的最值 (>0 (0 +2,即 1.C [由题中函数图像可知,函数只有一个极小值点,且 函数在此处取得最小值,没有最大值,] 12.解:(1)·'f(x)=alnx+bx+x. 2.A [令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)= (x)一g'(). ./()-+2hx+1. 又/f(x) g'(x),故F(x)<0,.'.F(x)在[a,b]上单调 由极值点的必要条件可知:f(1)一f(2)-0. 递减,.'F(x)<F(a)-f(a)-g(a).] e“cos ,当0<时,/(c)→0.i./(x)在[0,吾]上 最小值为(0)-#。 (), 4.B [因为函数f(x)定义域为(0,十),所以依题可知, $($1)-2,/(1)-0,而 (x)--,所以b=-2, 当xE(0,1)时,f(x)0;当xE(1,2)时,(x)>0; 当x(2.+o)时,/(x) 0:所以x-1是函数f(x)的 极小值点,1一2是函数/(x)的极大值点。 此画数f(x)在(0,1)上递增,在(1,+o0)上递减,x-1 时取最大值,满足题意,即有/(2)--1+ 5.A [令y-ln,则y-1-ln.可以验证当y-0即 #r--时 y 1n--,又y<1对于x→o ##→#以#(#)在(##)上单 #调减#在#,)(#) 恒成立,:<1,得b<1.又→0 →..k>o. . 上单调递增。 。 01.] 所以/(x)的极大值点为x二-- 6.解析:/(x)-3-3r^=-3(x-1)(x+1),当x<-1或 1时,f(x)<0,当-1<x<1时,f(x)0,'= 1是函数f(x)的极小值点,·函数/(x)一3x一工*在区 间(a-1,a)上有最小值,即为极小值,'a-1<-1 a, 解得-1<a<0. 答案:(-1.0) (1,<o. 7.解析:若a-0时,/(x)一 ((x-2),x0' ./f()=0; 故x<一 <0./(2)=a 若a0时,当x<a时,/(x)=一ax+1单调递增,当 →一co时,f(x)→一xo,故f(x)没有最小值,不符合题 >0,所以x<2.] 目要求; 14.解:(1)由已知,f'(x)-3ax+2bx十c,且f'(1) 若a0时, f'(-1)-0,得3a+2b+c-0,3a-2b+c-0. 当xa时,f(x)-一ax+1单调递减,f(x)f(a) 又f(1)--1,所以a+b+c=-1. -a十1, 3. 所以a-,6-0,c-- (0<a<2) 当x>a时,f(x)min= ((a-2)*(a→2) ·65· E五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 '.-a+1>0或-a+1>(a-2)*, &(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+o)上单调递减, 解得0<a<1, 综上可得0a1; 答案:0(答案不唯一)1 答案2-6 12.解:根据题意,f(x)-3x^{-2ax+3,x=3是函数f() 的极值点,得f(3)-0,即27-6a+3-0,得a-5.所 以f(x)-x-5x*+3x. 区间为(0.②),单调递减区间为(2,2). 令/(x)-3x-10x+3-0,得x-3或x-1(舍去). 当1 x<3时,f(x)<0,函数f(x)在[1,3)上是减 x(2-r) 函数; (0.1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1) 当3x5时,/(x)0,函数f(x)在(3,5]上是增 &数. 由此得到当x一3时,函数f(x)有极小值f(3)一一9. 也就是函数/(x)在[1,5]上的最小值;又因为f(1)一 -1./(5)-15,即函数/(x)在[1,5]上的最大值为/ 若>,则f'(x)<0.fx)单调递减;若1<<,则 (5)-15. f(x)0,f(x)单调递增.故当x一、时,函数/(x)有最 综上,函数f(x)在[1,5]上的最大值为15,最小值为 -9. 13.ABD[由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+o),且 f(x)_a-1a-1.当a<o时,/'(x)<o恒成立, 不符合题意,当0 a 1时,函数f(x)在[1,+o)上单 此时f(x)单调递减,没有极值,又:当x→0时,f(x) →十oo,当r→十co时,f(x)→-oo, a1 './(x)有且只有一个零点,当a>0时,在(o,)上, 1,符合题意,故a的值为3一1,故选:A.] /(2)<o./(x)单调减,在(,)上.f(x)o, 10.AB [对于选项A,当a=-1时,f(x)-cos在区间 f(x)单调递增,:.当x-一时,/(x)取得极小值,同时 [,]上减 也是最小值, .(x)_=/()=1+lna,当x→0时,ln→→-0, 所以M-- } f(x)→+o0,当→+oo时,(x)→+oo,当1+lna= B,当a=2时,f(x)-x·cosx.则f(x)=xcosx(2 0.即a--时,/(x)有且只有一个零点;当1十lna<0, -x anx)>0.v./(2)在区问[吾,]上递增,即M= 即o~a二一时,/(x)有且仅有两个零点,综上可知 ABD正确,C错误.] (2x0 14.解析:作出函数/(x)一 (,0 (o)时,r<tanx短成立,所以/(c)-x cosx< 的图像,如图所示, 由[f(x)=a可得f(x)=,所以a>1,即a>1,不 tan: cos x-sin,所以M一,故选项 C错误 妨设m<n,则2m-”-,令-t(t>1),则m= 对于选项D,当a=3时,f(x)一x·cosx,则/(x) cosx(3-x tanx)>0.v.f(ac)在区间[吾】上递 增M一·()##,故选D错误。 0;当t8时,g(t)<0,当t-8时,g(t)取得最大值g 过e:=f(2ln:--:)= ()-ln8-2-3ln2-2. e f(x),且f(x)一e在R上单调递增; .-21n2:--. =2.ln-1. 设(x)-1n,则n'(x)1-ln(c>o), 当x(0.e)时,h(x)>0; 当xE(e.+oo)时,h(x)<0. 答案:3ln2-2 .66.　　　６􀆰２　函数的极值 [基础达标练] １．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝ f′(x)的图像,则给出的下列命题中正确的是 (　　) A．－３是函数y＝f(x)的极值点 B．－１是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在x＝０处切线的斜率小于零 D．y＝f(x)在区间(－３,１)上单调递增 ２．下列结论中,正确的是 (　　) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果f(x)在x０ 处连续且在x０ 点附近的左 侧f′(x)＞０,右侧f′(x)＜０,那么f(x０)是 极大值 C．如果在x０ 点附近的左侧f′(x)＞０,右侧 f′(x)＜０,那么f(x０)是极小值 D．如果在x０ 点附近的左侧f′(x)＜０,右侧 f′(x)＞０,那么f(x０)是极大值 ３．已知函数y＝x－ln(１＋x２),则函数y＝x－ln(１ ＋x２)的极值情况是 (　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 ４．若函数y＝ex－２mx有小于零的极值点,则实 数m 的取值范围是 (　　) A．m＜１２　　　　　　B．０＜m＜ １ ２ C．m＞１２ D．０＜m＜１ ５．(多选)已知定义在 R上的函数f(x),其导函 数f′(x)的大致图像如图所示,则下列叙述不 正确的是 (　　) A．f(a)＞f(e)＞f(d) B．函数f(x)在[a,b]上递增,在[b,d]上递减 C．函数f(x)的极值点为c,e D．函数f(x)的极大值为f(b) ６．若函数f(x)＝－x３＋ax２－４在x＝２处取得 极值,则a＝　　　　． ７．f(x)＝sinx＋６cosx＋２x＋３４cos２x 在x＝ x０ 处取得极值,则cos２x０＝　　　　． ８．已知函数f(x)＝ax２＋blnx 在x＝１处有极 值１ ２． (１)求a,b的值; (２)判断函数f(x)的单调区间,并求极值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 [能力提升练] ９．已知函数f(x)＝x２－２(－１)klnx(k∈N＋)存 在极值,则k的取值集合是 (　　) A．{２,４,６,８,􀆺} B．{０,２,４,６,８,􀆺} C．{１,３,５,７,􀆺} D．N＋ １０．(多选)已知函数f(x)＝ex－lnx－２,则下列 说法正确的是 (　　) A．f(x)有且仅有一个极值点 B．f(x)有零点 C．若f(x)的极小值点为x０,则０＜f(x０)＜ １ ２ D．若f(x)的极小值点为x０,则 １ ２＜f (x０)＜１ １１．(２０２１􀅰全国乙卷)设a≠０,若x＝a为函数f (x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则 (　　) A．a＜b B．a＞b C．ab＜a２ D．ab＞a２ １２．设x＝１与x＝２是函数f(x)＝alnx＋bx２＋ x的两个极值点． (１)试确定常数a和b的值; (２)判断x＝１,x＝２是函数f(x)的极大值点 还是极小值点,并说明理由． [素养培优练] １３．设函数f(x)＝x３－４x＋a,０＜a＜２,若f(x) 的三个零点为x１,x２,x３,且x１＜x２＜x３,则 (　　) A．x１＞－１ B．x２＞０ C．x２＜０ D．x３＞２ １４．已知f(x)＝ax３＋bx２＋cx(a≠０)在x＝±１ 时取得极值,且f(１)＝－１． (１)试求常数a,b,c的值; (２)试判断x＝±１时函数取得极小值还是极 大值,并说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第二章　导数及其应用 　　　　６􀆰３　函数的最值 [基础达标练] １．如图所示,函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的 图像是一条直线,则 (　　) A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值,没有最小值 C．函数f(x)没有最大值,有最小值 D．函数f(x)有最大值也有最小值 ２．已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函 数,在[a,b]上连续且f′(x)＜g′(x),则f(x) －g(x)的最大值为 (　　) A．f(a)－g(a)　　　　　B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) ３．函 数 f(x)＝１２e x(sinx＋cosx)在 区 间 ０,π２[ ]上的值域为 (　　) A．１２ ,１ ２e π ２[ ] B．１２, １ ２e π ２æ è ç ö ø ÷ C．[１,e π ２] D．(１,e π ２) ４．(２０２２􀅰全国甲卷)当x＝１时,函数f(x)＝ alnx＋bx 取得最大值－２,则f′(２)＝ (　　) A．－１ B．－１２ C．１２ D．１ ５．已知不等式lnkxx ≤ １ e 对任意的正实数x 恒 成立,则实数k的取值范围是 (　　) A．(０,１] B．(－∞,１] C．[０,２] D．(０,２] ６．若函数f(x)＝３x－x３ 在区间(a－１,a)上有 最小值,则实数a的取值范围是　　　　． ７．(２０２２ 􀅰 北 京 卷 )设 函 数 f (x)＝ －ax＋１,x＜a, (x－２)２,x≥a．{ 若f(x)存在最小值,则a的 一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　． ８．设函数f(x)＝lnx＋ln(２－x)＋ax(a＞０)． (１)当a＝１时,求f(x)的单调区间; (２)若f(x)在(０,１]上的最大值为１２ ,求a的值． [能力提升练] ９．已知函数f(x)＝ xx２＋a (a＞０)在[１,＋∞]上 的最大值为 ３ ３ ,则a的值为 (　　) A．３－１ B．３４ C．４３ D．３＋１ １０．(多选)设f(x)＝xa􀅰cosx,x∈ π６ ,π ３[ ] 的 最大值为M,则 (　　) A．当a＝－１时,M＜ ３ B．当a＝２时,M＜ ３３ C．当a＝１时,M＞ ３２ D．当a＝３时,M＜１２ １１．已知f(x)＝ex,g(x)＝x ２ ex ,若存在实数x１, x２ 满足f(x１)＝g(x２),则 x１ x２ 的最大值为 　　　　． １２．已知函数f(x)＝x３－ax２＋３x,x＝３是函数 f(x)的极值点,求函数f(x)在x∈[１,５]上 的最大值和最小值． [素养培优练] １３．(多选)已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R),则 下列说法正确的是 (　　) A．若a≤０,则函数f(x)没有极值 B．若a＞０,则函数f(x)有极值 C．若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a 的取值范围是 －∞,１e æ è ç ö ø ÷ D．若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是(－∞,０]∪ １e{ } １４．已 知 函 数 f(x)＝ ２x２,x≤０ ex,x＞０{ ,若 方 程 [f(x)]２＝a恰有两个不同的实数根m,n,则 m＋n的最大值是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册