7 导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义& 7.2 实际问题中的最值问题-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§７　导数的应用 　　　７．１　实际问题中导数的意义 　　　　　７．２　实际问题中的最值问题 [基础达标练] １．设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设速 度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的函数关系 为v＝v(t)＝t３＋３t,则t＝t０s时轿车的加速 度为 (　　) A．(t３０＋３t０)m/s２　　　　B．(３t２０＋３)m/s２ C．(３t３０＋３t０)m/s２ D．(t３０＋３)m/s２ ２．设球的半径为时间t的函数R(t),若球的体积 以均匀的速度C增长,则球的表面积的增长速 度与球的半径 (　　) A．成正比,比例系数为C B．成正比,比例系数为２C C．成反比,比例系数为C D．成反比,比例系数为２C ３．将８分为两个非负数之和,使两个非负数的立 方和最小,则应分为 (　　) A．２和６　　　　　　B．４和４ C．３和５ D．以上都不对 ４．某公司生产某种产品,固定成本为２００００元, 每生产一单位产品,成本增加１００元,已知总 营业收入 R 与年产量x 的关系是R(x)＝ ４００x－１２x ２,０≤x≤４００, ８００００,x＞４００,{ 则 总 利 润 最 大 时, 每年生产的产品是 (　　) A．１００ B．１５０ C．２００ D．３００ ５．(多选)如图所示,外层是类似于“甜筒冰淇淋” 的图形,上部分是体积为１０ １５π的半球,下 面大圆刚好与高度为６的圆锥的底面圆重合, 在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥,小圆锥 底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与 外层圆锥顶点重合,则该小圆锥体积可以为 (　　) A．１０π B．１８π C．３０π D．４０π ６．假设某国家在２１年期间的平均通货膨胀率为 ５％,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)的函 数关系为p(t)＝p０(１＋５％)t,其中p０ 为t＝０ 时的物价．假定某商品的p０＝１,那么在第１０个 年头,这种商品的价格上涨的速度是　　　　． (其中１􀆰０５１０＝１􀆰６３,ln１􀆰０５＝０􀆰０５,结果精确 到０􀆰０１) ７．某莲藕种植塘每年的固定成本是１万元,每年 最大规模的种植是８万斤,每种植一斤藕,成 本增加０􀆰５元,如果销售额函数是f(x)＝－１８ x３＋９１６ax ２＋１２x (x是莲藕种植量,单位:万斤; 销售额的单位:万元,a是常数),若种植２万 斤,利润是２􀆰５万元,则要使利润最大,每年种 植莲藕　　　　万斤． ８．现有一批货物由海上从A 地运往B 地,已知 轮船的最大航行速度为３５nmile/h,A 地至B 地之间的航行距离约为５００nmile,每小时的 运输成本由燃料费用和其余费用组成,轮船每 小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比 例系数为０􀆰６),其余费用为每小时９６０元． (１)把 全 程 运 输 成 本 y(元)表 示 为 速 度 x (nmile/h)的函数y＝f(x); (２)求x从１０变到２０的平均运输成本; (３)求f′(１０)并解释它的实际意义． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第二章　导数及其应用 [能力提升练] ９．如图,设有定圆C 和定点O,当l从l０ 开始在 平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过９０°) 时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数,则它的大致图像是 (　　) １０．(多选)北斗卫星导航系统是中国自行研制的 全球卫星导航系统,可在全球范围内为各类 用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导 航、授时服务,２０２０年７月３１日上午,北斗三 号全球卫星导航系统正式开通,北斗导航能 实现“天地互通”的关键是信号处理,其中某 语言通讯的传递可以用函数f(x)＝cosx＋ cos５x ５ ＋ cos９x ９ 近似模拟其信号,则下列结 论中正确的是 (　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的图像关于点 －π２ ,０æ è ç ö ø ÷对称 C．对任意x∈R,都有f′(π－x)＝f′(x) D．函数f′(x)的最小值为－３ １１．要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端 为半球形的密闭储油罐,已知圆柱侧面的单 位面积造价是下底面积的单位面积造价的一 半,而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱 侧面的单位面积造价的一半,储油罐的下部 圆柱的底面半径R＝　　　　时,造价最低． １２．某商店经销一种商品,每件产品的成本为３０ 元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a元(a为常数,２≤a≤５)的税收．设每件产品 的售价为x元(３５≤x≤４１),根据市场调查, 日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比 例．已知每件产品的日售价为４０元时,日销 售量为１０件． (１)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的 日售价x元的函数关系式; (２)当每件产品的日售价为多少元时,该商品 的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值． [素养培优练] １３．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城 站路修建的圆形休闲广场,圆心为O,半径为 １００m,其与城站路一边所在直线l相切于点 M,MO 的延长线交圆O 于点N,A 为上半圆 弧上一点,过点A 作l的垂线,垂足为点B． 市园 林 局 计 划 在△ABM 内 进 行 绿 化,设 △ABM 的面积为S(单位:m２)． (１)以∠AON＝θ(rad)为自变量,将S 表示 成θ的函数; (２)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大 绿化面积． １４．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子的制造成本是０．８πr２ 分,其r(单位: cm)中是瓶子的半径,已知每出售１mL的饮 料制造商可获得０􀆰２分,且制造商能制作的 瓶子的最大半径是６cm． (１)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润 最大? (２)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 §７　导数的应用 ７．１　实际问题中导数的意义 ７．２　实际问题中的最值问题 １．B　[因为v′(t)＝３t２＋３,所以当t＝t０s时的速度变化率 为v′(t０)＝３t２０＋３(m/s２)．即t＝t０s时轿车的加速度为 (３t２０＋３)m/s２．] ２．D　[根据题意,V＝４３ πR ３(t),S＝４πR２(t),所以球的体 积增长速度为V′＝４πR２(t)R′(t),球的表面积的增长速 度为S′＝２×４πR(t)R′(t)． 又因为球的体积以均匀的速率C 增长,所以球的表面积 的增长速度与球的半径成反比,比例系数为２C．] ３．B　[设一个数为x,则另一个数为８－x,则其立方和y＝ x３＋(８－x)３＝８３－１９２x＋２４x２(０≤x≤８),y′＝４８x－ １９２．令y′＝０,即４８x－１９２＝０,解得x＝４．当０≤x＜４ 时,y′＜０;当 ４＜x≤８ 时,y′＞０．所 以 当 x＝４ 时,y 最小．] ４．D　[由题意,得总成本函数为C(x)＝２００００＋１００x,总 利 润 P (x ) ＝ R (x ) － C (x ) ＝ ３００x－x ２ ２－２００００ ,０≤x≤４００, ６００００－１００x,x＞４００． { 所以P′(x)＝ ３００－x,０≤x≤４００, －１００,x＞４００．{ 令P′(x)＝０,得x＝３００,易知x＝３００时,总利润P(x) 最大．] ５．ABC　 [令 上 部 分 的 半 球 半 径 为 R,可 得 ２３πR ３ ＝ １０ １５π,解得R＝ １５,设小圆锥的底面半径为r,小圆 锥底面中心到球心距离为h,可知r,h和R 可构成直角 三角形,即r２＋h２＝１５,小圆锥体积V＝１３πr ２(h＋６)＝ １ ３π (１５－h２)(h＋６)(０＜h＜ １５)． 令f(h)＝(１５－h２)(h＋６)(０＜h＜ １５),则f′(h)＝ －３(h＋５)􀅰(h－１),可知f(h)在(０,１)上单调递增,在 (１, １５)上 单 调 递 减,所 以 当h＝１ 时,f(h)最 大,f (h)max＝f(１)＝９８,即Vmax＝ ９８ ３π ,即 ABC三个选项都满 足题意,故选 ABC．] ６．解析:当p０＝１时,p(t)＝１􀆰０５t,p′(t)＝１􀆰０５t×ln１􀆰０５, 所以p′(１０)＝１􀆰０５１０×ln１􀆰０５＝１􀆰６３×０􀆰０５≈０􀆰０８．所 以此时商品的价格上涨的速度是０􀆰０８元/年．] 答案:０􀆰０８ ７．解析:设销售利润为g(x),得g(x)＝－１８x ３＋９１６ax ２＋ １ ２x－１－ １ ２x＝－ １ ８x ３＋９１６ax ２－１,当x＝２时,g(２)＝ －１８×２ ３＋ ９１６a×２ ２－１＝２􀆰５,解 得a＝２．∴g(x)＝ －１８x ３＋９８x ２－１,g′(x)＝－３８x ２＋９４x＝－ ３ ８x (x－ ６),∴函数g(x)在(０,６)上单调递增,在(６,８)上单调递 减．∴x＝６时,函数g(x)取得极大值即最大值． 答案:６ ８．解:(１)依 题 意 得 y＝５００x (９６０＋０􀆰６x２)＝４８００００x ＋ ３００x,函数的定义域为{x|０＜x≤３５},∴y＝４８００００x ＋ ３００x(０＜x≤３５)． (２)Δy＝f(２０)－f(１０)＝４８００００２０ ＋３００×２０－ ４８００００ １０ ＋３００×１０( )＝－２１０００, ∴ΔyΔx ＝ －２１０００ ２０－１０ ＝－２１００． (３)f′(x)＝－４８００００x２ ＋３００, ∴f′(１０)＝－４８０００１０ ＋３００＝－４５００． f′(１０)表 示 当 速 度 x＝１０nmile/h 时,速 度 每 增 加 １ nmile/h,每小时的运输成本就要减少４５００元． ９．D　[因为是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最 后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快．选项 A 表 示面积的增速是常数,与实际不符;选项 B表示最后时 段面积的增速较快,也与实际不符;选项 C 表示开始时 段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符; 选项 D表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段 增速较快,符合实际．] １０．BCD　[A．因为y＝cosx,y＝cos５x５ ,y＝cos９x９ 的周期 分别是２π,２π５ ,２π ９ ,其最小公倍数为２π,所以函数f(x) 的最小正 周 期 为 ２π,故 A 错 误;B．因 为f －π２( ) ＝ cos －π２( )＋ cos －５π２( ) ５ ＋ cos －９π２( ) ９ ＝０ ,故 B正确; C．f′(x)＝－sinx－sin５x－sin９x＝f′(π－x),故C正 确;D．f′ π２( )＝－sin π ２－sin ５π ２－sin ９π ２＝－３ ,故 D 正确,故选BCD．] １１．解析:设圆柱的高为h,圆柱底面单位面积造价为１,总 造价为y,因为储油罐容积为 π,所以 πR２h＋ ４３πR ３􀅰 １ ２＝π ,整理得:h＝ １－２３R ３ R２ ＞０, 所 以 y＝πR２ ＋２πRh􀅰 １２ ＋ １ ２ 􀅰４πR２ 􀅰 １４ ＝ π ５６R ２＋１R( ) ,令u＝ ５ ６R ２＋１R ,则u′＝５３R－ １ R２ , 当u′＞０得 ３ ３ ２ ＞R＞ ３ ７５ ５ ,当u′＜０得０＜R＜ ３ ７５ ５ , 所以当R＝ ３ ７５ ５ 时,u取最小值,即y取得最小值． 答案: ３ ７５ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 参考答案 １２．解:(１)设日销售量为k ex ,则 k e４０ ＝１０,∴k＝１０e４０,则日 售量为１０e ４０ ex 件． 则日利润L(x)＝(x－３０－a)１０e ４０ ex ＝１０e４０×x－３０－a ex ; 所以该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元 的函数关系式为L(x)＝１０e４０x－３０－a ex ． (２)L′(x)＝１０e４０３１＋a－x ex ． ①当２≤a≤４时,３３≤a＋３１≤３５, 当３５＜x＜４１时,L′(x)＜０．∴当x＝３５时,L(x)取最 大值为１０(５－a)e５; ②当４＜a≤５时,３５≤a＋３１≤３６, 令L′(x)＝０,得x＝a＋３１,易知当x＝a＋３１时,L(x) 取最大值为１０e９－a． 综上可得L(x)max＝ １０(５－a)e５,(２≤a≤４) １０e９－a,(４＜a≤５){ ． 所以当２≤a≤４时,当每件产品的日售价为３５元时,L (x)取最大值为１０(５－a)e５;当４＜a≤５时,每件产品 的日售价为a＋３１元时,该商品的日利润L(x)最大,最 大值为１０e９－a． １３．解:(１)由题意知,BM＝１００sinθ,AB＝１００＋１００cosθ, 故S＝＝１２AB 􀅰BM＝５０００sinθ(１＋cosθ)(０＜θ＜π)． (２)因为S５０００sinθ(１＋cosθ)(０＜θ＜π), 所以S′＝５０００(cosθ＋cos２θ－sin２θ) ＝５０００(２cos２θ＋cosθ－１)＝５０００(cosθ＋１)(２cosθ－１)． 令S′＝０,得cosθ＝１２ 或cosθ＝－１(舍去),又θ∈(０, π),故θ＝π３ ． 当０＜θ＜π３ 时,１ ２ ＜cosθ＜１ ,S′＞０,S为增函数; 当 π ３ ＜θ＜π 时,－１＜cosθ＜１２ ,S′＜０,S为减函数． 故当θ＝π３ 时,S取得极大值,也是最大值,最大值为３ ７５０ ３ ,此时AB＝１５０． 即当点A 距路边的距离为１５０m 时,绿化面积最大,最 大面积为３７５０ ３m２． １４．解:由题意可知,每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝０．２×４３πr ３ －０．８πr２＝０．８π r ３ ３－r ２( ) ,０＜r≤６． 所以f′(r)＝０．８π(r２－２r) 令f′(r)＝０,解得r＝２． 当x∈(０,２)时,f′(r)＜０;当x∈(２．６)时,f′(r)＞０． 因此,当半径r＞２时,f′(r)＞０,f(r)单调递增,即半径 越大,利润越高;当半径r＜２时,f′(r)＜０,f(r)单调递 减,即半径越大,利润越低． (１)半径为６cm 时,利润最大 (２)半径２cm 时,利润最小,这时f(２)＜０,表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润为负值． §８　数学探究活动(二) 探究函数性质 １．C　[由题意可知f′(x)＝－x＋ bx＋２＜０ ,在x∈(－１,＋ ∞)上恒成立,即b＜x(x＋２)在x∈(－１,＋∞)上恒成 立,由于x≠－１,所以b≤－１,故 C正确．] ２．D　[∵(x－１)f′(x)＜０,∴当x＞１时,f′(x)＜０,此时 函数f(x)单调递减;当x＜１时,f′(x)＞０,此时函数f (x)单调递增．又f(１􀆰９＋x)＝f(０􀆰１－x),∴f(x)＝f(２ －x),∴f(３)＝f[２－(－１)]＝f(－１),∵－１＜０＜ １２ , ∴f(－１)＜f(０)＜f １２( ) ,∴f(３)＜f(０)＜f １ ２( ) , ∴b＞a＞c．] ３．B　[因为函数f(x)＝ex－ax２(x＞０)无零点,所以方程 ex－ax２＝０在x∈(０,＋∞)上无解,即a＝e x x２ 在x∈(０, ＋∞)上无解,令g(x)＝e x x２ (x＞０),g′(x)＝e x(x－２) x３ , 当x＞２时,g′(x)＞０,函数g(x)单调递增,当０＜x＜２ 时,g′(x)＜０,函数g(x)单调递减,所以x＝２时,函数g (x)有唯一的极小值,也是最小值．因为g(２)＝e ２ ４ ,所以 g(x)≥e ２ ４． 若a＝e x x２ 无解,则a＜e ２ ４ ,故选:B．] ４．B　[由题意a≠０,f′(x)＝３ax２－６x＝０,得x＝０或x＝ ２ a． 当a＞０时,f(x)在(－∞,０)和 ２a ,＋∞( ) 上单调递 增,在 ０,２a( ) 上单调递减．且f(０)＝１＞０,故f(x)有小 于０的零点,不符合题意,排除 AC．当a＜０时,要使x０ ＞０且唯一,只需f ２a( ) ＞０,即a ２＞４,∴a＜－２．] ５．ABD　[由于三次函数的三次项系数为正值,当x→－∞ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册