6 用导数研究函数的性质 6.1第1课时 函数的单调性与导数&第2课时 函数单调性的综合问题-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

参考答案 课时作业 13.D [由P(t)-P2得P(t)=一 A选项表示x一x。与f(x)一f(x。)异号,即f(x)图像 为1一15时,该放射性同位素的瞬时变化率为一 x1一r。 3\2ln 2.即P'(15)-21n2p。-3、2ln2,解得P。 .-。与f(x)一f(x。)同号,即f(x)图像的割线斜率 10 60 10 -18,则P(t)-18·2,当该放射性同位素含量为 1一x: 4.5贝克时,即P(t)=4.5,所以18·2-4.5,即 对应的画数值,即图中点B的纵坐标, ## f(x)十/()表示当x-x和x=x。时所对应的画数 14.解析:/(c)-[ln(ax+1)](1)- 值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有/()< (1) 所以/(1)--1-0.所以a-1. a+12 f(x)十/(x) 一,故C不正确,D正确,故选:AD.] 答案:1 86 6.解析:y'=2+cosx,cosx[-1,1.y'0在R上恒 用导数研究函数的性质 成立,所以函数的单调增区间为(一,十() 6.1 函数的单调性 答案:(一,十) 第1课时 函数的单调性与导数 7.解析:令f'(x)-x-4x+3<0,得1<x<3,由1<1 1.B [由题图可知,当x(,x).(x,x),(x,x)时, r'(x)0,当xE(x,)时,f(x) 0,'数f(x)在 x 3,解得0 x<2,故函数f(1+x)的单调递减区间为 (.)上单调递减,在(x,。),(x,x。).(x,x。)上单 (0,2). 调递增,'.晶数y一f(x)的一个单调递减区间是(x。. 答案:(0,2) x).故选B.] 8.解:当1 x4时,/(x)0,可知f(x)在此区间内单调 2 递增;当工>4或x1时,/(x)0,可知f(x)在这两个 区间内单调递减;当x一4或x一1时,/(x)一0,这两点 2 3-2”的单调增区间是(1,十0)] 比较特殊,我们称它们为“临界点”,综上,函数f(工)图像 的大致形状如图所示. y=/fx) 是减函数,] 4.B [对于A,显然y=sinx在(0,十oo)上既有增又有 减,故排除A;对于B,对于函数y一xre^{,因e^{}为大于零 的常数,不用求导就知y一xe{}在(0,十)内为增函数, 9.B[由题图可知,f(x)二0的区间是(一,2),故函数 B合题意;对于C.y-3-一1-3)(,故 y-f(x)的增区间为(-o,2).] 10.BCD [对于A,f(x)一2*既不是奇函数也不是偶函 &数在_一~,一)#.(#)上为增画数,在# 数,且单调递增,故A错误;对于B,/(x)的定义域为 (-##)上为减般,排除 C;对于D.y--1(x R.且f(-x)=sin(-x)十x=-(sinx-x)=-f(x). '.f(x)是奇函数,又f(x)一c0sx-10恒成立,故是 >0).故函数在(1,+)上为减函数,在(0,1)上为增函 减函数,故B正确;对于C./(x)的定义域为R,且 数,排除D,故选B] f(一x)=e一e一-f(x),.f(x)是奇晶数,:f(x) 5.AD[由题中图像可知,导函数/(x)的图像在工轴下 一一c一之0,故f(x)是减函数,故C正确:对于D. 方,即f(x)0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(工) 图像上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的 fx)的定义域为R,且f(一x)=x一x=rx= 倾斜角是越来越大的钝角,由此可得/(x)的大致图像如 一f(x)..f(x)是奇函数,又f(x)=一xx= 图所示. (^*,x<0 (一0 是减函数,故D正确,故选:BCD 11.解析:函数y-ln(-x-2)的定义域为(-,-1)(2. +o),令/Gr)--x-2/()-2x-1<0,得<1 '.函数y-ln(r-x-2)的单调递减区间为(-oo,-1). 答案:(-o.-1) .61. E五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 12.解:A(lnm,m),B(2e”,m),其中,2e”>lnm,且m 4.B [根据题意,由f(x)<g(x),得f(x)一g(x)<0 >0,所以AB-2e*1-lnm. 令F(x)-f(x)一g(x),则F(x)在[a,b]上递减,由单调 令y2-寸-1nxx→>0,则y-2--1 今y-0. 性知,当xE[a,b]时,必有F(x)F(b),即f(x)一g(x) f(b)一g(b),移项整理,得f(x)-f(b)一g(x)-g 得-. ().] 5.AC[由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(-1,+). 所以当<xl时,y<o,当x→-时,y→0,所以y -2--+-1n x.xt→0在(0-)上单调减,在 (,)上单调增.# 递增,A正确;由f(0)-0,当-1<x0时,ln(1+x)0. fx)=xln(1+x)>0,当ln(1+x)>0,/(x)>0,所以 所以x--时,AB-2+ln2. (2)只有一个零点,B错误;令x-,#(-)- 13.B [构造函数g(x)-f(x)-(2x+4),则g(-1)-2- (-2+4)-0,又/(x)2..g'(x)=/(x)-2>0. .g(x)是R上的增函数.f(x)>2x+4g(x)>0 (一}((-)处切线的斜率为-1-ln2.C正确; g(x)>g(-1)..x>-1.] _>0且x1,则/(x)= 由函数的定义域为(一1,十c),不关于原点对称知, 14.AC [设品数/(x)一 In f(x)不是偶函数,D错误.] ln11->0且x≠1, 6.解析:由/(x)-sinx十寸'+lnx,得/'(x)=cosx十 lnInrnx “(n)-1n,>0且≠1,当x→+时,”(x) -1(>0) x(lnx){ <0,所以当工很大时,随着x的增大,n(x)的增长速度 .当x>0时,x1→2.cosx[-1,1]. 变慢,故A正确; .当x0时,f(x)0...f(x)在(0,+o)上单调递 1-a>0. 增,:由/(1-a)<f(2a),得2a>0, 1-<2a ._~a<1.实数a的取值范因是(,1). 答案:() 7.解析:因为f(x)=x-sinx,所以f(一x)=-x十sin 由图像可得随着工的增大,n(x)并不减小,故B错误 一一f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)一 当工很大时,在区间(x,x十n)(n是一个较大常数)内. 1-cosx二0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1) 函数增长得慢,素数的个数随工的增大而减少,故C正 +f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x 一2),即x+12x-2,解得x3,故不等式的解集为 (-,3). 第2课时 函数单调性的综合问题 答案:(一,3) 1.D['/(x)=+(>o),:/(c)-1-,令/’(a) 8.解:/(x)的定义域为(0,+0o)./(x)-12ax -1-<o.解得一、<x<o或0<<、..f(c)的单 2 2ax*十a+1 调减区间为(-6,0),(0,)] 当a→0时,f(x)>0,故f(x)在(0,+o)上单调递增。 2.D[':a>0.f(x)为增函数,'./(x)=3ar+2bx十c> 当a-1时,f(x)<0,故f(x)在(0,十o)上单调 0恒成立..△-(2b)-4x3axc=4-12ac0.*.b 递减. -3ac<0.] 3.A [/(x)的定义域是(0,+oo),/(x)-x- #、-)时,#(2x) 0;# 则当xE 解得1。 (a十1<3, #<,)时,()_0o. <2.] 2a' .62. 参考答案 课时作业 (#上# 单调 选增,在 故/(x)在 因此,函数g(x)-(x) 的单调递减区间为(0,1),(4, 。” ##行) 。上单调递减. 士). 答案:(0,1),(4,+oo) 9.D [关于x的不等式x+mx-20在区间[1,2]上有 12.解:(1)由函数的解析式可得:f(x)-3r一2x十a,导 解,所以mx→2-x^{在x[1,2]上有解,即m>2- 函数的判别式△-4-12a. 当△=4-12a<o,即a→时,f(x)>0,/(x)在 R 在xE[1,2]上成立,设画数/(x)-2-x,x[1,2],所 & 上单调递增, 当△-4-12a→o,即a<时,/(x)-0的解为x= 上是单调减函数,且/(t)值域为[-1,1],要使m2- 30 当王E(-,1--时:# (c)>0./(c)单调 x在x[1,2]上有解,则m -1,即实数n的取值范围 是(-1,+).] 10.C [设f(x)=ln(1+x)-x(x-1),因为/(x) 递增; $#E1#-,+-时:,#()<0. 当xE(-1.0)时,/(x)>0,当x(0,+oo)时 (x) f(x)单调递减; <0. 所以&数f(x)=ln(1十x)一x在(0,+o)上单调递 递增; 减,在(一1,0)上单调递增; 所以 ()<(0)-0,所以ln10-<o,故> 1-~-1-3 (1_) 。)上单调递增, ##上羊调#。 3 13. AcD[由f(x)-f(0)x十f(1)e ,得/(o) 故, 设g(x)=xe+ln(1-x)(0<x<1),则g'(x)=( =/(1e. r(x)-x-/(o)+/(1)e-. --1 '. (1)=1-(1)e+(1).C(1)=e,则f(0) 令h(x)= (r-1)+1,h'(x)=e'(r?+2x-1). 当 x<②-1时,h'(x)<0,函数h(x)=e(-1 +1单调递减, 当②-1<<1时,h'(x)>0,函数h(x)=e(x-1+ 方程显然无解;r0时,对于任意a~0, 1单调递增, 函数y一e与y一ax有一个交点,满足题意; 又(0)-0. →o时,则a-,令h(x)-,则(x)-x- 所以当0 x 2-1时,h(x)<0. -(x-1) 所以当0 x 2-1时,g(x)0,函数g(x)=xe+ ln(1-x)单调递增. 当x(0,1)时,h'(x)0,当x(1.+oo)时,h'() 所以g(0.1)>g(0)-0,即0.1e*-ln0.9,所以a 0. >c] &.h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,十oo)上单调递增, 11.解析:由题图可知,不等式f'(x)一/(x)0的解集为 又当x→0时,h(x)→+o,当x→+oo时,h(x)→ (o.1)U(4,+). 1. 'g()-/() .(x)在(0,十o)上的图像如图 g()- '(x)e-/()(e) -f()一/(x) () 由g'(x)0,可得f'(x)一f(x)0,解得x(0,1) (4.十o). .63. E五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 由图可知,当a=e时,方程a--有一根,综上,a的取 'cos x-6sin x+2-3sin xcos x-0. 即(1-3sinx)(2+cosx。)-0. 值范围为(-o,0)U(e),故选ACD.] .cosx<1.2+cosx.0.1-3sinx=0,即sin 14.解析:当k<0时,任一正整数都满足不等式xke(x +1,故>0. 当 >0,x→1时,不等式x>he(x十1)等价于 .cos 2_。-1-2sinxn-1-2×()-. (x+1-1<0. 答案:7 七 2 8.解:(1)因为f(x)=ax^+blnx,所以/(x)-2ax+ &当x→1时,/(x)-(*+x-1)>o恒成立, , './(x)在[1,十×)上单调递增, /(1)-0,2a+b=0, 故 1--1. 3e /(2)-3 2。 答案:。) 且/()---1-(+1)(--1 )r 2 6.2 函数的极值 令/(x)-0,则x=-1(舍去)或x-1. 当工变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 1.AD[结合y=/'(x)的图像,可知,对A,由于x=-3 (0.1) 的两侧导数符号不同,故一3是极值点;对B,由于一1两 (1,) /() 侧导数符号相同,因而不是极值点;对C,x一0处的导数 0 大于零,故在x一0处的切线斜率大于零;对D,当x f(x){ 单调递减 极小值 单调递增 (一3,一1)时导数大于零,因而为递增区间.综上可知 AD正确,] 所以函数((x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间 2.B [根据极值的概念,左侧/(x)0,单调递增;右侧 是(1,+),且函数在定义域上只有极小值/(1)一 /(x){0,单调递减,/(x)为极大值。 而无极大值. 2(-1) 3.D[:y-1- 1+r=1+ →0..,画数y=x-ln(1+r*)无极值.] 令/P(x)-0,得*一(-1),(*) 4.B [由y=e-2mx,得y'=e-2m.因为函数y=e 要使f(x)存在极值,则方程(*)在(0,十oo)上有解. 2mx有小于零的极值点,所以e一2m一0有小于零的实 '.(-1)0.又N..-2,4,6,8.....b的取值 集合是(2,4,6,8...).] 10.AC[由题意得,f(x)的定义域为(0,+oo),且f(x)一 # 5.ABD[由题图可知,当x(-o,c)时,/(x)0,当xE .h(x)在(0,+o)上单调增,又()-et-2=、# (c.e)时,f(x)<0,当xé(e,十)时,f(x)>0,所以f(x) -2~0,h(1)一e-1>0,h(x。)存在唯一零点,设为 在(-o,c)上递增,在(c,e)上递减,在(e,十oo)上递增, x.。,当0 x<x。时,/(x)<0,f(x)单调递减,当x>x。 对A,f(d)>f(e),故A错误;对B,函数f(x)在[a,b]上 时,/(x)0,f(x)单调递增,'f(x)有唯一极小值点 递增,在[b,c]上递增,在c.d上递减,故B错误;对C xo,故选项A正确.令/(x。)-。1-o,得。= 函数f(x)的极值点为c,e.故C正确;对D,函数f(x)的 1。 极大值为f(c),故D错误。] 1,两边同时取对数可得x。-ln--lnx。../(txo) 。2 6.解析:由题意,函数f(x)=一x十ar一4,可得f(x) 1。 .。-2-0(当 一-3r*十2ax,因为x一2是函数f(x)的极值点,可得 r。 f(2)-0,所以-3×4+2ax2-0,解得a-3. 且仅当x。=1时等号成立),又1<x。<1,:./(r。)> 答案:3 0,即[f(x)]0,./(x)无零点,故选项B错误,由/ .函数/(x)在x一x。处取得极值, r .64.　　　§６　用导数研究函数的性质 　　　６．１　函数的单调性 　　　　第１课时　函数的单调性与导数 [基础达标练] １．函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,函 数y＝f(x)的一个单调递减区间是 (　　) A．(x１,x３)　　　　　B．(x２,x４) C．(x４,x６) D．(x５,x６) ２．函数f(x)＝３x＋２ x x 的单调递增区间是(　　) A． １ln２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ B．(ln２,＋∞) C．ln１２ ,０æ è ç ö ø ÷,(０,＋∞) D．(－∞,０),０,１ln２ æ è ç ö ø ÷ ３．已知函数f(x)＝１x －x ,则f(x)在(０,＋∞) 上的单调性为 (　　) A．f(x)在(０,＋∞)上是增函数 B．f(x)在(０,１)上是增函数,在(１,＋∞)上是 减函数 C．f(x)在(０,＋∞)上是减函数 D．f(x)在(０,１)上是减函数,在(１,＋∞)上是 增函数 ４．下列函数中,在(０,＋∞)内为增函数的是 (　　) A．y＝sinx B．y＝xe２ C．y＝x３－x D．y＝lnx－x ５．(多选)已知函数f(x)的定义域为 R,其导函 数f′(x)的图像如图所示,则对于任意x１,x２ ∈R(x１≠x２),下列结论正确的是 (　　) A．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＜０ B．(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０ C．f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷＞f (x１)＋f(x２) ２ D．f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷＜f (x１)＋f(x２) ２ ６．函 数 y ＝２x ＋sinx 的 单 调 增 区 间 为 　　　　． ７．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x２－４x＋３, 则函数f(１＋x)的单调递减区间是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第二章　导数及其应用 ８．已知导函数f′(x)的下列信息: 当１＜x＜４时,f′(x)＞０;当x＞４或x＜１时, f′(x)＜０;当x＝４或x＝１时,f′(x)＝０． 试画出函数f(x)图像的大致形状． [能力提升练] ９．定义在 R上的可导函数f(x),已知y＝ef′(x) 的图像如图所示,则y＝f(x)的增区间是 (　　) A．(－∞,１) B．(－∞,２) C．(０,１) D．(１,２) １０．(多选)下列函数在其定义域上既是奇函数又 是减函数的是 (　　) A．f(x)＝２x B．f(x)＝sinx－x C．f(x)＝e－x－ex D．f(x)＝－x|x| １１．函数y＝ln(x２－x－２)的单调递减区间为 　　　　． １２．已知函数f(x)＝ex,g(x)＝lnx２＋ １ ２ 的图像 分别与直线y＝m(m＞０)交于A,B 两点,求 |AB|的最小值． [素养培优练] １３．函数f(x)的定义域为R,f(－１)＝２,对任意 x∈R,f′(x)＞２．则f(x)＞２x＋４的解集为 (　　) A．(－１,１) B．(－１,＋∞) C．(－∞,－１) D．(－∞,＋∞) １４．(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要 课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x) ≈ xlnx ,其中π(x)表示不大于x的素数的个 数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近 xlnx 的值．从猜想出发,下列推断正确的是(　　) A．当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长 速度变慢 B．当x很大时,随着x的增大,π(x)减小 C．当x 很大时,在区间(x,x＋n)(n是一个 较大常数)内,素数的个数随x 的增大而 减少 D．因为π(４)＝２,所以π(４)＞ ４ln４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　第２课时　函数单调性的综合问题 [基础达标练] １．函数f(x)＝x＋bx (b＞０)的单调减区间为 (　　) A．(－b,b) B．(－∞,－b),(b,＋∞) C．(－∞,－b) D．(－b,０),(０,b) ２．设f(x)＝ax３＋bx２＋cx＋d(a＞０),则f(x) 为R上的增函数的充要条件是 (　　) A．b２－４ac＞０　　　　B．b＞０,c＞０ C．b＝０,c＞０ D．b２－３ac≤０ ３．设函数f(x)＝１２x ２－９lnx 在区间[a－１,a ＋１]上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　) A．(１,２] B．[４,＋∞) C．(－∞,２] D．(０,３] ４．已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有 f′(x)＜g′(x),则下列关系式正确的是(　　) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)≥g(x) D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a) ５．(多选)已知函数f(x)＝xln(１＋x),则 (　　) A．f(x)在(０,＋∞)单调递增 B．f(x)有两个零点 C．曲线y＝f(x)在点 －１２ ,f －１２ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷处切线 的斜率为－１－ln２ D．f(x)是偶函数 ６．已知函数f(x)＝sinx＋１２x ２＋lnx,f(１－a) ＜f(２a),则实数a的取值范围是　　　　． ７．已知函数f(x)＝x－sinx,则不等式f(x＋１) ＋f(２－２x)＞０的解集是　　　　． ８．求函数f(x)＝(a＋１)lnx＋ax２＋１的单调 区间． [能力提升练] ９．若关于x的不等式x２＋mx－２＞０在区间[１, ２]上有解,则实数m 的取值范围为 (　　) A．(－∞,－１) B．(－∞,１) C．(１,＋∞) D．(－１,＋∞) １０．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷)设a＝０．１e０．１,b＝１９ ,c ＝－ln０．９,则 (　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b １１．已知函数f(x)与f′(x)的图像如图所示,则函 数g(x)＝f (x) ex 的单调递减区间为　　　　． １２．已知函数f(x)＝x３－x２＋ax＋１．讨论f x( ) 的单调性; [素养培优练] １３．(多选)已知f′(x)为函数f(x)的导函数,且 f(x)＝１２x ２－f(０)x＋f′(１)ex－１,若g(x)＝ f(x)－１２x ２＋x,方程g(x)－ax＝０有且只 有一个根,则a的取值可能是 (　　) A．e B．１ C．－１ D．－１２ １４．若关于x 不等式x＞kex(x＋１)的解集中的 正整数有且只有一个,则k 的取值范围是 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第二章　导数及其应用