2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念&2.2 导数的几何意义&3 导数的计算-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

世h维那萝 数学(BS)·选择性必修第二册 空 数 课 时 §2导数的概念及其几何意义 间 2.1导数的概念 学 纠错空间 作业 2.2导数的几何意义 1.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为 6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC,其中 5%,物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如 A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 下函数关系：p(1)=1.05,并求得p(10)= lim f(1+△x)-f(1) 0.08(元/年)，则p(10)的实际意义是() △x A.第10个年头物价以0.08元/年的速度 上涨 B.第10个年头物价以0.08元/年的速度 +++++44+444+444 下降 (0123456 C.第10个年头物价以0.05元/年的速度 7.函数y=元在x=x。(x。≠0)处的导数为 上涨. D.第10个年头物价平均通货膨胀率为5%. ,在点 处的导数为号 2.若lim f(xa十m△x)-f(x。) =1(m为常数)， 8.服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位： 3r◆ △x g/mL)是时间t(单位：min)的函数y-f(t), 则f(x)等于 ( 假设函数y=f(t)在1=10和1=100处的导 A.一m B.1 数分别为f(10)=1.5和(100)=-0.6，试 方法总结 C.m DI 解释它们的实际意义。 3.若曲线f(.x)=x”的一条切线l与直线x十4y 一8=0垂直，则1的方程为 ( ) A.4.x-y-4=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 4.设f(x)为可导函数，且满足 lim f)-f1一△2=一1，则过曲线y=/ △-0 2△x (x)上点(1，f(1)处的切线的斜率为() A.2 B.-1 C.1 D.-2 ++444444444+444 5.(多选)下列命题正确的是 () A.若(x)=0,则函数f(x)在。处无切线 B.函数y=f(x)的切线与函数的图像可以有 两个公共点 C.曲线y=f(.x)在x=1处的切线方程为2.z 一y=0,则当△x→0时，f1)二1十△x 2△i =1 D.若函数f(x)的导数f(x)=x2-2,且f(1) =2,则f(x)的图像在x=1处的切线方程 为x十y-3=0 ·24· 第二章导数及其应用 课何作业 [能力提升练] [素养培优练] 9.函数f(x)的图像如图所示，则下列数值排序 13.已知直线x一y-1=0与抛物线y=ax2相 正确的是 ( 切，则a的值为 1 14.设函数f(.x)=x十a.x2-9x一1(a<0),若曲纠错空间 5 线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x十 3 y=6平行，求a的值. 1 012345x A.0<f(2)<f(3)<f(3)-f(2) A..CAKCP0760 B.0<f(3)<f(3)-f(2)<(2) C.0<f(3)<f(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f(2)<f(3)》 10.已知函数f(.x)在R上可导，其部分图像如图 所示，设)二2=a,则下列不等式正确 4-2 的是 ( 方法总结 A.a<f(2)<f(4) B.f(2)<a<(4) C,了(4)<f(2)<a D.f(2)<f(4)<a 11.若抛物线y=2.x2+1与直线4.x-y十n=0 相切，则m= 12.利用导数的定义，求f(x)=x十1在x=1 处的导数f'(1) 年年年年年年年卡年年年年如卡 ·25· 数学(BS)·选择性必修第二册 数课时 §3导数的计算 学作业 [基础达标练] [能力提升练] L.若函数x)=cos,则了()十/()的 9.定义方程f(x)=(x)的实数根x叫做函数 的“新驻点”，若函数g(x)=snx(0<x<π)， 值为 h(x)=lnx(x>0),g(x)=x2(x>0)的“新驻 A.0 B.-1 点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 C.1 D.2 2.已知f(.x)=x“.若(-1)=-4，则a的值等 A.c>a>h B.c>b>a 于 ( C.b>e>a D.b>a>c A.4 B.-4 10.记函数y=(x)表示对函数y=f(x)连续 C.5 D.-5 两次求导，即先对y=f(x)求导得y 1 3.直线y=2x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条 f(.x),再对y=f(x)求导得y=2(x),下 切线，则实数b的值为 列函数中满足广(x)=f(x)的是() ( ) A.f(r)=x A.2 B.f(r)=sin r B.n2+1 C.f(x)=e D.f(z)=In r C.In 2-1 D.In 2 4.(多选)下列求导过程正确的选项是 11.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=lnx过坐标原点 ( 的两条切线的方程为 B()=1 2√E 12.已知函数f(.x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1. 一2)，过点P作直线1. C.(x)'=a.x- D.(logr)'=In a (1)求使直线（和y=f(x)相切且以P为切 5.已知点P在曲线y=2sin受cos号上，a为曲 点的直线方程： (2)求使直线1和y=f(x)相切且切点异于 线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围 P的直线方程。 是 A[预 B[票劉 c.[] D.[o.] 6已知)=2，则了(2) 7.若曲线y=√元在点P(a,a)处的切线与两坐 标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值 [素养培优练] 是 13.(多选)已知函数f(x)及其导函数f(x),若 8.已知f(x)=cosx,g(x)=x,求适合f(.x)十 存在x使得f(x。)=f(x。),则称x。是 g'(x)≤0的x的取值. f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值 点”的函数是 A.f(x)=x2 B.f(x)=e C.f(r)=In.r D.f(r)=tan .r 4.已知函数f)=则f'[(22)] ·26·巴五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 7.解析：，△s=s(2+△)一s(2)=a(2+)2十1-a·2一1= 乙两人的平均变化率都是)=)，故C正璃：D 4a△t+a(△t)2, ta-t妇 小是=a十a,当如是于0时尝地于a,即a=8 △t 在，]时间夜，甲的平均变化率是，)二，在[， 解得a=2. 答案：2 ]时间夜，甲的手均变化率是，)二，显然不相 8.解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 等，故D正确，] 6.5-3.5==1(千克/月). 3-0 3 14解析：会签-a}二@=n(a+1D-na=n a+1-a a 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为 1-8.6=24=0.4(千克/月).因为1>0.4，所以该琴 ln（+日）因为a>1,所以n(1+日）1n1+D 12-6 6 儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化 =n2<1,所以①错误，②正确.又当a>1时，1+亡随 较快. 9.B[当△x=0.3时，①y=x在x=1附近的平均变化率 着a的增大而减小，l血（十日）随着1十是的减小而减 k1=1:②y=x2在x=1附近的平均变化率=2十△z 小， =2.3:③y=x在x=1附近的平均变化率k:=3十3△x 十(aP=39:国y=士在x=1臀近的平均变化率点 所以是随者a的增大而减小，所以③错误，①正璃 答案：②① =中=一吕6>>%>6平均变化中 1 §2 导数的概念及其几何意义 最大的是③.故选B.] 2.1导数的概念 10.解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间 [x][x,x],[,x1]上的平均变化率分别为 2.2导数的几何意义 )-)x)-))-》,结合图像可 1,A[因为p'(10)=0.08(元/年)，由导数的实际意义可 知在第10个年头，物价以0.08元/年的速度上涨.] 以发现函数y=八x)的平均变化率最大的一个区间是[， 2.D[由题意，根据导数的概念可得， . 答案：[x,] lim fx+m△)-f=m·m x十m△x)-fx) Ar n△x 11.解析：在(1，十oo)上取(a,a十1)， Ay=f(a+1)-f(a) △x a十1-a mG)=1.所以了x)=六] =2a+1,签=ag@=h+日）周为。 a十1-a 8.A[设物点为)，：-十A-工=(2 △.x △x ≥1，所以2a+1≥3,1(+合）≤1n(+子）=n2< 十△x) 1,所以兰>尝所以函数R)=nr在区间1，十 当4r趋于0时是趋于2： ∞)上的增长速度慢于函数∫(x)=x2的增长速度，故 由题意可知，切线外率k=4,即了(x。)=2x。=4,.x 增长较快的为f八x)=x. =2, 答案：f(x)=x ∴.切点坐标为(2,4)，.切线方程为y一4=4(x一2)，即 12.解：在x=1附近的平均变化率为，=1十A)2-」 △r 4x-y4=0,故选：A.] 2十△x,在x=2附近的平均变化率为k2= Dm地支▣四 △x0 2△x 2+△)”一2=4十△，在x=3附近的平均变化率为 =一1， 6-士2-足=6+a若a=吉到=2 imf0=二f①=-2，即f(1)=-2. △x △x→0 -△x 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率 k=f(1)=-2.] <k,<k1,所以在x=3附近的平均变化率最大， 13.ACD[A在4时刻，为两图像的交点，即此时甲、乙 5.BD[若f(xo)=0,则函数f(x)在x。处的切线斜率为 两人血管中的药物浓度相同，故A正确：B甲、乙两人 0,故选项A错误；函数y=f(x)的切线与函数的图像可 在妇时刘的切线的钟率不相等，即两人的晚时变化率 以有两个公共点，例如函数(x)=x3一3.x,在x=1处的 不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率 切线为y=一2，与函数的图像还有一个公共点（一2，一2） 不相同，故B不正确：C.根据平均变换率公式可知，甲、 点，故选项B正确；因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 ·56· 参考答案 课时作业到 为2x-y=0,所以f1)=2.又1m0)-1+A2 11.解析：设切点为P(x),则△y=2(x十△x)2十1 2△x 1士21 2x-1=,·dr+2(ar,所以会=十2A,当 △x 了(1)=-1≠1，故选项C 错误： △0时，签红，即了国)=红，所以红=4，所 因为函数f(x)的导数了(x)=x2一2，所以了(1)=1 以x=1y=3.将(1,3)代入直线4x-y十m=0,得m 2=一1，又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2)，斜率为一1， =-1. 所以切线方程为y一2=一(x-1),化简得x十y-3=0, 答案：一1 故选项D正确，] 12.解：△y=f(1+Ax)-f(1)=√1+△x)+1-√2= 气解析：由子裁的概念和几何意义知一中四 Ar √（△x)+2△x+2-2 f(l)-kw-9-0--2. 小-中- △x 答案：一2 (△x)+2Ax 7解折：4y-区签区 Ax[√/△x)+2△x+2+√E] △x 4x+2 1 青地于0时兰地于左◆ √（△x)+2△x+2+√2 √十△x+√/ 1 =号得=1，此时%=压=1，即画数y=石 当△越于0时地于号，a)= 21 2 13.解析：设切点为P(xoy), 在点1,1处的子载为宁 则 △y=f八+dx)-fx) △x △x (1,1) -az+Ar-aE=2ax,十aAr △x 8.解：f(10)=1.5表示服药后10min时，血液中药物的质 量浓度上升的速度为1.5g/(mL·min).也就是说，如 当4虹无猴趋近于零时，无限趋近于2a 果保持这一速度，每经过1mi,血液中药物的质量浓度 :直线x一y一1=0与抛物线y=ax相切， 将上升1.5g/mL. .2ax。=1. f(100)=一0.6表示服药后100min时，血液中药物的 又%=a6,x--1=0, 质量浓度下降的速度为0.6g/(mL·min).也就是说， (2axs=1, 如果保持这一速度，每经过1min,血液中药物的质量浓 联立以上三式，得{y。=a, 解得a= 4· 度将下降0.6g/mL. x一y-1=0, 9.B[如图所示，∫(2)是函数f(x)的图像在x=2(即点 A)处切线的斜率1，了(3)是函数∫(x)的图像在x=3 答案： (即点B处切线的斜率k,3）二②=3)-f(2)= 14.解：：△y=f(x。十△x)-f(x。) 3-2 =(x十△x)十a(x。十△x)2-9(xw十△x)-1-(x+ k山是割线AB的斜率」 a.x6-9x。-1) y =(3xi+2ax-9)△x十(3x。+a)(△x)”+(△x)3, ÷=3x+2a-9+(3+aa+(a月. 3 2 当△r无限趋近于零时，是无限趋近于3+2 012345x -9, 即f(x)=3x8+2a.x-9, 由图像知，0<k,<k<k,即0<广(3)<f(3)一f(2) <f(2).] fx)=3(+号)广-g-号 10.B[由题图可知，虽数的增长越来越快，故函数在该点 的斜率越来越大，所以(2，f(2),(4,f(4)两点连线的 当x= 号时，f)取最小值-9一号 斜率4)二②2的大小在点(2，f(2)处的切线斜率 :斜率最小的切线与12x十y=6平行， 4-2 了(2)与在点(4，f(4)处的切线斛率了(4)之间，所以 六孩切线斜率为-12。-9一号=-12， f(2)<a<f(4).] 解得a=±3.又a<0,∴.a=-3. ·57· 已五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §3导数的计算 11.解析：因为y=lnx, 1.A[国为f(x)=cosx,所以f(z)=- 血玉所以∫（于） 当x>0时y=lnx,设切点为(x,lnx),由y=1,所 +f(）-sin÷+cos平=0.] 以寸1气=上，所以切线方程为y一h玉=上红 2.A[f'(x)=ax1,f(-1)=a(-1)-=-4,a=4.] xo）, 玉C[因为y=nx的导教y-子所以今-合得x 又切线过坐标原点，所以-山工，=上（一），解得工。= =2.所以切点为(2，n2.代入直线y=子+6：得6 @,所以切线方程为y一1=红e),即y=号 e ri ln2-1.] 当x<0时y=n(-x),设切，点为(x,ln(-x),由y 4.BC [由（仔）=一子可知A锋误：由)= 2 -子，所以头所以切线方程为y一a(一) 可知B正确：由(x”)'=ax-l,可知C正确：由(logx)' na可知D错误：故选：BC,] 1 又切线过坐标原点，所以-1（一x)=上（一五），解得 6.D[因为y=2sin号cos受=in,所以y=cos五设 x P(x。,y),由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处 互=一e,所以物线方程为y一1=二（十e,即y= 的切线的斜率k=tana=cos o.所以一1≤tana≤1，因 1 e 为a<,所以，]U[） 6.解析：因为f(x)=2,所以f(x)=21n2,所以 答案：y=y=- e (in2)-(log:e)-2n 2-eIn2. 12.解：(1)由fx)=x-3x,得f(x)=3x2-3,过点P且 以P(1,一2)为切，点的直线的斜率了(1)=0， 答案：eln2 .所求的直线方程为y=一2. 7.解析：因为y= ,所以切线方程为y一后=（红 (2)设过P(1,一2)的直线1与y=f(x)切于另一点 2Vt 2√a (xo), ),令x=0,得y=号，令y=0,得x=a,由题意知 则f(x)=3x-3.又直线过(xy),P(1,-2) 1.后.a=2,所以a=4 z·2 故其斜象可表示为当一（二2--3，十2 xo-1 x-1 答案：4 又8-3+2=3店-3. 8.解：因为f(x)=cosx,g(x)=x,所以f(x)=(cosx x6-1 =-sin, 即x-3x。十2=3(x。-1)(x。-1), g'(x)=x'=1.由f(x)+g'(x)≤0，得-sinx十1≤0， 即sinx≥1，但sinx∈[一1,1]，所以sinx=1. 解得=10合去)成红三一子 所以工=2m十受∈Z 故所求直线的斜率为=3X(仔-)=-是， 所以x的取位为{=2+受k∈号 y-（-2)=-号x-10.即9r+4y-1=0, 9,B[①若g(x)=sinx,则g(x)=cosx,由sinx= 13.AC[若f八x)=x2,则f(x)=2x,令x2=2x,得x=0 c0sx,解得x=开，即a=子<1.@若A(x)=n,则 或x=2,方程显然有解，故A符合要求：若f(x)=e: 则广(x)=一c,令e=-e,此方程无解，故B不 )=上由n=子令r)=lh士可知<0 r(2)>0,故1<b<2.③若g(x)=x2,则g(x)=2x,由 持合要求：若/八)=h,则了)=子伞nx=子 x=2xx>0,得x=2,故c=2.综上，c>b>a.] 在同一直角坐标系内作出画数y=加x与y=工的图 10.C[对于A,(x)=1,f(x)=0≠f(x):对于B, 像（作图略），可得两函数的图像有一个交，点，所以方程 (x)=cosx,f(x)=-sinx≠f(x:对于C,f(x) f八x)=∫(x)存在实数解，故C符合要求：若f(x)= =,(x)=e=fx):对于D了x)=是"() m了a-(德)-◆m =一之≠).塔上可知，只有C满足9()=x. 化简得sin rcos x=1,变形可得sin2x=2,无解，故D 故选C.] 不符合要求.故选AC.] ·58· 参考答案 课时作业 14.解析：：f(x)=x2..∫(x)=2023zx2 (2)''y log:-logsx log:r,.y'=log:r ) f'[(20)]-223×[(a)产」 zIn 2' 2023×2023-1. 8w-(后小-（房） 答案：1 §4导数的四则运算法则 sinx= cos x I 4.1导数的加法与减法法则 2√F sin cos x+2xsin a 4,2导数的乘法与除法法则 2x 1.D[,f(x)=(x+1)=x2十2x+1. (4y=-2sin(0-2os) .了(x)=2x十2，故选：D.] 2.C[依题意得广(x)=2x(x-t)十(.x2-4)=3x2-21z 2sin登(2o青-l）=2sin营os号=in -4,所以了(-10=3+21-4=0，即1=2] .y'=(sin x)'=cos x. 9.e[f)=c+3f《-)= -3e -3e 3.D[因为x)=lnx-3x+fD2,财广)=子-3 (e+1)F十 3(-=十3，所以了)为%画数，所以 -3e' +2f(1)x,所以了(1)=1-3+2了(1)，则(1)=2，所 以f(x)=nx-3x十2.x2,所以f(1)=ln1-3十2= (2023)-f(-2023)=0, -1.1 因为十-=马十。与-= AC[造项A中，若y=血吾-号，到Y=0,故A正 0+73, 3e 确：选项B中，若f(x)=3x-子(1)·x,则广(x)= 所以f(2022)+f(-2022)=3, 6x-(1),令x=1,则了(1)=6-f(1),解得(1)= 所以f(2022)+f(-2022)+f(2023)-了(-2023) =3.] 3,故B正确：选项C中，若y=一匠+x,则y=一 2 10.ABD[f(x)=6x-sinx,f(x)=0,此时切线的斛率 十l,故C正确：选项D中，若y=sinx十cosx,则y= 为0，故在，点x=0处有切线：g'(x)=sinx十c cos .g cosx一sinx,故D错误.] (0)=0,此时切线的斜率为0，故在，点x=0处有切线： 5C[:fx)=x-2红-4mx,f（x)=2x-2- h'(x)=子十2，在工0处不可子，则在x=0处没有 >0. 切线：0(x)=in二，w(0)=0,此时切线的斜率为0， cos' 整理得中1)-2>0，解得-1r<0或>2. 故在点x=0处有切线，] 11.解析：：f(x)=c-mx+1,f'(x)=e-m. 又f(x)的定义城为(0，十o∞)，x>2.·f(x)>0的 解集为(2，十∞).] :曲线C存在与直线y=子x垂直的切线， 6.解析：因为f(lnx)=2x-nx,令t=lnx,则x=e,所以 ∴.f(x)=c-m=-2有解. f(t)=2e-t,即f(x)=2e-x,所以f(x)=2e-1,因 m=2十e>2..实数m的取值范围是(2，十c∞). 答案：(2，十0∞) 此f(1)=2e-1. 12.解：(1)因为了(x)=2,g‘(x)=2x-2,设x为函数 答案：2e-1 fx)与g(x)的一个“Q"”点 7.解析：因为函数f(x),g(x)满足f(x)十xg(x)=x2一1， 由f(x）=g(x）且f(x)=g(x),得 且f(1)=1 12x=6-2x。十 所以f(1)十g(1)=1-1=0,则g(1)=-1,对f(x)+ ,解得x。=2. (2=2x。-2 xg(x)=x2一1两边求导， 所以函数f(x)与g(x)的“Q”点是2. 可得了(x)十g(x)十xg'(x)=2x,所以广(1)十g(1)十 (2)因为f(x)=2ax,g'(x)=1 g(1)=2,因此f(1)十g'(1)=3. 答案：3 设x。为函教f(x)与g(x)的一个“Q”,点. 由f(x)=g(x)且了(x。)=g'(x),得 8解：1)y=(F)y=y=是1=子x 「a+3=lnx0 3 ·59·