2 等差数列 2.2第1课时 等差数列的前n项和公式&第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　２􀆰２　等差数列的前n项和 　　　　　　　第１课时　等差数列的前n项和公式 [基础达标练] １．已知等差数列{an}中,a２＝７,a４＝１５,则S１０ 等于 (　　) A．１００　　　　　　　B．２１０ C．３８０ D．４００ ２．等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a１＋a８＋ a９ 为一确定的常数,则下列各数中也是常数 的是 (　　) A．S６ B．S１１ C．S１３ D．S１２ ３．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S３＝９, S６＝３６,则a７＋a８＋a９ 等于 (　　) A．６３ B．４５ C．３６ D．２７ ４．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a７＞０,a８＜ ０,则下列结论正确的是 (　　) A．S７＜S８ B．S１５＜S１６ C．S１３＞０ D．S１５＞０ ５．(多选)已知数列{an}是等差数列,前n项和为 Sn,且２a１＋２a３＝S５,下列结论中正确的是 (　　) A．S７＝０ B．S１３＝０ C．S４＝S９ D．a７＝０ ６．设Sn 是等差数列{an}的前n项和,若 a６ a３ ＝５１１ , 则 S１１ S５ ＝　　　　． ７．已知等差数列{an}中,Sn 为其前n 项和,已知 S３＝９,a４＋a５＋a６＝７,则S９－S６＝　　　　． ８．在等差数列{an}中, (１)已知a６＝１０,S５＝５,求a８; (２)已知a２＋a４＝ ４８ ５ ,求S５． [能力提升练] ９．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm－１＝ －２,Sm＝０,Sm＋１＝３,则m＝ (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ １０．(多选)等差数列{an}的前n项和Sn,且Sn＝ n m ,Sm＝ m n (m,n∈N＋,m≠n),则下列各值 中可以为Sm＋n的值的是 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ １１．设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为 ４４,偶数项之和为３３,则这个数列的中间项是 　　　　,项数是　　　　． １２．设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前n项 和,已知S７＝７,S１５＝７５,Tn 为数列 Sn n{ } 的 前n 项和,求Tn． [素养培优练] １３．(多选)已知等差数列{an}的公差d≠０,前n 项和为Sn,若S６＝S１２,则下列结论中正确 的有 (　　) A．a１∶d１＝－１７∶２ B．S１８＝０ C．当d＞０时,a６＋a１４＞０ D．当d＜０时,|a６|＞|a１４| １４．(２０２１􀅰全国新高考卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a１＝１,an＋１＝ an＋１,n为奇数, an＋２,n为偶数,{ (１)记bn＝a２n,写出b１,b２,并求数列{bn}的通 项公式; (２)求{an}的前２０项和． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　　第２课时　等差数列前n项和的应用 [基础达标练] １．为了参加学校的长跑比赛,某中学高二年级小 李同学制定了一个为期１５天的训练计划．已 知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上 增加相同距离．若小李同学前三天共跑了３ ６００米,最后三天共跑了１０８００米,则这１５天 小李同学总共跑的路程为 (　　) A．３４０００米　　　　　B．３６０００米 C．３８０００米 D．４００００米 ２．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,７a５＋５a９ ＝０,且a９＞a５,则Sn 取得最小值时n 的值为 (　　) A．５ B．６ C．７ D．８ ３．«周髀算经»中有这样一个问题,从冬至之日 起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长 依次成等差数列,若冬至、大寒、雨水的日影长 的和为３６􀆰３尺,小寒、惊蛰、立夏的日影长的 和为１８􀆰３尺,则冬至的日影长为 (　　) A．４尺 B．８．５尺 C．１６．１尺 D．１８．１尺 ４．(多选)首项为正数的等差数列的前n项和为 Sn,且S３＝S８,当Sn 取到最大值时,n 的取 值是 (　　) A．４ B．５ C．６ D．７ ５．已知数列{an}的通项公式为an＝ ４ ９ æ è ç ö ø ÷ n－１ － ２ ３ æ è ç ö ø ÷ n－１ ,则数列{an} (　　) A．有最大项,没有最小项 B．有最小项,没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 ６．等差数列{an}中,已知a５＞０,a４＋a７＜０,则 {an}的前n项和Sn 的最大值为　　　　． ７．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一 年需要维修费１２万元,从第二年起维修费比 上一年增加４万元,则 第５年 的 维 修 费 是 　　　　万元,前１０年维修费总和为　　　 　万元． ８．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,２)记Sn 是公差不为０的 等差数列{an}的前n 项和,若a３＝S５,a２a４ ＝S４． (１)求数列{an}的通项公式an; (２)求使Sn＞an 成立的n 的最小值． [能力提升练] ９．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 a１＞０,a３＝３a５,则下列说法正确的是 (　　) A．数列{an}单调递减 B．当n＝５,n＝６时,Sn 同时达到最大值 C． S９ S５ ＝３５ D．满足不等式Sn≥０的n的最大值为１０ １０．一百零八塔位于宁夏青铜峡市,是喇嘛式实 心塔群(如图)．该塔群随山势凿石分阶而建, 依山势自上而下,第一阶１座,第二阶３座, 第三阶３座,第四阶５座,第五阶５座,从第 五阶开始塔的数目构成一个首项为５,公差 为２的等差数列,总计１０８座,故名一百零八 塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为 (　　) A．３９ B．４５ C．４８ D．５１ １１．已知数列{an}为等差数列,a１＋a３＋a５＝１, Sn 表示数列{an}的前n项和,若当且仅当n＝ ２０时,Sn 取到最大值,则a２＋a４＋a６ 的取值范 围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　数列 １２．在等差数列{an}中,a１０＝２３,a２５＝－２２． (１)数列{an}前多少项和最大? (２)求{|an|}的前n项和Sn． [素养培优练] １３．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥 由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方 形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、 塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计 算方法如下:A１B１＝A０B０－B０B１,A２B２＝ A１B１－B１B２,A３B３＝A２B２－B２B３,􀆺,AnBn ＝An－１Bn－１－Bn－１Bn,其中Bn－１Bn ＝􀆺＝ B２B３＝B１B２＝B０B１,n∈N＋ ．根据每层边长 间的规律．建筑师通过推算,可初步估计需要 多少材料．所用材料中,横向梁所用木料与正 六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共５ 层,若A０B０＝６,B０B１＝１．则这五层正六边形 的周长总和为 (　　) A．１００ B．１１０ C．１２０ D．１３０ １４．新能源汽车环保、节能,以电代油,减少排放, 既符合我国的国情,也代表了世界汽车产业 发展的方向．工业部表示,到２０２５年中国的 汽车总销量将达到３５００万辆,并希望新能 源汽车至少占总销量的五分之一．福建某新 能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩, 每台１２８００元,第一年每台设备的维修保养 费用为１０００元,以后每年增加４００元,每台 充电桩每年可给公司收益６４００元． (１)每台充电桩第几年开始获利? (参考数 据:３３≈５􀆰７) (２)每台充电桩前几年的年平均利润最大(前 n年的年平均利润＝ 前n年的利润总和 年数n )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 (２)bn＝an＋t＝ １ ２n＋t＋ １ ２ ,b２n＝n＋t＋ １ ２ , ∴n＋t＋１２＝n＋２t＋１． ∴t＝－１２ ,∴bn＝ １ ２n．∵bkn＝ １ ２kn＝kbn , ∴恒有bkn＝kbn． １３．BD　[设等差数列{an}的公差为d,易知d＞０, ∵等差数列{an}满足a１＋a２＋a３＋．．．＋a１０１＝０, 且a１＋a１０１＝a２＋a１００＝．．．＝a５０＋a５２＝２a５１, ∴a１＋a２＋a３＋．．．＋a１０１＝(a１ ＋a１０１)＋(a２ ＋a１００) ＋．．．＋(a５０＋a５２)＋a５１＝１０１a５１＝０, ∴a５１＝０,a１＋a１０１＝a２＋a１００＝２a５１＝０,故 B,D正确,A 错误． 又∵a５１＝a１＋５０d＝０,∴a１＝－５０d,∴a３＋a１００＝(a１ ＋２d)＋(a１＋９９d), ＝２a１＋１０１d＝２×(－５０d)＋１０１d＝d＞０,故 C错误． 故选:BD．] １４．D　[设OD１＝DC１＝CB１＝BA１＝１,则CC１＝k１,BB１ ＝k２,AA１＝k３,依题意,有k３－０．２＝k１,k３－０．１＝k２, 且 DD１＋CC１＋BB１＋AA１ OD１＋DC１＋CB１＋BA１ ＝ ０．７２５, 所 以 ０．５＋３k３－０．３ ４ ＝０．７２５ ,故k３＝０．９．] ２􀆰２　等差数列的前n项和 第１课时　等差数列的前n项和公式 １．B　[∵d＝a４－a２４－２ ＝ １５－７ ２ ＝４ ,又a１＋d＝７,∴a１＝３． ∴S１０＝１０a１＋ １０×９ ２ d＝１０×３＋４５×４＝２１０． ] ２．B　[设等差数列{an}的公差为d,由a１＋a８＋a９＝a１＋ a１＋７d＋a１＋８d＝３(a１＋５d)＝３a６＝ ３ ２ (a１＋a１１)为一 确定的常数,从而S１１＝ １ ２ (a１＋a１１)×１１＝１１a６ 为确定 的常数．] ３．B　[∵a７＋a８＋a９＝S９－S６,而由等差数列的性质可知, S３,S６－S３,S９－S６ 构成等差数列,所以S３＋(S９－S６) ＝２(S６－S３),即a７＋a８＋a９＝S９－S６＝２S６－３S３＝２× ３６－３×９＝４５．] ４．C　[由等差数列的性质及求和公式得S１３＝ １３(a１＋a１３) ２ ＝１３a７＞０,S１５＝ １５(a１＋a１５) ２ ＝１５a８＜０． ] ５．BCD　[设等差数列{an}的公差为d．由２a１＋２a３＝S５, 有２a１＋２(a１＋２d)＝５a１＋ ５×４ ２ d ,即a１＋６d＝０,所以 a７＝０,故 D 正确．S７＝７a１＋ ７×６ ２ d＝７ (a１＋３d)＝－ ２１d,∴S７≠０,故 A 错误．S１３＝ a１＋a１３ ２ ×１３＝１３a７＝０ , 故B正确．S９－S４＝a９＋a８＋a７＋a６＋a５＝５a７＝０,所以 S４＝S９,故 C正确．] ６．解 析:由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 可 得:S１１S５ ＝ １１(a１＋a１１) ２ ５(a１＋a５) ２ ＝ １１×２a６ ２ ５×２a３ ２ ＝１１５× a６ a３ ＝１１５× ５ １１＝１． 答案:１ ７．解析:∵S３,S６－S３,S９－S６ 成等差数列,而S３＝９,S６－ S３＝a４＋a５＋a６＝７,∴S９－S６＝５． 答案:５ ８．解:(１)方法一　∵a６＝１０,S５＝５, ∴ a１＋５d＝１０, ５a１＋１０d＝５,{ 解得 a１＝－５, d＝３．{ ∴a８＝a６＋２d＝１６． 方法二　∵S６＝S５＋a６＝１５,∴１５＝ ６(a１＋a６) ２ ,即３(a１ ＋１０)＝１５． ∴a１＝－５,d＝ a６－a１ ５ ＝３．∴a８＝a６＋２d＝１６． (２)方法一　∵a２＋a４＝a１＋d＋a１＋３d＝ ４８ ５ ,∴a１＋２d ＝２４５． ∴S５＝５a１＋１０d＝５(a１＋２d)＝５× ２４ ５＝２４． 方法二 　∵a２ ＋a４ ＝a１ ＋a５,∴a１ ＋a５ ＝ ４８ ５ ,∴S５ ＝ ５(a１＋a５) ２ ＝ ５ ２× ４８ ５＝２４． ９．C　[∵{an}是等差数列,∴Sm＝ m(a１＋am) ２ ＝０⇒a１＝－ am＝－(Sm－Sm－１)＝－２,又am＋１＝Sm＋１－Sm ＝３,∴d ＝am＋１－am＝１,３＝am＋１＝a１＋m＝－２＋m⇒m＝５,故 选C．] １０．CD　[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所以可设Sn ＝An２＋Bn(A,B∈R), 因 为 Sn ＝ n m ,Sm ＝ m n (m,n∈ N＋ ,m ≠n),所 以 Sn＝An２＋Bn＝ n m , Sm＝Am２＋Bm＝ m n , ì î í ïï ï 即 An＋B＝１m , Am＋B＝１n , ì î í ïï ï 解 得 A＝ １mn , B＝０, { 所 以 Sm ＋n ＝A(m＋ n)２＝m ２＋n２＋２mn mn ＝ m２＋n２ mn ＋２≥ ２mn mn ＋２＝４ ,当且仅 当m＝n时等号成立,又 m≠n,所以等号不能取得,因 此Sm ＋n＞４,故 CD正确,AB错误．] １１．解析:设等差数列{an}的项数为２n＋１,S奇 ＝a１＋a３＋ 􀆺＋a２n＋１＝ (n＋１)(a１＋a２n＋１) ２ ＝ (n＋１)􀅰an＋１,S偶 ＝ a２＋a４＋a６＋􀆺＋a２n＝ n(a２＋a２n) ２ ＝nan＋１ ,所以S奇 S偶 ＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 参考答案 n＋１ n ＝ ４４ ３３ ,解得n＝３,所以项数２n＋１＝７,S奇 －S偶 ＝ an＋１,即a４＝４４－３３＝１１为所求中间项． 答案:１１　３ １２．解:设等差数列{an}的公差为d, 则Sn＝na１＋ １ ２n (n－１)d． 由S７＝７,S１５＝７５,得 ７a１＋２１d＝７, １５a１＋１０５d＝７５,{ 解得 a１＝－２, d＝１．{ ∴ Sn n ＝a１＋ １ ２ (n－１)d＝－２＋１２ (n－１)． ∵ Sn＋１ n＋１－ Sn n ＝ －２＋ １ ２n( ) － －２＋ １ ２ (n－１)[ ] ＝ １ ２ , ∴数列 Snn{ }是首项为－２、公差为 １ ２ 的等差数列． 根据题意得Tn＝－２n＋ １ ２ n (n－１)× １２ ＝ １ ４ n ２－ ９ ４n． １３．ABC　[因为{an}是等差数列,前n项和为Sn,由S６＝ S１２,得S１２－S６＝a７＋a８＋a９＋a１０＋a１１＋a１２＝０,即 ３(a９＋a１０)＝０,即a９＋a１０＝０, 对于选项 A:由a９＋a１０＝０,得２a１＋１７d＝０,可得a１∶ d＝－１７∶２,故选项 A正确; 对于选项B:S１８＝ １８(a１＋a１８) ２ ＝ １８(a９＋a１０) ２ ＝０ ,故选 项B正确; 对于选项 C:a６＋a１４＝a９＋a１１＝a９＋a１０＋d＝d,若d＞ ０,则a６＋a１４＝d＞０,故选项 C正确; 对于选项 D:当d＜０时,a６＋a１４＝d＜０,则a６＜－a１４, 因为d＜０,所以a６＞０,a１４＜０, 所以|a６|＜|a１４|,故选项 D不正确,故选:ABC．] １４．解:(１)由题设可得b１＝a２＝a１＋１＝２,b２＝a４＝a３＋１ ＝a２＋２＋１＝５, 又a２k＋２＝a２k＋１＋１,a２k＋１＝a２k＋２,(n∈N＋ ) 故a２k＋２＝a２k＋３,即bn＋１＝bn＋３,即bn＋１－bn＝３, 所以{bn}为等差数列,故bn＝２＋(n－１)×３＝３n－１． (２)设{an}的前２０项和为S２０,则S２０＝a１＋a２＋a３＋􀆺 ＋a２０, 因为a１＝a２－１,a３＝a４－１,􀆺,a１９＝a２０－１, 所以S２０＝２(a２＋a４＋􀆺＋a１８＋a２０)－１０ ＝２(b１＋b２＋􀆺＋b９＋b１０)－１０＝２×(１０×２＋ ９×１０ ２ ×３)－１０＝３００． 第２课时　等差数列前n项和的应用 １．B　[根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设 为an,则a１＋a２＋a３＝３a２＝３６００,故a２＝１２００,a１３＋ a１４＋a１５＝３a１４＝１０８００,故a１４＝３６００,则Sn＝ １ ２ (a１＋ a１５)×１５＝ １ ２ (a２＋a１４)×１５＝３６０００．故选:B．] ２．B　[由７a５＋５a９＝０,得 a１ d ＝－ １７ ３． 又a９＞a５,所以d＞ ０,a１＜０．因为函数y＝ d ２x ２＋ a１－ d ２( )x 的图像的对 称轴为x＝１２－ a１ d ＝ １ ２＋ １７ ３＝ ３７ ６ ,取最接近的整数６, 故Sn 取得最小值时n 的值为６．] ３．C　[由题意,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊 蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的 日影长依次成等差数列,记为数列{an},公差为d,则有 a１＋a３＋a５＝３６．３ a２＋a６＋a１０＝１８．３{ , 即 ３a１＋６d＝３６．３ ３a１＋１５d＝１８．５{ , 解 得: a１＝１６．１ d＝－２{ , 即冬至的日影长为１６．１尺．] ４．BC　[∵S３＝S８,∴S８－S３＝a４＋a５＋a６＋a７＋a８＝５a６ ＝０．∴a６＝０．∵a１＞０,∴a１＞a２＞a３＞a４＞a５＞a６＝０, a７＜０．故当n＝５或６时,Sn 最大．] ５．C　 [∵ 数 列 {an }的 通 项 公 式 为 an ＝ ４ ９( ) n－１ － ２ ３( ) n－１ ,令t＝ ２３( ) n－１ ,t∈(０,１],t是减函数, 则an＝t２－t＝ t－ １ ２( ) ２ －１４ , 由复合函数单调性知an 先递减后递增． 故有最大项和最小项,选 C．] ６．解析:∵ a４＋a７＝a５＋a６＜０, a５＞０,{ ∴ a５＞０, a６＜０,{ ∴Sn 的最大值为S５． 答案:S５ ７．解析:由题意,从第二年起维修费比上一年增加４万元, 即每年的维修费成等差数列．设从第二年起,每年的维 修费构成的等差数列为{an},则an＝１２＋４(n－１)＝４n ＋８,所以a５＝４×５＋８＝２８(万元),S１０＝１０×１２＋ １ ２× １０×９×４＝３００(万元)． 答案:２８　３００ ８．解:(１)由等差数列的性质可得:S５＝５a３,则a３＝５a３, ∴a３＝０, 设等差数列的公差为d,从而有a２a４＝(a３－d)(a３＋d) ＝－d２, S４＝a１＋a２＋a３＋a４＝(a３－２d)＋(a３－d)＋a３＋(a３－ d)＝－２d, 从而－d２＝－２d,由于公差不为零,故d＝２, 数列的通项公式为an＝a３＋(n－３)d＝２n－６． (２)由数列的通项公式可得a１＝２－６＝－４,则Sn＝n× (－４)＋n (n－１) ２ ×２＝n ２－５n, 则不等式Sn＞an,即n２－５n＞２n－６,整理可得(n－１)(n －６)＞０, 解得n＜１或n＞６,又n为正整数,故n的最小值为７． ９．ABC　[由题得a１＋２d＝３(a１＋４d),∴a１＝－５d＞０, ∴d＜０,所以数列{an}单调递减,所以选项 A 正确;由题 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 意令an＝a１＋(n－１)d＝(n－６)d≥０,∴n≤６,所以a１, a２,􀆺,a５＞０,a６＝０,a７,a８,􀆺,an＜０,所以当n＝５,n＝６ 时Sn 同时达到最大值,所 以 选 项 B 正 确; S９ S５ ＝ ９a５ ５a３ ＝ ９(－５d＋４d) ５(－５d＋２d)＝ ３ ５ ,所 以 选 项 C 正 确;Sn ＝na１ ＋ n(n－１)d ２ ＝－５nd＋ n(n－１)d ２ ≥０ ,∴n≤１１,所以不等式 Sn≥０的n的最大值为１１．所以选项 D错误．] １０．D　[设该塔群共有n阶,自上而下每一阶的塔数所构 成的数列为{an},依题意可知a５,a６,􀆺,an 成等差数 列,且公 差 为 ２,a５＝５,则 １＋３＋３＋５＋５(n－４)＋ (n－４)(n－５) ２ ×２＝１０８ ,解得n＝１２． 故最下面三阶的塔数之和为a１０＋a１１＋a１２＝３a１１＝３(５ ＋２×６)＝５１．] １１．解析:由a１＋a３＋a５＝１,得３a３＝１,即a３＝ １ ３ ,a２＋a４ ＋a６＝３a４＝３a３＋３d,当且仅当n＝２０时,Sn 取到最大 值,则 a２０＞０ a２１＜０{ , 则 a２０＝a３＋１７d＞０ a２１＝a３＋１８d＜０{ ,即 a２０＝ １ ３＋１７d＞０ a２１＝ １ ３＋１８d＜０ ì î í ïï ï ,得 到 d ∈ －１５１ ,－１５４( ) , a２＋a４＋a６＝３a４＝３a３＋３d＝１＋３d, 由d∈ －１５１ ,－１５４( ) ,可 得 １６ １７＜１＋３d＜ １７ １８． 故 答 案 为:１６ １７ ,１７ １８( ) , 答案:１６ １７ ,１７ １８( ) １２．解:(１)由 a１＋９d＝２３, a１＋２４d＝－２２,{ 得 a１＝５０, d＝－３,{ ∴an＝a１＋(n －１)d＝－３n＋５３． 令an＞０,得n＜ ５３ ３ ,∴当n≤１７,n∈N＋ 时,an＞０;当n ≥１８,n∈N＋ 时,an＜０,∴{an}的前１７项和最大． (２)当n≤１７,n∈N＋ 时,|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|＝a１＋ a２＋􀆺＋an ＝na１＋ n(n－１) ２ d＝－ ３ ２n ２＋１０３２n． 当n≥１８,n∈N＋ 时,|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|＝a１＋a２＋ 􀆺＋a１７－a１８－a１９－􀆺－an ＝２(a１＋a２＋􀆺＋a１７)－(a１＋a２＋􀆺＋an) ＝２ －３２×１７ ２＋１０３２ ×１７( )－ － ３ ２n ２＋１０３２n( ) ＝３２n ２－１０３２n＋８８４． ∴Sn＝ －３２n ２＋１０３２n ,n≤１７,n∈N＋ , ３ ２n ２－１０３２n＋８８４ ,n≥１８,n∈N＋ ． ì î í ïï ï １３．C　[由已知得:AnBn＝An－１Bn－１－Bn－１Bn,Bn－１Bn＝􀆺 ＝B２B３＝B１B２＝B０B１＝１,因此数列{AnBn}(n∈N＋ ,１ ≤n≤５)是以a１＝A０B０＝６为首项,公差为d＝－１的 等差数列,设数列{AnBn}(n∈N＋ ,１≤n≤５)的前５项 和为S５,因此 有,S５ ＝５a１ ＋ １ ２ ×５×４ 􀅰d＝５×６－ １ ２×５×４×１＝２０ ,所以这五层正六边形的周长总和为 ６S５＝６×２０＝１２０．故选 C．] １４．解:(１)每台充电桩第n年总利润为 ６４００n－ １０００n＋１２n (n－１)４００[ ] －１２８００, ∵６４００n－ １０００n＋１２n (n－１)４００[ ] －１２８００＞０, 化简得－２００(n２－２８n＋６４)＞０,即n２－２８n＋６４＜０． 解得１４－２ ３３ ＜n＜１４＋２ ３３ , ∴２􀆰６＜n＜２５􀆰４． ∵n∈N＋ ,∴３≤n≤２５． ∴每台充电桩第３年开始获利． (２)每台充电桩前n年的年平均利润 ６４００n－ １０００n＋１２n (n－１)４００[ ]－１２８００ n ＝２００ ２８－ n＋６４n( )[ ] ≤ ２００ ２８－２ n􀅰 ６４ n[ ] ＝ ２４００,当且仅当n＝６４n ,即n＝８时取等号,∴每台充电 桩前８年的年平均利润最大． §３　等比数列 ３．１　等比数列的概念及其通项公式 第１课时　等比数列的概念及其通项公式 １．A　[①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数 列;②中,前３项是等比数列,多于３项时,无法判定,故 不能判定是等比数列;③中,当a＝０时,不是等比数列; ④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列．故选:A．] ２．D　[因为an＝a１qn－１,所以１×２n－１＝６４,即２n－１＝２６,得 n－１＝６,解得n＝７．] ３．C　[由题可得单位时间内的进光量形成公比为 １２ 的等 比数列{an},则 F４对应单位时间内的进光量为a５,F １．４对应单位时间内的进光量为a２,从 F４调整到F１． ４,则单位时间内的进光量为原来的 a２ a５ ＝８倍．故选:C．] ４．A　[∵a１＝ ２ ,a２＝ ３ ２ ,∴q＝ ３ ２ ２ ．∴a４＝a１q３＝ ２ × ２ ２ ２ ＝１．] ５．ABD　[对于 A,an＋１＝an􀅰q,当q＝０,an＝０时,等式成 立,此时不是等比数列,故错误;对于 B,an＝a１qn－１,当q ＝０,a１＝０时,等式成立,此时不是等比数列,故错误;对 于 C,根据等比数列等比中项定义可以判定此数列为等 比数列,故 正 确;对 于 D．an＋１＝ an􀅰an＋２,当an＝０, an＋１＝０,an＋２＝０时,等式 成 立,此 时 不 是 等 比 数 列,故 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 参考答案