2 等差数列 2.1第1课时 等差数列的概念及其通项公式&第2课时 等差数列的性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§２　等差数列 　　　２．１　等差数列的概念及其通项公式 　　　　　第１课时　等差数列的概念及其通项公式 [基础达标练] １．(多选题)下列数列中,是等差数列的是(　　) A．２,５,８,１１ B．lg３,lg９,lg２７,lg８１ C．４５,４４,４３,４２ D．１１,９,７,５,３ ２．在等差数列{an}中,已知a１＝ １ ３ ,a２＋a５＝４, an＝３５,则n＝ (　　) A．５０　　　　　　　B．５１ C．５２ D．５３ ３．已知数列{an}中,a３＝２,a７＝１,若 １ an＋１{ }为 等差数列,则a１９＝ (　　) A．０ B．１２ C．２３ D．２ ４．目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若 某家农村网店从第二个月起利润就成递增等 差数列,且第２个月利润为２５００元,第５个月 利润为４０００元,第m 个月后该网店的利润超 过５０００元,则m＝ (　　) A．６ B．７ C．８ D．１０ ５．(多选)下列命题中,正确的是 (　　) A．数列６,４,２,０是公差为２的等差数列 B．数列a,a－１,a－２,a－３是公差为－１的等 差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn２ ＋b的形式(k,b为常数) D．数列{２n＋１}(n∈N＋)是等差数列 ６．已知f(n＋１)＝f(n)－１４ (n∈N＋),且f(２) ＝２,则f(２０２３)＝　　　　． ７．在数列{an}中,a１＝２,２an＋１－２an＝１,则a１０１ 的值为　　　　． ８．某公司经销一种数码产品,第一年可获利２００ 万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因, 其利润每年比上一年减少２０万元,按照这一 规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营 策略,从哪一年起,该公司经销这种数码产品 将亏损? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　数列 [能力提升练] ９．(多选)下列命题中为真命题的是 (　　) A．若a,b,c成等差数列,则a２,b２,c２ 一定成等 差数列 B．若a,b,c成等差数列,则２a,２b,２c 可能成等 差数列 C．若a,b,c成等差数列,则ka＋２,kb＋２,kc＋ ２(k为常数)一定成等差数列 D．若a,b,c成等差数列,则１a ,１ b ,１ c 可能成等 差数列 １０．(多选)设d 为正项等差数列{an}的公差,若 d＞０,a３＝２,则 (　　) A．a２􀅰a４＜４ B．a２２＋a４≥ １５ ４ C．１a１ ＋１a５ ＞１ D．a１􀅰a５＞a２􀅰a４ １１．已知f(n＋１)＝f(n)－１４ (n∈N＋),f(２)＝２, 则f(２０１７)＝　　　　． １２．设数列{an}满足当n＞１时,an＝ an－１ １＋４an－１ ,且 a１＝ １ ５． (１)求证:数列 １an{ }为等差数列; (２)a１a２ 是否是数列{an}中的项? 如果是,求 出是第几项;如果不是,请说明理由． [素养培优练] １３．我国古代用日晷测量日影的长度,晷长即为所 测量影子的长度．«周髀算经»中记载:一年有二 十四个节气,每个节气晷长损益相同．二十四个 节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长 的变化量相同,周而复始．从冬至日起,依次小 寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成 等差数列,若测得冬至、立春、春分日影长之和 为３１．５尺,大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为２５．５ 尺,则冬至日影的长为 (　　) A．１１．５ B．１２．５ C．１３．５ D．１４．５ １４．单分数(分子为１,分母为正整数的分数)的 广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色, 埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数 的和．例如２５＝ １ ３＋ １ １５ ,７ ２９＝ １ ６＋ １ ２４＋ １ ５８＋ １ ８７＋ １ ２３２ ,􀆺􀆺,现已知 ２ １０１ 可以表示成４个 单分数的和,记 ２ １０１＝ １ ６０６＋ １ x＋ １ y＋ １ z ,其 中x,y,z是以１０１为首项的等差数列,则y ＋z的值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 　　　第２课时　等差数列的性质 [基础达标练] １．已知等差数列{an}中,a２＋a８＝１８,则a５＝ (　　) A．７　　　　　　　　B．１１ C．９ D．１８ ２．已知等差数列{an}的公差为d(d≠０),且a３＋ a６＋a１０＋a１３＝３２,若am＝８,则m 的值为 (　　) A．１２ B．８ C．６ D．４ ３．已知数列{an}为等差数列且a１＋a７＋a１３＝ ４π,则tan(a２＋a１２)的值为 (　　) A．３ B．± ３ C．－ ３３ D．－ ３ ４．已知在△ABC中,三个内角A,B,C 成等差数 列,则角B 等于 (　　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° ５．(多选)下面关于公差d＞０的等差数列{an}的 结论中,正确的是 (　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列 ann{ } 是递增数列 D．数列{an＋３nd}是递增数列 ６．在等差数列{an}中,a１＋a９＝４,那么a２＋a３＋ 􀆺＋a８ 等于　　　　． ７．已知等差数列{an}满足am－１＋am＋１－a２m －１ ＝０,且m＞１,则a１＋a２m－１＝　　　　． ８．在等差数列{an}中,若a３＋a８＋a１３＝１２, a３a８a１３＝２８． (１)求数列{an}的通项公式; (２)求a２３的值． [能力提升练] ９．(多选)在等差数列{an}中,每相邻两项之间都 插入k(k∈N＋)个数,使它们和原数列的数一 起构成一个新的等差数列{bn}．若b９ 是数列 {an}的项,则k的值可能为 (　　) A．１ B．３ C．５ D．７ １０．数列{an}满足递推关系an＝３an－１＋３n－１(n ∈N＋,n≥２),a１＝５,则使得数列 an＋m ３n{ } 为 等差数列的实数m 的值为　　　　． １１．已知函数f(x)在(－１,＋∞)上单调,且函数 y＝f(x－２)的图像关于x＝１对称,若数列 {an}是公差不为０的等差数列,且f(a５０)＝f (a５１),则a１＋a１００等于　　　　． １２．在正项无穷等差数列{an}中,已知a５a７＝１２． a２＋a１０＝７． (１)求通项公式an． (２)设bn＝an＋t,且对一切n∈N＋,恒有b２n ＝２bn,求t的值．对一切k,n∈N＋ 是否恒有 bkn＝kbn? 请说明理由． [素养培优练] １３．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a１ ＋a２＋a３＋．．．＋a１０１＝０,则下列各式一定成 立的有 (　　) A．a１＋a１０１＞０ B．a２＋a１００＝０ C．a３＋a１００≤０ D．a５１＝０ １４．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷)图１是中国古代建筑中 的举架结构,AA′,BB′,CC′,DD′是桁,相邻 桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图２ 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD１, CC１,BB１,AA１ 是举,OD１,DC１,CB１,BA１ 是 相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD１ OD１ ＝ ０．５, CC１ DC１ ＝k１, BB１ CB１ ＝k２, AA１ BA１ ＝k３．已知k１, k２,k３ 成公差为０．１的等差数列,且直线OA 的斜率为０．７２５,则k３＝ (　　) A．０．７５　　　　　　　B．０．８ C．０．８５ D．０．９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　数列 所以“{an}是递增数列”⇐“存在正整数 N０,当n＞N０ 时,an＞０”． 所以,“{an}是递增数列”是“存在正整数 N０,当n＞N０ 时,an＞０”的充分必要条件．] １４．解:(１)∵a２＝ ６ ５ ,a３＝ ９ ７ , ∴ ２a ２b＋１＝ ６ ５ , ３a ３b＋１＝ ９ ７ , ì î í ïï ï 解得 a＝３ b＝２{ ,因此an＝ ３n ２n＋１． (２)证明:∵an＋１－an＝ ３(n＋１) ２(n＋１)＋１－ ３n ２n＋１ ＝ ３(２n＋３)(２n＋１)＞０ , ∴an＋１＞an,故{an}是递增数列． (３)证 明:∵an ＝ ３n ２n＋１＝ ３ ２ (２n＋１)－３２ ２n＋１ ＝ ３ ２ － ３ ４n＋２ ,而n∈N＋ ,n≥１,∴an＜ ３ ２ ,an＝ ３ ２ － ３ ４n＋２≥ ３ ２－ ３ ４＋２＝１ , 故１≤an＜ ３ ２． §２　等差数列 ２．１　等差数列的概念及其通项公式 第１课时　等差数列的概念及其通项公式 １．ABD　[根据等差数列的定义,可得:A中,满足an＋１－an ＝３(常数),所以是等差数列;B中,lg９－lg３＝lg２７－lg ９＝lg８１－lg２７＝lg３(常数),所以是等差数列;C中,因 为４４－４５≠４３－４４≠４２－４３,不满足等差数列的定义,所 以不是等差数列;D中,满足an＋１－an＝－２(常数),所以 是等差数列．] ２．D　[依题意,a２＋a５＝a１＋d＋a１＋４d＝４,代入a１＝ １ ３ , 得d＝２３． 所以an＝a１＋(n－１)d＝ １ ３＋ (n－１)×２３＝ ２ ３n－ １ ３ ,令an＝３５,解得n＝５３．] ３．A　[因为,a３＝２,a７＝１,故 １ a３＋１ ＝１３ , １ a７＋１ ＝１２ ,所以 １ a１９＋１ ＝ １a３＋１ ＋ １ ２－ １ ３( ) ４ ×１６＝ １ ３＋ ２ ３＝１ ,故a１９＝ ０,故选 A．] ４．B　[设该网店从第一个月起每个月的利润构成等差数 列{an},则a２＝２５００,a５＝４０００．由a５＝a２＋３d,即４ ０００＝２５００＋３d,得d＝５００．由am ＝a２＋(m－２)×５００ ＝５０００,得m＝７．] ５．BD　[对于 A,根据等差数列的定义可知,数列６,４,２,０ 的公差为－２,A错误;对于 B,由等差数列的定义可知, 数列a,a－１,a－２,a－３是公差为－１的等差数列,所以 B正确;对于 C,由等差数列的通项公式an＝a１＋(n－１)d 知,n的次幂不能为２次幂,故 C错误;对于 D,因为an＋１ －an＝２(n＋１)＋１－(２n＋１)＝２,所以数列{２n＋１}(n∈ N＋ )是等差数列,所以 D正确．] ６．解析:由f(n＋１)＝f(n)－１４ ,得f(n＋１)－f(n)＝－ １ ４ (n∈N＋ ),∴{f(n)}是一个以－ １ ４ 为公差的等差 数列． ∵f(２)＝２,∴f(２０２３)＝f(２)＋(２０２３－２)d＝２＋２ ０２１× －１４( ) ＝－ ２０１３ ４ ． 答案:－２０１３４ ７．解析:由题意,数列{an}满足２an＋１－２an＝１,即an＋１－an ＝１２ ,又由a１＝２,所以数列{an}是首项为２,公差为 １ ２ 的等差数列,所以a１０１＝a１＋１００d＝２＋１００× １ ２＝５２． 答案:５２ ８．解:设从第一年起,第n年的利润为an 万元,则a１＝２００, an＋１－an＝－２０(n∈N＋ )． ∴每年的利润构成首项为２００、公差为－２０的等差数列{an}． ∴an＝a１ ＋(n－１)d＝２００＋(n－１)×(－２０)＝２２０ －２０n． 若an＜０,则该公司经销这一产品将亏损． 由an＝２２０－２０n＜０,得n＞１１,即从第１２年起,该公司 经销这种数码产品将亏损． ９．BCD　[对于 A,取a＝１,b＝２,c＝３,显然a,b,c成等差 数列,而a２＝１,b２＝４,c２＝９,此时a２,b２,c２ 不成等差数 列,A是假命题;对于B,令a＝b＝c,显然a,b,c成等差 数列,则２a＝２b＝２c,此时２a,２b,２c 是公差为０的等差数 列,B是真命题; 对于C,因a,b,c成等差数列,则b－a＝c－b＝d(d为常数), 于是得(kb＋２)－(ka＋２)＝k(b－a)＝kd,(kc＋２)－(kb ＋２)＝k(c－b)＝kd,而k为常数, 因此,(kb＋２)－(ka＋２)＝(kc＋２)－(kb＋２)＝kd(kd 为常数), 所以ka＋２,kb＋２,kc＋２(k为常数)成等差数列,C是真 命题; 对于 D,令a＝b＝c≠０,显然a,b,c成等差数列,则 １a ＝ １ b＝ １ c ,此时１ a ,１ b ,１ c 是公差为０的等差数列,D是真 命题．] １０．ABC　[由题知,只需 a１＝２－２d＞０ d＞０{ ⇒０＜d＜１,a２􀅰 a４＝(２－d)􀅰(２＋d)＝４－d２＜４,A 正 确;a２２＋a４＝ (２－d)２＋(２＋d)＝d２－３d＋６≥１５４ ,B正确;１a１ ＋ １a５ ＝ １２－２d＋ １ ２＋２d＝ １ １－d２ ＞１,C正确;a１􀅰a５－a２􀅰a４ ＝(２－２d)􀅰(２＋２d)－(２－d)􀅰(２＋d)＝－３d２＜０, 所以a１􀅰a５＜a２􀅰a４,D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 参考答案 １１．解析:由f(n＋１)＝f(n)－１４ ,得f(n＋１)－f(n)＝－ １ ４ (n∈N＋ )． ∴{f(n)}是 一 个 以－ １４ 为 公 差 的 等 差 数 列．∵f(２) ＝２, ∴f(２０１７)＝f(２)＋ (２０１７－２)d＝２＋２０１５× －１４( )＝－ ２００７ ４ ． 答案:－２００７４ １２．解:(１)证明:根据题意a１＝ １ ５ 及递推关系an≠０．因为 an＝ an－１ １＋４an－１ ．取倒数得 １an ＝ １an－１ ＋４,即 １an － １an－１ ＝４ (n＞１),所以数列 １an{ } 是首项为５,公差 为４的 等 差 数列． (２)由(１),得１an ＝５＋４(n－１)＝４n＋１,an＝ １ ４n＋１． 又a１a２＝ １ ５× １ ９＝ １ ４５＝ １ ４n＋１ ,解得n＝１１． 所以a１a２ 是数列{an}中的项,是第１１项． １３．C　[由题意,从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清 明、谷 雨、立 夏、小 满、芒 种 这 十 二 个 节 气,其日影长依次成等差数列,设冬至的日影长为a１,公 差为d,则a１＋a４＋a７＝３１．５,a３＋a６＋a９＝２５．５,两式相减 得－６d＝６,解得d＝－１,所以a１＋a４＋a７＝３a１＋９d＝ ３１．５,解得a１＝１３．５,故选:C．] １４．解析:依题意,拆分后的分数,分子都是１,分母依次变 大,又 ２ １０１＝ １ ６０６＋ １ x＋ １ y＋ １ z 中含 １ ６０６ ,故可分解如下 ２ １０１＝ １ １０１＋ １ １０１＝ １ １０１＋ １ ２０２＋ １ ２０２＝ １ １０１＋ １ ２０２＋ ３ ６０６＝ １ １０１＋ １ ２０２＋ ２ ６０６＋ １ ６０６＝ １ １０１＋ １ ２０２＋ １ ３０３＋ １ ６０６ ,又x,y, z是以１０１为首项的等差数列,故x＝１０１,y＝２０２,z＝ ３０３．故y＋z＝２０２＋３０３＝５０５． 答案:５０５ 第２课时　等差数列的性质 １．C　[设等差数列的性质可知:a２＋a８＝２a５＝１８,所以a５ ＝９．故选:C．] ２．B　[由等差数列的 性 质,得a３＋a６＋a１０＋a１３＝(a３＋ a１３)＋(a６＋a１０)＝２a８＋２a８＝４a８＝３２,∴a８＝８,又d≠ ０,∴m＝８．] ３．D　[由等差数列的性质得a１＋a７＋a１３＝３a７＝４π,∴a７ ＝４π３．∴tan (a２＋a１２)＝tan(２a７)＝tan ８π ３ ＝tan ２π ３ ＝ － ３．] ４．B　[因为A,B,C成等差数列,所以B 是A,C 的等差中 项,则有A＋C＝２B,又因为A＋B＋C＝１８０°,所以３B＝ １８０°,从而B＝６０°．] ５．AD　[设等差数列的首项为a１,d＞０,则an＝a１＋(n－ １)d＝dn＋(a１－d)．∴数列{an}递增,A 正确．nan＝dn２ ＋(a１－d)n,当n＜ d－a１ ２d 时,不递增,B错误． an n ＝d＋ a１－d n ,当a１－d＞０时,不递增,C错误;[an＋１＋３(n＋１) d]－(an＋３nd)＝an＋１－an＋３d＝４d＞０,{an＋３nd}递 增,D正确．] ６．解析:因为数列{an}为等差数列,且a１＋a９＝４,根据等差 数列的性质,可得a１＋a９＝２a５＝４,解答a５＝２,又由a２ ＋a３＋􀆺＋a８＝７a５＝７×２＝１４． 答案:１４ ７．解析:因为 数 列 {an}为 等 差 数 列,所 以am －１ ＋am ＋１ ＝ ２am．所以am －１＋am ＋１－a２m－１＝０可化为２am－a２m－１＝ ０,解得am＝１．所以a１＋a２m－１＝２am＝２． 答案:２ ８．解:(１)根据题意,设等差数列{an}的公差为d,由a３＋a８ ＋a１３＝１２,则３a８＝１２,则a８＝４,又由a３a８a１３＝２８,则有 a３a１３＝(４－５d)(４＋５d)＝７,解可得:d＝± ３ ５ ,当d＝３５ 时,an＝a８＋(n－８)d＝ ３n－４ ５ ,当d＝－３５ 时,an＝a８＋ (n－８)d＝４４－３n５ ． (２)由(１)的 结 论,当d＝ ３５ 时,an＝ ３n－４ ５ ,此 时a２３＝ ３×２３－４ ５ ＝１３ ,当 d＝ － ３５ 时,an ＝ ４４－３n ５ ,则a２３ ＝ ４４－３×２３ ５ ＝－５ ,则a２３＝１３或－５． ９．ABD　[由题意得,插入k(k∈N＋ )个数,则a１＝b１,a２＝ bk＋２,a３＝b２k＋３,a４＝b３k＋４􀆺 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排 列,且角标是以１为首项,k＋１为公差的等差数列,所以 an＝b１＋(n－１)(k＋１),因为b９ 是数列{an}的项,所以令１＋(n －１)(k＋１)＝９,n∈N＋ ,k∈N＋ , 当n＝２时,解得k＝７,当n＝３时,解得k＝３,当n＝５ 时,解得k＝１, 故k的值可能为１,３,７,故选:ABD．] １０．解析:a１＝５,a２＝３×５＋３２－１＝２３,a３＝３×２３＋３３－１ ＝９５, 依题意得５＋m ３ ,２３＋m ３２ ,９５＋m ３３ 成等差数列, ∴２􀅰２３＋m ３２ ＝５＋m３ ＋ ９５＋m ３３ ．∴m＝－１２ ． 答案:－１２ １１．解析:由题意知函数y＝f(x－２)的图像关于x＝１对 称,则函数f(x)的图像关于x＝－１对称,且在(－１,＋ ∞)上单调,因为f(a５０)＝f(a５１),所以a５０＋a５１＝－２, 因为数列{an}是公差不为０的等差数列,所以a１＋a１００ ＝a５０＋a５１＝－２． 答案:－２ １２．解:(１)∵a２＋a１０＝a５＋a７＝７,又∵a５a７＝１２, ∴ a５＝３, a７＝４,{ 或 a５＝４, a７＝３．{ 当 a５＝４, a７＝３．{ 时,an＝－ １ ２n＋ １３ ２ , 不恒为正,舍去． ∴ a５＝３, a７＝４,{ ∴an＝ １ ２n＋ １ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 (２)bn＝an＋t＝ １ ２n＋t＋ １ ２ ,b２n＝n＋t＋ １ ２ , ∴n＋t＋１２＝n＋２t＋１． ∴t＝－１２ ,∴bn＝ １ ２n．∵bkn＝ １ ２kn＝kbn , ∴恒有bkn＝kbn． １３．BD　[设等差数列{an}的公差为d,易知d＞０, ∵等差数列{an}满足a１＋a２＋a３＋．．．＋a１０１＝０, 且a１＋a１０１＝a２＋a１００＝．．．＝a５０＋a５２＝２a５１, ∴a１＋a２＋a３＋．．．＋a１０１＝(a１ ＋a１０１)＋(a２ ＋a１００) ＋．．．＋(a５０＋a５２)＋a５１＝１０１a５１＝０, ∴a５１＝０,a１＋a１０１＝a２＋a１００＝２a５１＝０,故 B,D正确,A 错误． 又∵a５１＝a１＋５０d＝０,∴a１＝－５０d,∴a３＋a１００＝(a１ ＋２d)＋(a１＋９９d), ＝２a１＋１０１d＝２×(－５０d)＋１０１d＝d＞０,故 C错误． 故选:BD．] １４．D　[设OD１＝DC１＝CB１＝BA１＝１,则CC１＝k１,BB１ ＝k２,AA１＝k３,依题意,有k３－０．２＝k１,k３－０．１＝k２, 且 DD１＋CC１＋BB１＋AA１ OD１＋DC１＋CB１＋BA１ ＝ ０．７２５, 所 以 ０．５＋３k３－０．３ ４ ＝０．７２５ ,故k３＝０．９．] ２􀆰２　等差数列的前n项和 第１课时　等差数列的前n项和公式 １．B　[∵d＝a４－a２４－２ ＝ １５－７ ２ ＝４ ,又a１＋d＝７,∴a１＝３． ∴S１０＝１０a１＋ １０×９ ２ d＝１０×３＋４５×４＝２１０． ] ２．B　[设等差数列{an}的公差为d,由a１＋a８＋a９＝a１＋ a１＋７d＋a１＋８d＝３(a１＋５d)＝３a６＝ ３ ２ (a１＋a１１)为一 确定的常数,从而S１１＝ １ ２ (a１＋a１１)×１１＝１１a６ 为确定 的常数．] ３．B　[∵a７＋a８＋a９＝S９－S６,而由等差数列的性质可知, S３,S６－S３,S９－S６ 构成等差数列,所以S３＋(S９－S６) ＝２(S６－S３),即a７＋a８＋a９＝S９－S６＝２S６－３S３＝２× ３６－３×９＝４５．] ４．C　[由等差数列的性质及求和公式得S１３＝ １３(a１＋a１３) ２ ＝１３a７＞０,S１５＝ １５(a１＋a１５) ２ ＝１５a８＜０． ] ５．BCD　[设等差数列{an}的公差为d．由２a１＋２a３＝S５, 有２a１＋２(a１＋２d)＝５a１＋ ５×４ ２ d ,即a１＋６d＝０,所以 a７＝０,故 D 正确．S７＝７a１＋ ７×６ ２ d＝７ (a１＋３d)＝－ ２１d,∴S７≠０,故 A 错误．S１３＝ a１＋a１３ ２ ×１３＝１３a７＝０ , 故B正确．S９－S４＝a９＋a８＋a７＋a６＋a５＝５a７＝０,所以 S４＝S９,故 C正确．] ６．解 析:由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 可 得:S１１S５ ＝ １１(a１＋a１１) ２ ５(a１＋a５) ２ ＝ １１×２a６ ２ ５×２a３ ２ ＝１１５× a６ a３ ＝１１５× ５ １１＝１． 答案:１ ７．解析:∵S３,S６－S３,S９－S６ 成等差数列,而S３＝９,S６－ S３＝a４＋a５＋a６＝７,∴S９－S６＝５． 答案:５ ８．解:(１)方法一　∵a６＝１０,S５＝５, ∴ a１＋５d＝１０, ５a１＋１０d＝５,{ 解得 a１＝－５, d＝３．{ ∴a８＝a６＋２d＝１６． 方法二　∵S６＝S５＋a６＝１５,∴１５＝ ６(a１＋a６) ２ ,即３(a１ ＋１０)＝１５． ∴a１＝－５,d＝ a６－a１ ５ ＝３．∴a８＝a６＋２d＝１６． (２)方法一　∵a２＋a４＝a１＋d＋a１＋３d＝ ４８ ５ ,∴a１＋２d ＝２４５． ∴S５＝５a１＋１０d＝５(a１＋２d)＝５× ２４ ５＝２４． 方法二 　∵a２ ＋a４ ＝a１ ＋a５,∴a１ ＋a５ ＝ ４８ ５ ,∴S５ ＝ ５(a１＋a５) ２ ＝ ５ ２× ４８ ５＝２４． ９．C　[∵{an}是等差数列,∴Sm＝ m(a１＋am) ２ ＝０⇒a１＝－ am＝－(Sm－Sm－１)＝－２,又am＋１＝Sm＋１－Sm ＝３,∴d ＝am＋１－am＝１,３＝am＋１＝a１＋m＝－２＋m⇒m＝５,故 选C．] １０．CD　[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所以可设Sn ＝An２＋Bn(A,B∈R), 因 为 Sn ＝ n m ,Sm ＝ m n (m,n∈ N＋ ,m ≠n),所 以 Sn＝An２＋Bn＝ n m , Sm＝Am２＋Bm＝ m n , ì î í ïï ï 即 An＋B＝１m , Am＋B＝１n , ì î í ïï ï 解 得 A＝ １mn , B＝０, { 所 以 Sm ＋n ＝A(m＋ n)２＝m ２＋n２＋２mn mn ＝ m２＋n２ mn ＋２≥ ２mn mn ＋２＝４ ,当且仅 当m＝n时等号成立,又 m≠n,所以等号不能取得,因 此Sm ＋n＞４,故 CD正确,AB错误．] １１．解析:设等差数列{an}的项数为２n＋１,S奇 ＝a１＋a３＋ 􀆺＋a２n＋１＝ (n＋１)(a１＋a２n＋１) ２ ＝ (n＋１)􀅰an＋１,S偶 ＝ a２＋a４＋a６＋􀆺＋a２n＝ n(a２＋a２n) ２ ＝nan＋１ ,所以S奇 S偶 ＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 参考答案