11.1.2不等式的性质（第1课时不等式的性质）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第十一章 不等式与不等式组 11.1.2不等式的性质 第1课时 不等式的性质 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质． 2. 初步体会不等式与等式的异同． 情景导入 直接说出下列不等式的解集： 2x＜8 怎样解不等式： 与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. 如果a=b， b=c，那么a=c. 类比等式的性质，你能猜想不等式有哪些性质吗？ 如果a=b，那么b=a. 不等式的两个基本事实. 相等关系可以传递. 等式的两边可以交换. 交换不等式两边，不等号的方向改变. （2）如果a＞b， b＞c，那么a＞c， 不等关系可以传递. （1）如果a＞b，那么b＜a， 回想一下,等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来． 等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 等式两边同时乘一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a=b，那么ac=bc，如果a=b（c≠0），那么 不等式有没有类似的性质？ 新知探究 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： （1）5 > 3， ① 5 + 2 ______ 3 + 2， ② 5 + 0______ 3 + 0， ③ 5 + (-2)______ 3 + (-2)； （2）-1 < 3， ① -1 + 4 ______ 3 + 4， ② -1 + 0______ 3 + 0， ③ -1 +（-7）______ 3 + (-7). > > < < 发现：不等式两边加同一个数，不等号的方向________. 不变 > < -2 -2 -7 -7. 对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立. 不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 一般地，不等式具有如下性质： 即，如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c. 探究 （1）6 > 2， ① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5. （2）-2 < 3， ① -2×4 ______ 3×4. ② -2÷4 ______ 3÷4. > < 发现：当不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向________. 不变 > < 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： 不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 即，如果 a ＞ b，c＞0，那么 ac ＞ bc（或 ）. 一般地，不等式具有如下性质： （1）6 > 2， ① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5. ③6×(-5) ______ 2×(-5). ④ 6÷(-5) ______ 2÷(-5). （2）-2 < 3， ① -2×4 ______ 3×4. ② -2÷4 ______ 3÷4. ③ - 2×(-0.5) ______ 3×(-0.5). ④ -2÷(-0.5) ______ 3÷(-0.5). > < 发现：当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向_____. 改变 > < < < > > 如果不等式两边乘0，结果又如何呢？ 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： 不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 即，如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc（或 ） . 一般地，不等式具有如下性质： 不等式性质2 不等式性质3 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc（或 ） 如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc（或 ） 不等式性质2和不等式性质3有什么区别？ 对于乘法（或除法）运算，不等式性质要乘（或除）的数正负不同，结果也不同. 13 例题讲解 例2 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据. （1）a + 3 与 a + 3 ；（2）-2a 与 -2b. 解：（1）因为 a＞b， 所以 a+3＞b+3. （不等式的性质1） （2）因为 a＞b， 所以 -2a＜-2b. （不等式的性质3） 概念归纳 不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点： 类别 不同点 相同点 不等式 等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等 1.两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍成立； 2.两边乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立 课堂练习 1. 已知p＞q，用“＞”或“＜”填空，并说明依据： 【选自教材P125 练习 第1题】 （2）p-2____q-2； （3）p+2m____q+2m； （4）-5p____-5q； （1） ____ ； （5） ____ ； （6）4p+1____4q+1. ＞ 不等式的性质1 ＞ 不等式的性质1 ＞ 不等式的性质1 ＜ 不等式的性质3 ＞ 不等式的性质2 ＞ 不等式的性质1、2 2. 已知 m＞3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： 【选自教材P125 练习 第2题】 （1）m+5； （3）-2m； （2） ； （4）3m-4. 解：（1）∵m＞3， ∴m+5＞3+5， 即m+5＞8. （2）∵m＞3， （3）∵m＞3， ∴-2m＜3×（-2）， 即-2m＜-6. （4）∵m＞3， ∴3m＞3×3， 即3m＞9. ∴ ＞ ， 即 ＞ . ∴3m-4＞9-4， 即3m-4＞5. 分层练习 基础题 1. 与不等式 意义相同的是( ) A A. B. C. D. 2. [2024广州] 若 ，则( ) D A. B. C. D. 3.与不等式 的意义相同的是( ) A A. B. C. D. 4.已知,,则与 的大小关系是( ) B A. B. C. D.无法确定 5.若，则，“ ”中应填的符号是( ) A A. B. C. D. 6.由，得，则 的取值可能是( ) D A.1 B.1.5 C.0 D. 20 7.[2024· 广州] 若 ，则( ) D A. B. C. D. 8.[2024· 苏州吴中区模拟] 下列变形错误的是( ) C A.由得 B.由得 C.由得 D.由得 9.[2024· 济南市中区模拟] 已知实数， 在数轴上对应点的位置如图所 示，则下列不等式正确的是( ) B A. B. C. D. 21 10. 不等关系在生活中广泛存在.如图，， 分别表示两 位同学的身高， 表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是 ( ) A A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 22 11. 如果，那么一定有，则 的取 值可以是___________________. （答案不唯一） 12. 用三个不等式,, 中的两个 不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题， 组成真命题的个数为___. 3 23 13.写出下列不等式的变形依据： （1）由，得 ; 解：不等式的性质1. （2）由，得 ; 解：不等式的性质3. （3）由，得 ; 解：不等式的性质2. （4）由，得 . 解：不等式的性质1. 24 14. 已知 ，利用不等式的性质写出下列各式的取值 范围： （1） ; 解：由，得，即 . （2） ; 解：由，得，即 . 25 （3） ; 解：由，得，即 . （4） . 解：由，得，即 . 26 综合应用题 15.[2024· 廊坊期末] 已知，则，对于数“ ”，嘉 嘉和淇淇提出了不同的看法：嘉嘉：根据不等式的性质，“ ”只能是“ ”；淇淇：“”除了“ ”外，还可以是其他数.对于两人的看法，判 断正确的是( ) D A.两人都对 B.两人都不对 C.嘉嘉对，淇淇不对 D.淇淇对，嘉嘉不对 16.[2024· 苏州] 若 ，则下列结论一定正确的是( ) D A. B. C. D. 17.[2024· 北京朝阳区期中] ,, 三人去公园玩跷跷板，根据下图判断 三人体重的大小是( ) C A. B. C. D. 28 18. 下列判断正确的是( ) D A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 [解析] 点拨：A.当时，不能得到 ； B.当时，不能得到 ； C.当时，不能得到 ； D正确.此题易忽略选项C中 的情况. 29 19. 请根据不等式的性质填空： 问题：若，，，试判断 的取值范围. 解：，（理由：不等式的性质 ）. （理由：_______________）. ， （理由：________________）. ___（理由：_______________）. ， ___（理由：________________）. 不等式的性质2 不等式的传递性 6 不等式的性质2 6 不等式的传递性 30 20.比较大小： （1）当时，_________（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）说明第（1）小题的正确性. ， ， ， . 31 21.以下是两位同学在复习不等式过程中的对话： 小明说：“不等式 永远都不会成立，因为如果在这个 不等式两边同时除以，就会出现 这样的错误结论！” 小丽说：“如果， ，那么一定会得出 .” 你认为小明的说法________（填“正确”“不正确”）；小丽的 说法________（填“正确”“不正确”），选择其中一个人的说 法阐述你的判断理由（若认为正确，则进行说明；若认为不 正确，则给出反例）. 不正确 不正确 32 【解】小明的说法不正确.理由： 当时，由,得 . 故小明的说法不正确. 小丽的说法不正确.理由： 设，，， ， 符合题设条件， 此时 ， 故小丽的说法不正确.（选择一个人进行说明即可） 33 22. 请根据不等式的性质填空： 问题：若，，，试判断 的取值范围. 解： , （理由：_______________）. ， （理由：________________）. ___（理由：_______________）. ， ___（理由：________________）. 不等式的性质2 不等式的传递性 6 不等式的性质2 6 不等式的传递性 34 创新拓展题 23.根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则；若，则 ；若 ，则 .反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”. （1）若，则_________（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若， ，试比较， 的 大小，并说明理由. . 理由： ， . 36 24.【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： 如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？ 在老师的启发下，小明把问题转化为以下形式： ①已知：，.求证： . ②已知：，.求证： . 【问题探究】 37 （1）针对①小明给出如下证明过程，请认真阅读，并填写依据： ，即 是负数， 的相反数是正数，即 ， ， （依据：_______________）， 即 ， 不等式的两边同时加 ，得 （依据：_______________）， 合并同类项,得 ， 即 . 不等式的性质2 不等式的性质1 38 （2）参考（1）的证明方法，完成②的证明. 解：证明如下：，即 是负数， 的相反数是正数，即 ， ， （依据：不等式的性质2）， 即，不等式的两边同时加 ， 得 （依据：不等式的性质1），合并同类项， 得，即 . 39 课堂小结 不等式的基本性质 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质3 如果 a＞b， 那么a ± c > b ± c. 如果 a＞b，c ＞ 0， 那么 ac > bc.（或 ） 如果 a＞b， c ＜ 0， 那么 ac < bc.（或 ） $$