专题2.9 四边形（中考真题分类专题）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.9 四边形（中考真题分类专题）（精选精练） 第一部分【题型目录】 一、选择填空题 【题型1】中心对称和中心对称图形....................................................1 【题型2】多边形内角和与外角和......................................................2 【题型3】平行四边形................................................................3 【题型4】三角形的中位线............................................................4 【题型5】矩形......................................................................5 【题型6】菱形......................................................................6 【题型7】正方形....................................................................7 二、综合解答题 【题型8】平行四边形................................................................9 【题型9】三角形的中位线...........................................................10 【题型10】矩形....................................................................11 【题型11】菱形....................................................................12 【题型12】正方形..................................................................13 三、综合压轴题 【题型13】平行四边形..............................................................13 【题型14】三角形的中位线..........................................................14 【题型15】矩形....................................................................15 【题型16】菱形....................................................................16 【题型17】正方形..................................................................17 第二部分 题型梳理与分类展示 一、选择填空题 【题型1】中心对称和中心对称图形 1．（2024·西藏·中考真题）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·中考真题）点关于原点对称的点是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型2】多边形内角和与外角和 1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【题型3】平行四边形 1．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【题型4】三角形的中位线 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【题型5】矩形 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 4．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 ． 【题型6】菱形 1．（2024·山西·中考真题）在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【题型7】正方形 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 3．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 4．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 5．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 二、综合解答题 【题型8】平行四边形 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2） （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2） 如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【题型9】三角形的中位线 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 2．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【题型10】矩形 1．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 2．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【题型11】菱形 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，． （1）求证：； （2）若四边形是菱形且，，求四边形的面积． 【题型12】正方形 1．（2017·山东青岛·中考真题）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 2．（2022·山东日照·中考真题）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8． （1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； （2）①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 三、综合压轴题 【题型13】平行四边形 1．（2019·重庆·中考真题）在中，BE平分交AD于点E． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且．求证：． 2．（2020·四川乐山·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 【题型14】三角形的中位线 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 2．（2020·辽宁大连·中考真题）如图1，中，点分别在边上，，点G在线段上，，． （1）填空：与相等的角是_____； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）若（如图2），求的值． 【题型15】矩形 1．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：   问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 2．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 （1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． （2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． （3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【题型16】菱形 1．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．   （1）若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______； （2）如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数； （3）如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，． （1）如图①，求证； （2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【题型17】正方形 1．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．   特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 四边形（中考真题分类专题）（精选精练） 第一部分【题型目录】 一、选择填空题 【题型1】中心对称和中心对称图形....................................................1 【题型2】多边形内角和与外角和......................................................3 【题型3】平行四边形................................................................6 【题型4】三角形的中位线...........................................................11 【题型5】矩形.....................................................................14 【题型6】菱形.....................................................................19 【题型7】正方形...................................................................24 二、综合解答题 【题型8】平行四边形...............................................................29 【题型9】三角形的中位线...........................................................34 【题型10】矩形....................................................................38 【题型11】菱形....................................................................41 【题型12】正方形..................................................................44 三、综合压轴题 【题型13】平行四边形..............................................................48 【题型14】三角形的中位线..........................................................52 【题型15】矩形....................................................................57 【题型16】菱形....................................................................64 【题型17】正方形..................................................................68 第二部分 题型梳理与分类展示 一、选择填空题 【题型1】中心对称和中心对称图形 1．（2024·西藏·中考真题）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案． 解： 解：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； 既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（2024·四川凉山·中考真题）点关于原点对称的点是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴， 故选：． 【题型2】多边形内角和与外角和 1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 【题型3】平行四边形 1．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点拨】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性质进行判断即可 解：四边形是平行四边形， ，，，故①③正确， ，， 点是的中点， ， 又，，， ， ，，故②不正确， ，， ， 即，故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 【题型4】三角形的中位线 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【答案】42 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 【题型5】矩形 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键． 作辅助线如图，设，，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案． 解：如图，找，中点为，，连接，，连接，， 过作交的延长线于点，延长，与交于点． 设，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴在上， ∴到的距离即为， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型6】菱形 1．（2024·山西·中考真题）在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解． 解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 解：解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【题型7】正方形 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 3．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 4．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 解：（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 5．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可． 解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 二、综合解答题 【题型8】平行四边形 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2） （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2） 如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 解：（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 【题型9】三角形的中位线 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 解：（1）解：直线l如图所示， ； （2）证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 2．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）是直角三角形，证明见分析． 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 解：证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 【题型10】矩形 1．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 2．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见分析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 【题型11】菱形 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 解：（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，． （1）求证：； （2）若四边形是菱形且，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质，角平分线定义推出，得到，判定四边形是平行四边形，推出，得到． （2）由菱形的性质得到，，推出四边形的菱形，由平行线的性质得到，判定是等边三角形，得到，，求出，得到，由菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：由（1）知， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形的菱形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是由，得到，判定四边形是平行四边形；证明四边形是菱形． 【题型12】正方形 1．（2017·山东青岛·中考真题）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）当时，四边形是正方形，理由见分析 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 解：（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形．            理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形，        ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点拨】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 2．（2022·山东日照·中考真题）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8． （1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； （2）①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】（1）直角三角形，理由见分析；（2）①45°；②成立，理由见分析 【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论； （2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果； ②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果． 解：（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下： ∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b， ∴AE=AM= （4−a），BE= （4−b）， ∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32）， AC=4， ∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]， ∵ab=8， EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32）， ∴AE2+BF2=EF2， ∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形； （2）解：①如图1，    连接PC交EF于G， ∵a=b， ∴ME=AM=BN=NF， ∵四边形CNPM是矩形， ∴矩形CNPM是正方形， ∴PC平分∠ACB， ∴CG⊥AB， ∴∠PEG=90°， ∵CM=CN=PM=PN， ∴PE=PF， ∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形， EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2， ∴PE=AE=PF=BF， ∴ME=EG=FG=FN， ∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°； ②如图2，    仍然成立，理由如下： 将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE， ∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°， ∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2， ∵EF2=BF2+AE2， ∴DE=EF， ∵CD=CF，CE=CE， ∴△DCF≌△FCE（SSS）， ∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 三、综合压轴题 【题型13】平行四边形 1．（2019·重庆·中考真题）在中，BE平分交AD于点E． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见分析. 【分析】（1）作于O，由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，证出，得出，由三角形面积公式即可得出结果； （2）作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明得出，再证明得出，即可得出结论． 解：（1）解：作于O，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵BE平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）证明：作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（2020·四川乐山·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点． （1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系． 【答案】（1）；（2）补图见分析，仍然成立，证明见分析；（3），证明见分析 【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证． 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）补全图形如图所示，仍然成立， 证明如下：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为， 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决． 【题型14】三角形的中位线 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②见分析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 解：（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 2．（2020·辽宁大连·中考真题）如图1，中，点分别在边上，，点G在线段上，，． （1）填空：与相等的角是_____； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）若（如图2），求的值． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）由可得到答案； （2）在上取点，使 连接，先证明再证明四边形是平行四边形，从而得到为的中位线，从而可得答案； （3）如图，在上取点，使 连接， 同理可得：四边形是平行四边形，证明 再证明得到 设 利用勾股定理求解 即可得到答案． 解：（1）    故答案为： （2） 理由如下： 在上取点，使 连接， ， 四边形是平行四边形， 为的中位线，    （3）如图，在上取点，使 连接， 同理可得：四边形是平行四边形， 为的中位线， 设 ， 设    【点拨】本题考查的等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型15】矩形 1．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：   问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；问题2： 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得，根据邻补角互补可得，即可得证； （2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解； 问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解． 解：（1）∵等腰中，由翻折得到 ∴，， ∵， ∴； （2）如图所示，连接，交于点，    ∵折叠， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， 则， 在中，，,， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 （1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． （2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． （3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①1；②见详解；（3）见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 解：（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 【题型16】菱形 1．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．   （1）若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______； （2）如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数； （3）如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是 【分析】（1）根据“可旋四边形”的性质可得，根据正方形的判定可得菱形为正方形，根据正方形四条边都相等的性质即可求解； （2）连接，根据“可旋四边形”的性质和题意可得，，推得，根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理即可求出结果； 分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，根据垂直平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，求得，即可证明四边形是“可旋四边形”． 解：（1）解：∵菱形为“可旋四边形”， 则菱形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合， 即， 则菱形为正方形， ∵菱形的面积为， ∴菱形的边长是． 故答案为：． （2）解：连接，如图：    ∵四边形为“可旋四边形”，且点是四边形的一个“旋点”， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． （3）解：四边形是“可旋四边形”；理由如下： 分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，如图：    ∵点在线段和线段的垂直平分线上， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则， 即， ∴四边形是“可旋四边形”． 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线，构建全等三角形． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，． （1）如图①，求证； （2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立； （2）先证四边形是菱形，得，又证，得，由（）得得，根据等角的补角相等即可证明． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵， ∴．    【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【题型17】正方形 1．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 解：（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．   特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰直角三角形，理由见分析；（3）的形状不改变，见分析 【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可； （2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形； （3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形． 解：（1）证明：连接，，，如图，    ∵四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P恰为的中点； （2）是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形，都是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）的形状不改变， 延长至点M，使，连接，    ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∵点P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设交于点H，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$