2024-2025学年苏科版数学九年级下册 第5-8章阶段测试卷

2024-2025学年数学九年级下册苏科版第5-8章阶段测试卷 一、单选题 1．计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 2．如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（   ） A．54 B．24 C．32 D． 5．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．24 6．下面的三个问题中都有两个变量： ①边长为的正方形纸片中间剪去一个边长为的正方形纸片，剩下纸片的面积与； ②用长为的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③某种商品的价格为6元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格与．其中变量与之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（   ） A．① B．② C．③ D．①③ 7．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是(   ) A． B． C． D． 二、填空题 8．已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为 ． 9．已知，则的值为 ． 10．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，B，C，D均在网格点上，与交于点E，则 ． 11．如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了 米． 12．2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 13．为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有 人． 14．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 15．如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为 ． 三、解答题 16．计算： 17．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 18．户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备，适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合．如图，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，通过拉绳可控制天幕的开合．幕布宽，于点O，，如果通过拉绳将减少，那么点D下降了多少米？（结果精确到；参考数据：，，） 19．如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． (1)能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由； (2)的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 20．某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 24 D 9 E 3 请根据以上图表信息，解答下列问题： (1)统计表中 ，B等级对应扇形的圆心角的度数为 ； (2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； (3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 21．已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 22．综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为_____； 【拓展应用】 （2）如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 23．如图1，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线是抛物线的对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接、，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年数学九年级下册苏科版第5-8章阶段测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B C C C C 1．C 【分析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 当时，原分式有意义， ∴的长为， 故选：C ． 3．B 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据顶点式写出顶点坐标．根据二次函数的解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：B 4．C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， ， 的面积为18， 面积为32， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为18， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系．根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①由题意得， 变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在内为减小的，但是图象弯曲弧度不对，则不可以利用题图所示的图象表示； ②由题意得， 变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在是增大的，则不可以利用题图所示的图象表示； ③由题意得， 变量y是x的二次函数，函数图象开口向上，以为对称轴，可以利用题图所示的图象表示； 综上，③符合题意， 故选：C． 7．C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定A正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定B正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定C错误；证明，可得，即，再推导可得D结论正确． 【详解】解：，， ， 由作图可知：，为的角平分线， ，故A正确， ， ， ， ， ， ， ， ，故B正确， ，， ， ，即， 整理得：， ， ， 故C错误， ，， ， ， ， ，，， ，故D正确． 故选：． 8． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到，，由二次函数得到，即可得到答案． 【详解】解：点，都在二次函数．的图象上， 是方程， ， 点，纵坐标相等， ， 即， 点，都在二次函数．的图象上， ， 即， ． 故答案为：． 9．3 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，利用设法，进行计算即可解答．熟练掌握用设法是解题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， 故答案为：3． 10．/ 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，取格点F，连接，则四边形是平行四边形，则可证明，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取格点F，连接， 由网格的特点可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米， ∵斜坡的坡度， ∴汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 12．7 【分析】本题考查二次函数的应用，令，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，令，则， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即此时羽毛球飞行到与点的水平距离是， 故答案为：7． 13．2000 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：参加竞赛的总人数为：（人） 则七年级学生总人数为：， ∴该校获得奖励的七年级学生有：（人） 故答案为：2000 14． 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故答案为：． 15． 【分析】延长、交于点G，由可得，由两直线平行同位角相等可得，由平行四边形的性质可得，，即，由两直线平行内错角相等可得，，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由平行线分线段成比例定理可得，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长、交于点G， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，则，，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16．． 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解： 17．(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 18．0.32米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据垂直定义可得：，然后求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 当时， 在中，， ∴， 当时， 在中，， ， ， 点D下降了约0.32米． 19．(1)能，理由见解析 (2)AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 【分析】先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可； 根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：能围成一个面积为的矩形菜园． 理由：设，则， 根据题意，得， 解得，， 墙的最大长度a为， ， 解得， ， 能围成一个面积为的矩形菜园． （2）解：设，菜园的面积为， 由题意可得，， 由知：， 当时，该函数取得最大值，此时， 即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 20．(1)10，72度 (2)840人 (3) 【分析】本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由D等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可求出m的值，用乘以B等级所占百分比即可求出B等级对应扇形的圆心角的度数； （2）由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人）， ∴， B等级对应扇形的圆心角的度数为：． 故答案为：10，； （2）解：（人）， 答：估计该学校“劳动之星”大约有840人； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有种， ∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为． 21．(1) (2)①有最大值为；② 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； （2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 22．（1）2；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠得，由题意得，，中，勾股定理求出，利用即可； （2）由（1）得，，根据折叠得，设，则，在中求得和，连接，，并延长交于点G，由平移可知，，，即可判定，有，即可求得； （3）由折叠得，由旋转得，分两种情况求得，利用（1）和（2）的结论，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵，， ∴，， 在中，，即，解得， 则， 故答案为：2； （2）如图： 由（1）得：，， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即，， 连接，，并延长交于点G， 由平移可知，，， ，，， ∴ ∴ ∴， （3）解：由折叠得，由旋转得， 当点D，，三点共线时，设和交于点H，如图， 则四边形为矩形， 那么，，， 在中，， 当点D，，三点共线时，过点作交延长线于点G，如图， 则四边形为矩形， 那么，，， 在中，， 故的长或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、平移的性质、相似三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转和折叠的性质，以及分类讨论思想的应用． 23．(1)； (2)存在，； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，再求出二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性得到点为与对称轴的交点时，的值最小．求出直线的解析式，即可得到点的坐标； （3）设，则，连接，则，结合勾股定理得到切线为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，根据以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等列方程，求出，假设过点，则有以下两种情况：①当点在点的上方，即；②当点在点的下方，即，分别求出的值，得到或，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ，解得：， 二次函数解析式是； （2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下： 二次函数解析式是， 当时，， ， 抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称， 点为与对称轴的交点时，的值最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得： ，解得：． 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，． 在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小； （3）解：拋物线过，， 拋物线的对称轴为， 设， ， ， 如图：连接，则， ， 切线为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则：， ， ， ， 假设过点，则有以下两种情况： ①如图：当点在点的上方，即， ， 解得：或， ， ； ②如图2：当点在点的下方，即， ， 解得：， ， ； 综上，或． 当不经过点时，或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，圆的切线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$