7.4 长方体和正方体的体积及容积的计算 同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（青岛版）

7.4 长方体和正方体的体积及容积的计算 姓名: 班级: 1、长方体和正方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3。 2、长方体和正方体体积的统一计算公式。 长方体（正方体）的体积=底面积×高，如果用V表示体积，用S表示底面积，用h表示高，那么长方体和正方体的体积统一计算公式用字母表示为V=sh。 3、长方体和正方体体积计算公式的应用。 已知长方体的长宽高时，利用长方体的体积=长×宽×高计算体积。 已知正方体的棱长时，利用正方体的体积=棱长×棱长×棱长计算体积。 已知长方体（正方体）的底面积和高时，利用长方体（正方体）的体积=底面积×高计算体积。 4、容积的计算方法。 长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器里面测量长宽高。 一、选择题 1．一个长方体水箱装满水可以装5L，这个水箱的（    ）是L。 A．容积 B．体积 C．重量 2．在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）。 A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3 3．小军家有一个棱长5分米的正方体鱼缸（鱼缸厚度不计），爸爸往鱼缸里装水，当水面低于缸口2分米时，爸爸装了（    ）升水。 A．50 B．75 C．90 4．长方体长5dm、宽4dm、高3dm，它的棱长和与正方体棱长的和相等，正方体的体积是（    ）。 A．120dm3 B．64dm3 C．125dm3 5．如果长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍、3倍、4倍，则体积扩大到原来的（    ）倍。 A．9 B．12 C．24 二、填空题 6．一个长方体是由24个棱长1厘米的小正方体拼成，从一个方向观察这个长方体最多能同时看到( )个面，这个长方体的体积是( )立方厘米。 7．下面是一个长方体平面展开图（单位：厘米）。这个长方体的体积是( )立方厘米。 8．儿童游泳池一般是指1岁以上6岁以下的儿童专用的游泳池，根据儿童的平均身高其深度要在0.6米至1.0米之间。某儿童游泳池长25米，宽18米，泳池中现在有360立方米的水，这个游泳池的水深是( )米，是否符合标准要求( )填“是”或“否”。 9．如图，把小正方体摆满长方体空间，还需要用( )个这样的小正方体。 10．一个正方体礼品盒，棱长2分米，礼品盒的四周和底面用的是硬纸板，做这个礼品盒至少用硬纸板( )平方分米，它的体积是( )立方分米。 三、计算题 11．计算下面各图形的表面积和体积。 （1）               （2） 四、解答题 12．一个长方体水箱，从里面量长24厘米，宽18厘米，深15厘米。给里面加入10厘米深的水，妙妙把一个土豆放入水中后（土豆完全浸没在水中），水面上升到12.5厘米，土豆的体积是多少立方厘米？ 13．一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 14．一个长方体，如果高增加2厘米，就会变成一个正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米。这个正方体的体积是多少立方厘米？ 15．一个长方体水池，长15米，宽6米，深2米。 （1）在它的四周和底面涂上水泥，每平方米用水泥5千克，一共用水泥多少克？ （2）如果将水池注满水，一共能注水多少吨？（1立方米水重1吨） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4 长方体和正方体的体积及容积的计算 姓名: 班级: 1、长方体和正方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3。 2、长方体和正方体体积的统一计算公式。 长方体（正方体）的体积=底面积×高，如果用V表示体积，用S表示底面积，用h表示高，那么长方体和正方体的体积统一计算公式用字母表示为V=sh。 3、长方体和正方体体积计算公式的应用。 已知长方体的长宽高时，利用长方体的体积=长×宽×高计算体积。 已知正方体的棱长时，利用正方体的体积=棱长×棱长×棱长计算体积。 已知长方体（正方体）的底面积和高时，利用长方体（正方体）的体积=底面积×高计算体积。 4、容积的计算方法。 长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器里面测量长宽高。 一、选择题 1．一个长方体水箱装满水可以装5L，这个水箱的（    ）是L。 A．容积 B．体积 C．重量 【答案】A 【分析】容积就是指容器所能容纳物体的体积，据此即可做出正确选择。 【详解】因为容积就是指容器所能容纳物体的体积， 所以一个水箱装满水可以装5L，我们说这个水箱的容积是5L。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查容积的定义。 2．在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）。 A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3 【答案】C 【分析】长方体中割一个最大的正方体，正方体的棱长就是长方体中最短的棱长即2dm，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 故选：C 【点睛】本题考查正方体的体积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 3．小军家有一个棱长5分米的正方体鱼缸（鱼缸厚度不计），爸爸往鱼缸里装水，当水面低于缸口2分米时，爸爸装了（    ）升水。 A．50 B．75 C．90 【答案】B 【分析】首先求出水面的高为（5－2） 分米，再根据长方体的体积（容积 ）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】5×5×（5－2） ＝25×3 ＝75（立方分米） 75立方分米＝ 75升 即爸爸装了75升水。 故答案为：B 4．长方体长5dm、宽4dm、高3dm，它的棱长和与正方体棱长的和相等，正方体的体积是（    ）。 A．120dm3 B．64dm3 C．125dm3 【答案】B 【分析】先计算出长方形的棱长和，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4；正方体的棱长之和＝棱长×12，再除以12计算出正方体的棱长；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，最后计算出正方体的体积；据此解答。 【详解】根据分析： 长方体的棱长和： （5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（dm3） 正方体的棱长：48÷12＝4（dm） 正方体体积：4×4×4＝64（dm3） 所以正方体的体积是64 dm3。 故答案为：B 5．如果长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍、3倍、4倍，则体积扩大到原来的（    ）倍。 A．9 B．12 C．24 【答案】C 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几；可知长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍、3倍、4倍，那么体积就会扩大到原来的（2×3×4）倍。 【详解】2×3×4＝24 如果长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍、3倍、4倍，则体积扩大到原来的24倍。 故答案为：C 【点睛】本题考查长方体的体积公式以及积的变化规律的应用。 二、填空题 6．一个长方体是由24个棱长1厘米的小正方体拼成，从一个方向观察这个长方体最多能同时看到( )个面，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 3 24 【分析】根据观察范围随着观察点、观察角度的变化而变化，从一个方向观察长方体或正方体，最多能看到它的3个面：前面、上（或下）面、一个侧面；小正方体的体积可根据正方体的体积公式求出，长方体是由24个小正方体组合而成，用小正方体的体积乘24，即可求出长方体的体积，据此解答。 【详解】1×1×1×24＝24（立方厘米） 即从一个方向观察这个长方体最多能同时看到3个面，这个长方体的体积是24立方厘米。 【点睛】此题考查了从不同方向观察物体、正方体的体积公式以及立体图形的拼搭。 7．下面是一个长方体平面展开图（单位：厘米）。这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】192 【分析】根据长方体的平面展开图可知，长方体的长是12厘米，宽是4厘米，高是4厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】12×4×4 ＝48×4 ＝192（立方厘米） 【点睛】解答本题的关键是根据长方体的平面展开图确定长方体的长、宽、高的长度，再根据长方体体积公式进行解答。 8．儿童游泳池一般是指1岁以上6岁以下的儿童专用的游泳池，根据儿童的平均身高其深度要在0.6米至1.0米之间。某儿童游泳池长25米，宽18米，泳池中现在有360立方米的水，这个游泳池的水深是( )米，是否符合标准要求( )填“是”或“否”。 【答案】 0.8 是 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷长÷宽，代入数据，求出游泳池中水的深度，再与标准要求的深度进行比较，即可解答。 【详解】360÷25÷18 ＝14.4÷18 ＝0.8（米） 0.6＜0.8＜1.0，符合标准要求。 儿童游泳池一般是指1岁以上6岁以下的儿童专用的游泳池，根据儿童的平均身高其深度要在0.6米至1.0米之间。某儿童游泳池长25米，宽18米，泳池中现在有360立方米的水，这个游泳池的水深是0.8米，是否符合标准要求是。 9．如图，把小正方体摆满长方体空间，还需要用( )个这样的小正方体。 【答案】28 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出要摆满整个长方体盒子共需要多少个这样的小正方体，用共需要的小正方体的个数减去已有的小正方体的个数即可求解。 【详解】4×3×3－8 ＝12×3－8 ＝36－8 ＝28（个） 还需要用28个这样的小正方体。 10．一个正方体礼品盒，棱长2分米，礼品盒的四周和底面用的是硬纸板，做这个礼品盒至少用硬纸板( )平方分米，它的体积是( )立方分米。 【答案】 20 8 【分析】只有礼品盒的四周和底面用的是硬纸板，所以只求正方体5个面的面积，根据无盖的正方体的表面积＝棱长×棱长×5，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答。 【详解】2×2×5＝20（平方分米） 2×2×2＝8（立方分米） 做这个礼品盒至少用硬纸板20平方分米，它的体积是8立方分米。 【点睛】本题主要考查了正方体表面积公式、体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式，主要无盖的正方体表面积只有5个面。 三、计算题 11．计算下面各图形的表面积和体积。 （1）               （2） 【答案】（1）长方体表面积是1140平方米；长方体体积是1800立方米；（2）立体图形表面积是1640平方厘米；立体图形体积是3700立方厘米 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（12×5＋12×30＋30×5）×2即可求出长方体的表面积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用12×30×5即可求出长方体的体积。 （2）观察立体图形可知，立体图形的前（后）面面积＝一个长25厘米、宽20厘米的长方形面积－一个长（25－12）厘米、宽（20－10）厘米的长方形面积，立体图形的上（下）面面积＝一个长25厘米、宽10厘米的长方形面积，立体图形的左（右）面面积＝一个长20厘米、宽10厘米的长方形面积，则用[25×20－（25－12）×（20－10）]×2即可求出前后面的面积和，用25×10×2即可求出上下面的面积和；用20×10×2即可求出左右面的面积和，最后将六个面相加即可；立体图形的体积＝一个长25厘米、宽10厘米、高20厘米的长方体体积－一个长（25－12）厘米、宽10厘米，高（20－10）厘米的长方体体积；根据长方体体积公式，用25×10×20－（25－12）×10×（20－10）即可求出立体图形的体积。 【详解】（1）表面积：（12×5＋12×30＋30×5）×2 ＝（60＋360＋150）×2 ＝570×2 ＝1140（平方米） 体积：12×30×5＝1800（立方米） 长方体的表面积是1140平方米；体积是1800立方米。 （2）[25×20－（25－12）×（20－10）]×2 ＝[25×20－13×10]×2 ＝[500－130]×2 ＝370×2 ＝740（平方厘米） 25×10×2＝500（平方厘米） 20×10×2＝400（平方厘米） 740＋500＋400＝1640（平方厘米） 体积：25×10×20－（25－12）×10×（20－10） ＝25×10×20－13×10×10 ＝5000－1300 ＝3700（立方厘米） 立体图形的表面积是1640平方厘米，体积是3700立方厘米。 四、解答题 12．一个长方体水箱，从里面量长24厘米，宽18厘米，深15厘米。给里面加入10厘米深的水，妙妙把一个土豆放入水中后（土豆完全浸没在水中），水面上升到12.5厘米，土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】1080立方厘米 【分析】根据题意，土豆的体积是水上升的体积，结合长方体的体积公式V＝abh，解答即可。 【详解】24×18×（12.5－10） ＝432×2.5 ＝1080（立方厘米） 答：土豆的体积是1080立方厘米。 13．一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【答案】720毫升 【分析】做成长方体盒子的长是（23－4×2）厘米，宽是（20－4×2）厘米，高是4厘米，根据长方体体积公式，再把体积单位转化为容积单位即可。 【详解】（23－4×2）×（20－4×2）×4 ＝15×12×4 ＝180×4 ＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 答：这个盒子的容积是720毫升。 14．一个长方体，如果高增加2厘米，就会变成一个正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米。这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】看图，将这个长方体变成正方体后，表面积增加的部分是上方小长方体的侧面积。同时，将长方体的高增加2厘米后变成一个正方体，说明长方体的长和宽相等。将48平方厘米除以4，再除以2，求出长方体的长和宽，即正方体的棱长。再根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”列式求出这个正方体的体积即可。 【详解】48÷4÷2＝6（厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 答：这个正方体的体积是216立方厘米。 15．一个长方体水池，长15米，宽6米，深2米。 （1）在它的四周和底面涂上水泥，每平方米用水泥5千克，一共用水泥多少克？ （2）如果将水池注满水，一共能注水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】（1）870000克 （2）180吨 【分析】（1）先求出抹水泥的面积，即求长方体五个面的面积（缺少上面），用长方体的[（长×高＋宽×高）×2＋长×宽]计算，再用五个面的面积乘每平方米用水泥，最后把单位化为克； （2）根据，先求出水池的体积，再把体积转化为容积即可。 【详解】（1）（15×2＋6×2）×2＋15×6 （平方米） 174×5＝870（千克） 870千克＝870000克 答：一共用水泥870000克。 （2）15×6×2 ＝90×2 ＝180（立方米） 180×1＝180（吨） 答：一共能注水180吨。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$