精品解析：天津市武清区梅厂中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

高二数学第一次月考 一、选泽题(每题4分，共36分) 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数的极值点 C. 是函数的极小值点 D. 函数在区间上单调递减 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上有三个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f（x）在R上导函数为，则“=0”是“x0是f（x）的极值点”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每题4分，共24分) 10. 函数的极大值点_______________. 11. 若函数，则__________. 12. __________. 13. 函数无极值，则实数的取值范围是______. 14. 是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为______． 15. 已知函数，则的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________. 三、解答题(每题5分，共60分) 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求曲线在点处的切线方程. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值. 18. 将2个男生和4个女生排成一排： （1）男生不相邻排法有多少种？（列式并用数字作答） （2）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） （3）2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） （4）4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 19. 已知函数，， 若，求函数的极值； 设函数，求函数的单调区间． 20. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学第一次月考 一、选泽题(每题4分，共36分) 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为 , 所以A错误； 因为 , 所以B错误； 因为, 所以C错误； 因为 , 所以D正确. 故选: D. 3. 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是函数极值点 C. 是函数极小值点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】由题意，函数定义域为，则， 当时；当时， 显然的单调递增区间为． 故选：D 5. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 6. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知函数f（x）在R上的导函数为，则“=0”是“x0是f（x）的极值点”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点定义和充分条件、必要条件定义即可判断． 【详解】由极值点的定义，若为的极值点，则有，而由不一定推得为的极值点，例如， 故“”是“是的极值点”的必要不充分条件. 故选：D 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 故选：D 9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 二、填空题(每题4分，共24分) 10. 函数的极大值点_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，解不等式和得出的单调性，即可得出极大值点. 【详解】定义域为， 由，得， 由，得或；，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则 的极大值点为. 故答案为： 11. 若函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算法则先求，再计算即可. 【详解】因为，所以， 得到，解得， 故答案为：. 12. __________. 【答案】120 【解析】 【分析】应用排列数公式整理化简求值即可. 【详解】由. 故答案为： 13. 函数无极值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据题意结合极值分析可知，即可得结果. 【详解】因为，则， 若函数无极值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 是定义域为上奇函数，，当时，有，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据条件确定导数的符号，得到的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】令，则， 故函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 因为， 所以当时，，即， 当时，，即， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 15. 已知函数，则的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值； （2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】由，得， 令，得， 列表如下： 递减 极小值 递增 所以，函数的极小值为； （2），，使得，即，. ①当时，函数单调递增，， ，即； ②当时，函数单调递减，， ，即； ③当时，，不符合题意. 综上：. 故答案为：；. 三、解答题(每题5分，共60分) 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)由题意可得，求出导数，代入计算即可； (2)由(1)可知，从而可得，切线的斜率，用点斜式表示出直线的方程，再化成斜截式即可. 【小问1详解】 解：∵， 因为函数在处取得极值， 所以， 即， 解得；经检验成立 【小问2详解】 解：由（1）知. ∴. ∴，. ∴， ∴所求切线方程为. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为，；递减区间为 （2）最大值59，最小值为-49 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，然后求导，解不等式，得到单调区间； （2）根据函数的单调性求出极值和端点值，比较后确定最值. 【小问1详解】 的定义域为R，且. 解得或，所以递增区间为，； 解得，所以递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，的变化如下表 x -3 （-3，-1） -1 （-1，1） 1 （1，3） 3 + 0 - 0 + -49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 59 所以函数在上的最大值为59，最小值为-49. 18. 将2个男生和4个女生排成一排： （1）男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） （2）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） （3）2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） （4）4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【小问1详解】 先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； 【小问2详解】 先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； 【小问3详解】 6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； 【小问4详解】 先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 19. 已知函数，， 若，求函数的极值； 设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）的定义域为，当时，，利用导数研究函数的极值可知在处取得极小值1．函数没有极大值． （2）由函数的解析式可知，，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， （0,1） 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1,函数没有极大值． （2）， ， ①当时，即时， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以函数在上单调递增． 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 20. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最大值（），即可得解； （3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 依题意，，解得，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时恒成立， 所以在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 因为对任意有恒成立，所以，. . 实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可得：， ， 令，解得或， 所以、、列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值， 且当时，当时， 要满足函数在区间内有3个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$