专题01 数列（五大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项公式 题型03等差数列的前n项和 题型04等比数列的通项公式 题型05等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（23-24高二下·福建福州·期中）数列满足，则的前8项和为（    ） A．-4 B．0 C．4 D．16 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建·期中）数列的第项是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 ) 等差数列的通项公式 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知为递增的等差数列，，则（    ） A．3 B． C．3或5 D．或 5．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的首项，且满足，则 . 6．（23-24高二下·福建福州第二中学·期中）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 8．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（    ） A．是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 9．（23-24高二下·福建莆田·期中）已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． ( 题型0 4 )等比数列的通项公式 11．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·福建泉州·期中）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则 ．    13．（23-24高二下·福建福州金山中学·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 ( 题型0 5 )等比数列的前n项和 14．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列满足①②.则 ；设为的前项和，则 .（结果用指数幂表示） 15．（23-24高二下·福建福州·期中）已知正项数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的前项和． 16．（23-24高二下·福建·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求，； (2)求的通项公式； (3)记，求. 1．（23-24高二下·福建厦门市湖滨中学·期中）在等差数列中，若，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·福建莆田第四中学·期中）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列满足，则 ，的通项公式为 4．（23-24高二下·福建莆田第四中学·期中）已知数列，满足，且，则 . 5．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知是等差数列，，且，，成等比数列． (1)的通项公式； (2)设数列的前项和为，满足，求的最小值． 6．（23-24高二下·福建·期中）已知为等差数列，公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和为． 7．（23-24高二下·福建福州外国语学校·期中）设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件： ①，；    ②； ③． 请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和 ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项公式 题型03等差数列的前n项和 题型04等比数列的通项公式 题型05等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（23-24高二下·福建福州·期中）数列满足，则的前8项和为（    ） A．-4 B．0 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据通项得到，，，，然后求和. 【详解】，，，，， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数列的前项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前项依次为， 即， 所以的一个通项公式为．故B正确； 对A，代入，，故A错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高二下·福建·期中）数列的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的前几项归纳可得其通项公式，从而可得第项. 【详解】由数列可得： ，归纳可得其通项为， 所以第项是. 故选：B. ( 题型0 2 ) 等差数列的通项公式 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知为递增的等差数列，，则（    ） A．3 B． C．3或5 D．或 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质得出方程组即可解题． 【详解】为递增的等差数列，则. 由，得出，，联立方程组，解得. 故选：A. 5．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的首项，且满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，所以. 故答案为： 6．（23-24高二下·福建福州第二中学·期中）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 【答案】81 【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到，然后解方程即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为：81. 8．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（    ） A．是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据等差数列求和公式得到，，即可得到，然后判断数列的单调性即可；CD选项，根据，判断即可. 【详解】因为，则，，所以，公差， 所以数列是递减数列，故A错，B正确； 因为，，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确； 因为，，所以，故D错. 故选：AD. 9．（23-24高二下·福建莆田·期中）已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由递推公式可得为常数列，可得，，由放缩法和裂项相消可得的取值范围，可得结果． 【详解】当时，， ， ，则为常数列， ， ，， 又时，， ， 又易得，即， . 故选：D． 10．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，作差得到，结合等差数列的定义及通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，再结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 则 ， 故，即， 当时，有，即， 故是公差、首项均为的等差数列，故． （2）由（1）得， 故， 则． 因为，故， 又在上单调递减， 故随的增大而增大，故， 综上，． ( 题型0 4 )等比数列的通项公式 11．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质，结合等比数列通项公式可得解. 【详解】由已知数列为等比数列，则，， 则， 则， 所以， 故选：B. 12．（23-24高二下·福建泉州·期中）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则 ．    【答案】 【分析】根据题意分析可得递推公式，再构造数列求解即可. 【详解】为执行第次程序后仍回到点的概率， 要想执行次程序后仍回到点， 则执行第次程序后不在点，而是在或点，且下一次有的概率回到点， 故当大于等于2时，有， 设，对比系数，可得，于是， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 故，即． 故答案为： 13．（23-24高二下·福建福州金山中学·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比，且满足， 所以，则. 故选:A． ( 题型0 5 )等比数列的前n项和 14．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列满足①②.则 ；设为的前项和，则 .（结果用指数幂表示） 【答案】 23 【分析】根据递推公式，依次求和；当为奇数时，令，可得，当为偶数时，令，可得，即可求得数列是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法，即可求解. 【详解】由得得； 当为奇数时，，令，则， 当为偶数时，，令， 则， 则， 当时，，所以是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 则 当为奇数时，由，则， 所以， 当为偶数时，由，则，所以， 所以， 所以， . 故答案为：； 15．（23-24高二下·福建福州·期中）已知正项数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得，所以数列为等比数列； （2）由（1）得，由分组求和法及等比数列求和公式得到. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以． 又，故是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）可得，即． . 所以的前项和为. 16．（23-24高二下·福建·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求，； (2)求的通项公式； (3)记，求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）根据，令，即可求得，的值； （2）跟据与的关系，采用相减法确定的递推关系式，从而用累乘法可得通项公式，或者转化为常数列求解通项公式即可； （3）采用并项的思想求解，转而利用错位相减法求和即可；或者分奇偶组，两次采用错位相减法求和亦可得结论. 【详解】（1）令： 即     ， 令： ， ， （2）法一：解：……①；当时，……②， ①②得：； ，，， … ，符合上式      的通项公式为； 法二：解：——①，当时，——②， ①②得：， ， ，                  为常数列，， 的通项公式为 （3）法一：  ，，， ，       ， 设， …………③，      ………④， ③④得：   ，                                              综上； 法二：解：，， ， ……………③          …………④ ③④得：    ，     ，                …………⑤         …………⑥ ⑤⑥得：         ， . 1．（23-24高二下·福建厦门市湖滨中学·期中）在等差数列中，若，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·福建莆田第四中学·期中）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，且，通过计算得到数列是以3为周期的周期数列，即可求出结果. 【详解】因为数列满足，且， 所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以， 故选：B. 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列满足，则 ，的通项公式为 【答案】 7 （也可以填：或者) 【分析】第一空，利用赋值法令求，再令求；第二空，方法一：由递推公式退位作差，得到隔项之间的关系即，得到奇数项和偶数项分别为等差数列，分别求通项公式，进而得到数列的通项公式；方法二：构造新数列为等比数列，由等比数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】令得，由得，令得，由得； 方法一：由①得②，②①得， 又由，当为奇数时，， 由，当为偶数时，， 所以； 方法二：因为，所以， 又因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； 故答案为：7；（也可以填：或者) 4．（23-24高二下·福建莆田第四中学·期中）已知数列，满足，且，则 . 【答案】24 【分析】由递推关系求出即可求解. 【详解】，且， 当，，所以； 故的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 故，则. 故答案为：24. 5．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知是等差数列，，且，，成等比数列． (1)的通项公式； (2)设数列的前项和为，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项的性质求出，设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，再解不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为，，成等比数列， 所以，解得， 设等差数列的公差为，则， 所以. （2）由（1）可得， 所以 ， 由，则，解得， 又为正整数，所以的最小值为. 6．（23-24高二下·福建·期中）已知为等差数列，公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和为． 【答案】(1)； (2)= 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差数列的公差求解数列的首项，即可得通项公式； （2）根据裂项相消法求解数列的前项和为即可. 【详解】（1）依题意， 又成等比数列，所以， 即 ，  解， 所以           ∴的通项公式为 （2）， 所以           则                 ∴的前项和= 7．（23-24高二下·福建福州外国语学校·期中）设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件： ①，；    ②； ③． 请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和 ． 【答案】(1)所选条件见解析， (2) 【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解； （2）用错位相减求和. 【详解】（1）选①：由得： ， 所以， 又因为，因此数列为等比数列， 设数列的公比为，则，由， 解得或（舍去）， 所以；                                                选②：因为， 当时，，又， 所以，即，所以， 所以当时，， 两式相减得， 即， 所以数列是，公比为2的等比数列， 所以； 选③：因为， 当时，， 所以，即， 当时，， 两式相减，得， 即， 当时，满足上式． 所以； （2） 设数列的前项和， 故， 两式相减得：， 化简得，． 故数列的前项和. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$