抢分秘籍06 全等三角形中常见的基本模型（六大模型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）

抢分秘籍06 全等三角形中常见的基本模型 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】一线三等角模型 【题型二】手拉手模型-旋转型全等 【题型三】倍长中线模型 【题型四】截长补短模型 【题型五】十字架模型 【题型六】半角模型 ：全等三角形中常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，手拉手、一线三等角、半角模型高频，常涉对应边/角相等、几何变换，多在几何综合题中出现。 2．从题型角度看，以解答题的最后三题题为主，造模型证全等，压轴题常结合动点、多模型综合。分值10-12分左右，着实不少！ ：熟记模型特征及辅助线（如倍长中线、截长补短），针对不同题型专项训练，总结模型应用规律。 【题型一】一线三等角模型 【例1】（2025·四川南充·一模）如图，在四边形中，，点是边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 类型 图示 条件 结论 同侧一线三等 角 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 异侧一线三等 扇 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3， 且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 【例2】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【变式1】（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【变式2】（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【变式3】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【题型二】手拉手模型-旋转型全等 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，猜想：和的位置关系 ；数量关系： ，并给出证明过程． (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，则线段＝ ； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为 ． 图示 OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 【例2】（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究 问题情境：在研究旋转问题时，卓越小组的同学使用了两个全等的直角三角形展开探究．如图1，将两个三角形点A重合放置，，，．将固定，绕点A旋转． 猜想证明：（1）如图2，当点D落在边上时，连接，试猜想与的位置关系，并进行证明． 问题拓展：（2）如图3，当点D落在边上时，过点D作，过点E作，与交于点F，连接，求的长． 深入探究：（3）在绕点A旋转的过程中，直线与直线交于点M，N，直线与直线交于点P，当时，请直接写出四边形的面积． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·一模）在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接． 推理证明： （）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程； 探究问题： （）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明； 拓展思考： （）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________． 图①                  图②                       图③ 【变式2】（2025·广西·一模）【经典回顾】 （1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值． 【变式3】（2025·广东深圳·一模）【问题发现】 （1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由． 【类比探究】 （2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长． 【题型三】倍长中线模型 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 【例2】（2024·甘肃白银·一模）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 【变式1】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【变式2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【题型四】截长补短模型 【例1】（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数. 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论. 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值. 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 【例2】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，在正方形中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接并取其中点G，连接、． (1)如图1，若的顶点E在线段上，则和的关系______； (2)如图2，若的顶点E在线段上时，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由； (3)若的顶点E在内，如图3位置所示，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由． 【题型五】十字架模型 【例1】（2025·广东清远·一模）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 【例2】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． 【题型六】半角模型 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2 【例2】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【变式1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍06 全等三角形中常见的基本模型 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】一线三等角模型 【题型二】手拉手模型-旋转型全等 【题型三】倍长中线模型 【题型四】截长补短模型 【题型五】十字架模型 【题型六】半角模型 ：全等三角形中常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，手拉手、一线三等角、半角模型高频，常涉对应边/角相等、几何变换，多在几何综合题中出现。 2．从题型角度看，以解答题的最后三题题为主，造模型证全等，压轴题常结合动点、多模型综合。分值10-12分左右，着实不少！ ：熟记模型特征及辅助线（如倍长中线、截长补短），针对不同题型专项训练，总结模型应用规律。 【题型一】一线三等角模型 【例1】（2025·四川南充·一模）如图，在四边形中，，点是边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次根式的化简等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据勾股定理可得，再根据全等三角形的性质可得，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 类型 图示 条件 结论 同侧一线三等 角 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 异侧一线三等 扇 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3， 且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 【例2】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，则，由，得 由 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴，相似比为 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 【变式1】（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，    取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，    在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3，    ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、公式法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）证明，则，，即可得到结论； （2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可； （3）延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形， ． ， ， 又， ∵， ∴， ， ，， ． 故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ． 为等边三角形， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 设，则，， ， 解得（负值已舍去）． ∴， 过点M作于点D， 在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则， 连接交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得，（舍去）， ． ， ， ， ∴． 【变式3】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 【题型二】手拉手模型-旋转型全等 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，猜想：和的位置关系 ；数量关系： ，并给出证明过程． (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，则线段＝ ； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、点与圆上一点的最值问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（ 1）利用，证明，得，． （2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案． （3）连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴，． 如图，延长与相交于H， 在中， ∴ ∴ 即． （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可得的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明是解题的关键． 图示 OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 【例2】（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究 问题情境：在研究旋转问题时，卓越小组的同学使用了两个全等的直角三角形展开探究．如图1，将两个三角形点A重合放置，，，．将固定，绕点A旋转． 猜想证明：（1）如图2，当点D落在边上时，连接，试猜想与的位置关系，并进行证明． 问题拓展：（2）如图3，当点D落在边上时，过点D作，过点E作，与交于点F，连接，求的长． 深入探究：（3）在绕点A旋转的过程中，直线与直线交于点M，N，直线与直线交于点P，当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）3；（3）或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质知，从而得； （2）先证明四边形是矩形，再证明即可得； （3）分两种情况：在上方时平行；在下方时平行，即可求得四边形的面积． 【详解】解：（1）； 证明如下： 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴四边形是矩形； ∴； 由旋转知，，， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴； ∵，，， ∴； 当在上方与之平行时，如图； 则，， 由旋转得， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即点P是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在下方与之平行时，如图， 与前一情况相同，点P是的中点，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数等知识，有一定的综合性，注意分类讨论思想的应用． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·一模）在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接． 推理证明： （）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程； 探究问题： （）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明； 拓展思考： （）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________． 图①                  图②                       图③ 【答案】（）证明见解析；（）图②中，；图③中，；（）或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】（）连接，交于，可证，得到，即得，由可得，即可求证； （）如图②，连接，同理（）可证，得，即得，由可得即可求解；如图③，连接，同理可求解； （）由已知可得点在线段上，再根据图①和图②解答即可求解． 【详解】（）证明：连接，交于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）如图②，，理由如下： 连接， 同理（）可证， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图③，，理由如下： 连接， 同理（）可证， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴点在线段上， 如图①，当点在菱形内部或边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在菱形外部时，如图②， 同理可得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025·广西·一模）【经典回顾】 （1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）结合等边三角形的性质证明，从而可得结论； （2）由（1）知，可得，，结合和的中位线，可得，，，，再进一步求解即可； （3）由（2）可知，，可得，可得当最大时，最大，再进一步求解即可； 【详解】解：（1），为等边三角形， ，，， ， 即， ； （2）且； 证明：由（1）知， ，， ， 点，，分别为，，的中点， ，分别是和的中位线， ∴，，，， . ，，， 在和中，， ∵， ， ， ∵， ， ； （3）由（2）可知，， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大. 在绕点旋转时，， 当点恰好在的延长线上时最长，最大长度为， 的最大值. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，旋转的性质，熟练的掌握基础几何图形的性质是解本题的关键. 【变式3】（2025·广东深圳·一模）【问题发现】 （1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由． 【类比探究】 （2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）或． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】（1）可证明，从而，进一步得出结论； （2）作于，可依次求得，，，解直角三角形求得，，可证明，从而，从而得出； （3）分为两种情形：当在上时，连接，交于，作，交的延长线于，可证得，，从而得出，从而，可推出，从而，从而得出，设，，可求得，从而，从而得出，根据勾股定理得，得出，进而得出结果；当在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】解：（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 故答案为：； （2）如图2，作于，     四边形是矩形， ， ，， ， 由得，， ， ， 在中，，， ， ， 矩形矩形， ，， ， ， ， ； （3）如图3，当在上时，连接，交于，作，交的延长线于， 四边形是菱形， ，， 菱形菱形， ，，， ， ， 平分， ， ； ，， ， ， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 设，， 如图4，过I作于M，      ∵，，， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∴； 如图5，当在的延长线上时，      由上可知：， ， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，构造直角三角形． 【题型三】倍长中线模型 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、确定第三边的取值范围、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解； （3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE， ∵是中线， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）延长至点F，使， 同（1）可证， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“燕尾”四边形的面积为， 故答案为：8． 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 【例2】（2024·甘肃白银·一模）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 【答案】（1），；（2），理由见详解；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证，得，，再由平行线的判定得即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论； （3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：为边的中点， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图2，延长至点，使，连接，   为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ； （3）解：延长至使得，连接，     为边的中点， ， ，， ， ，， ， 在中，，，，D为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ∴，     ， ∴， ，即， ∴． 【变式1】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用SAS证明三角形全等（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 【变式2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、二次根式的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得． 【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． ②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图，延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）∵等腰中，，， ∴， ∵． 则分以下两种情况： ①如图，当在点的右侧时， ∴， 由（2）已证：， ∴； ②如图，当在点的左侧时， 延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上，的长度为或． 【题型四】截长补短模型 【例1】（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数. 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论. 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值. 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 【例2】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）；  （2）；理由见解析 （3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明思路可得答案； （2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，证明，即可解答； （3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，结合（2）中的结论，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 在中，， ； （3）正方形的边长为， ， ． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，在正方形中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接并取其中点G，连接、． (1)如图1，若的顶点E在线段上，则和的关系______； (2)如图2，若的顶点E在线段上时，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由； (3)若的顶点E在内，如图3位置所示，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析； (3)成立，证明见解析； 【知识点】根据正方形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题 【分析】本题是四边形综合题目， （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出；再证明，得出； （2）延长至，使，连接，，，先证，得，，再证，得，，然后证为等腰直角三角形，即可解决问题． （3）先证明，得出，再证明，得出，，得出，证出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，为的中点， ， ∴， 同理：，， ∴， 四边形是正方形， ，， ∵，， ， ； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 延长至，使，连接，，，如图②所示： 在与中， ， ， ，， 在正方形中，，， ，， ，是等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， （3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： 过作的平行线并延长交于点，连接、，过作于，如图③所示： ， 在与中， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 为中点， ，． 【点睛】本题涉及了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，利用倍长中线构造三角形全等，两次证明三角形全等是解决问题的关键． 【题型五】十字架模型 【例1】（2025·广东清远·一模）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． （1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周长； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 【例2】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，如图所示，由矩形性质得到相关角度与边长，由三角形全等的判定得到即可得到答案； （2）过点作交的延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定确定，再由三角形相似的判定得到，从而得证； （3）由矩形的性质得到相关角度与边长关系，再由矩形性质与三角形相似的判定得到，再由相似比求出，过点作交于点，如图所示，先判定，再由相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， 证明如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 则， 在正方形中，， 四边形，四边形是矩形， ∴， 设交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：在矩形中，，， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： 此时，点在上，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 过点作交于点，如图所示： ，， ，， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义、直角三角形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形及矩形性质、灵活运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求解是解决问题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，证明结论； （4）过点作于点，连接交于点，与相交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ∴，即， （2）设与交于点，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， （3）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，， 又∵， ， ， ， ， ， ； （4）∵将沿翻折，点落在点处得， ∴， ∴垂直平分， 过点作于点，连接交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，即，设，则， ， ， 或（线段长的负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 【题型六】半角模型 【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要利用旋转和全等三角形的性质来解决线段之间的数量关系，通过旋转将分散的角和线段转换为可以利用全等三角形性质的图形，从而找到线段之间的关系． （1）根据旋转的性质，绕点D逆时针旋转得到，因此．由于，旋转后也等于，根据全等条件，，从而得出． （2）在上取一点G，使得，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，设，根据勾股定理再中解方程得出 （3）在上截图，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，根据线段关系得出的周长为． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）如图 在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上截取， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的周长． 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2 【例2】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 【变式1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$