精品解析：湖北省十堰市房县第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024—2025学年高二（上）学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. “两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为正数 B. -2025是中的项 C. 是递减的等差数列 D. 的最大值是26 10. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线斜率为 11. 在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ） A. 若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B. 沿正方体表面从点到点的最短距离为 C. 若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则 D. 三棱锥外接球的半径为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若、、共面，则_____. 13. 已知曲线与直线有两个相异交点，那么实数b的取值范围是________. 14. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和. 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 17. 如图（1），在平面四边形中，，，，，过点作，垂足为.如图（2），将沿折起，使得点到达点处，且. （1）证明：. （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，斜率成等差数列. 19. 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于． （1）分别判断数集与是否具有性质 （2）证明：，且 （3）当时，若，若数集具有性质，求数集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高二（上）学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出其焦点坐标. 【详解】抛物线化为：，其焦点坐标为. 故选：C 2. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，由题意，故为等比数列，可得，进而可得. 【详解】由得，又， 故数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 故，得，故， 故选：C 3. “两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项和向量共的坐标表示，结合条件及充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若向量与共线，则有，当， 显然有与共线，此时，，不是等比数列， 即“两个向量与共线”推不出“，，成等比数列”， 若，，成等比数列，则有，此时两个向量与共线， 即“，，成等比数列”可以推出“两个向量与共线”， 所以“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 点可以向圆引两条切线，则k取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程表示圆及点圆外构造不等式求解即可； 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：， 解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 故选：C 5. 已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 7. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可. 【详解】解析：按照规律有，，，，，，，，， A、C错；， 则，B对； ， D错． 故选：B 8. 在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为正数 B. -2025是中的项 C. 是递减的等差数列 D. 的最大值是26 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题可先根据已知条件判断数列的类型，再求出数列的首项、通项公式和前项和公式，最后据此逐一分析选项. 【详解】已知，移项可得. 根据等差数列的定义：可知数列是公差的等差数列，且公差为负，所以是递减的等差数列，故C选项正确. 根据等差数列通项公式，可得， 已知，将，代入可得： ，即. 把代入，可得， ，，解得，首项为正数，故A选项正确. 由等差数列通项公式，把，代入可得： . 令，则，解得， 所以不是中的项，故B选项错误. 令，则，解得. 因为，所以当时，还大于，当时，. 根据等差数列前项和公式，可得，即的最大值是26，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，，抛物线，焦点，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义，，所以， 当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确； 对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ） A. 若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 C. 若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可证明平面，点到平面的距离为定值，可判断A正确，将正方体展开再利用勾股定理计算可得B正确，根据平面与平面间夹角的定义可分别计算出各夹角的正弦值，可知C错误，找出三棱锥外接球的球心位置，再根据线面垂直关系以及勾股定理即可计算出外接球的半径，可知D正确. 【详解】对于A，连接交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，直接展开如下图： 此时，其余展开方式均大于，故B正确． 对于C，取的中点，连接，如下图： 则，，所以，所以平面就是平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，平面，所以， 所以为二角面的平面角，为二面角的平面角， ，， 所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为， 与前后两个平面所成二面角的正弦值为， 与左右两个平面所成二面角的正弦值为， 所以，故C错误； 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可证， 由选项A可知，所以，， 因为，平面，所以平面， 设为等边三角形的外心，如下图所示： 则， 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上， 设球心为，连接，过作于， 则，， 设三棱锥外接球的半径为，则， 设，则， 因为， 所以， 解得，，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于确定出三棱锥外接球的球心位置，再根据线面垂直关系以及勾股定理得到等量关系解方程，即可计算出外接球的半径. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若、、共面，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 13. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出曲线，数形结合求出直线与曲线有两个交点的范围. 【详解】依题意，， 则曲线表示为圆心，1为半径在直线及上方的半圆，如图： 当直线为曲线的切线时，，，解得，令切线为， 当直线过点时，它还过点，且这两点都在曲线上，此时，令此直线为， 当直线在直线与之间（不含，含）平行移动时，它与曲线始终有两个交点， 当直线由向右平移时，该直线与曲线最多一个交点， 所以实数b的取值范围是. 故答案为： 14. 已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】由题设易得，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得；（2）根据分组法求前项和. 【小问1详解】 当时，得， 当时，，得， 故数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 故. 【小问2详解】 由（1）可知 当为奇数时，， 故 ， 故. 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 17. 如图（1），在平面四边形中，，，，，过点作，垂足为.如图（2），将沿折起，使得点到达点处，且. （1）证明：. （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面可得； （2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【小问1详解】 由题意得，又． 为平面内两条相交直线， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，又有公共边， 所以与全等， 所以，， 如图，连接，则． 因为，，平面PCE， 所以平面． 因为平面，所以． 【小问2详解】 由（1）知平面，且平面BCDE， 所以，．又， 所以两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系， 如下图，过作， 由（1）知为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以，即， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数和，进而可求出椭圆的方程； （2）设定点，通过几何关系和代数计算判断是否存在定点，并求出其坐标； （3）设，直线，，的斜率成等差数列，只需证，通过直线与椭圆的联立，经过代数运算之后，可得结论. 【小问1详解】 ∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. 【小问3详解】 证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 19. 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于． （1）分别判断数集与是否具有性质 （2）证明：，且 （3）当时，若，若数集具有性质，求数集． 【答案】（1）数集不具有性质，具有性质. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义直接判断． （2）由已知得与中至少有一个属于，从而得到；再由，得到，3，，．由具有性质可知，2，3，，，由此能证明，且． （3）根据（2），只要证明即可求得集合． 【小问1详解】 由于与均不属于数集，3，， 所以数集，3，不具有性质． 由于，，，，，，，，，都属于数集，2，3，， 所以数集，2，3，具有性质． 【小问2详解】 数集具有性质，则与中至少有以一个属于，由于，所以，所以，从而，即，即 ，所以 由数集具有性质，得 从而 【小问3详解】 由（2）知，当时， 有，，即， ，，， 由具有性质可知． 由，得， 且，， 即，，，， 是首项为1，公比为等比数列， 即有集合，2，4，8，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$