专题02 等差数列中Sn的最值与绝对值问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题02 等差数列中Sn的最值与绝对值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 等差数列中Sn的最大值问题】 2 【题型二 等差数列中Sn的最小值问题】 3 【题型三 等差数列绝对值求和问题】 3 【压轴能力测评（11题）】 4 一、等差数列的通项公式和前n项和公式 1、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 注：数列是等差数列⇔（为常数）． 二、等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 三、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 【题型一 等差数列中Sn的最大值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（    ） A．98 B．50 C．49 D．7 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，则当取最大值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）数列的前项和为，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30 C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30 【题型二 等差数列中Sn的最小值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知等差数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）设等差数列的前项和为，且满足，则当取得最小值时，的值为（    ） A．10 B．12 C．15 D．24 4．（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为 ． 6．（23-24高二下·北京海淀·期中）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 . 【题型三 等差数列绝对值求和问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 3．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若，求数列的前项和. 4．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 5．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．15或16 2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为或 3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 4．（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（    ）时，最大. A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 5．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（    ） A．数列是递减数列； B．数列是递减数列； C．数列的最大项是； D．数列的最小的正数是. 7．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2024 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 8．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．仅有为的最小值 C． D． 三、解答题 9．（2024·宁夏银川·模拟预测）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求的值. 10．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 11．（24-25高二上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等差数列中Sn的最值与绝对值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 等差数列中Sn的最大值问题】 2 【题型二 等差数列中Sn的最小值问题】 4 【题型三 等差数列绝对值求和问题】 7 【压轴能力测评（11题）】 11 一、等差数列的通项公式和前n项和公式 1、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 注：数列是等差数列⇔（为常数）． 二、等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 三、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 【题型一 等差数列中Sn的最大值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（    ） A．98 B．50 C．49 D．7 【答案】C 【分析】根据已知及等差数列通项公式求公差，再写出前n项和的通项公式，即可得其最大值. 【详解】令数列公差为，则，可得， 所以，则， 显然时最大是. 故选：C 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 由； 由. 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【分析】先推出，再利用的正负性得到答案. 【详解】由于，，故，即. 这意味着，得. 这表明当时，有，而当时，有. 所以对有，对有，这就意味着在时最大. 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，则当取最大值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由首项为正，两个和乘积小于0得出公差小于0，数列递减，然后确定公差与首项的关系，再得出数列正负分隔的项后可得和最大时值． 【详解】是等差数列，，而，所以，是递减数列， ， 所以， ，， 所以中最大，即所求， 故选：A． 5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）数列的前项和为，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30 C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30 【答案】B 【分析】根据与的关系，可得，可知为等差数列，根据其单调性可解. 【详解】根据题意，， 当时，， 两式相减得：， 即，所以数列为以首项，为公差的单调递减等差数列， 则，所以， 可知存在最大值，为. 故选：B 【题型二 等差数列中Sn的最小值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知等差数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，求出，即可得到等差数列的通项公式，再由通项公式可得，，从而得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，且， 则，解得，数列为递增数列， 则， 令，即，解得， 则，，所以时，取得最小值. 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式以及通项的性质，即可得出结果. 【详解】由题知，设等差数列公差为， 因为，所以， 则由，得， 又，得， 所以， 则当取得最小值时，. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）设等差数列的前项和为，且满足，则当取得最小值时，的值为（    ） A．10 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】根据前项和的定义结合等差数列性质可得，进而分析数列的符号性，即可得结果. 【详解】因为，则， 又因为数列为等差数列，则， 可得，即， 且，可知， 即当时，；当时，； 所以当取得最小值时，的值为12. 故选：B. 4．（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】利用等差数列求和公式可化简已知不等式得到数列为递增的等差数列；结合可确定当且时，，当且时，，由此可得结论. 【详解】由得：，即， 数列为递增的等差数列， ，，， 当且时，；当且时，； 有最小值，最小值为. 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为 ． 【答案】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 6．（23-24高二下·北京海淀·期中）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 . 【答案】11 【分析】由前n项和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值. 【详解】因为，当时取到最小值， 所以，所以， 因为，所以，即，所以. ，则，因为， 所以，解之得：,因为，所以n的最小值为11. 故答案为：11. 【题型三 等差数列绝对值求和问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【答案】(1)，当取得最小值时，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）根据递推式及的关系得，结合等差数列的定义证明结论； （2）根据（1）得，易知时，时，结合等差数列的前项和及分组求和求和. 【详解】（1）当时，，解得， 因为①，所以②， ①②得， 所以，化简得， 因为，所以， 所以以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知，则，令，得， 即时，时，则， . 3．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解， （2）根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以数列的通项公式为， 数列的前项和. （2）由得，所以当时，，； 由得，所以当时，，. 所以，当时，； 当时， . 所以，. 4．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求出是首项为，公比为2的等比数列，得到通项公式； （2）求出，设的前项和为，分和两种情况，结合等差数列求和公式求出答案. 【详解】（1）①， 当时，， ∴． 当时，②， 式子①-②得， 故， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列， ∴； （2）由（1）可得，， 设的前项和为， 当时，，故， 当时，，故 ， 故 5．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累加法结合等差数列的求和公式可得； （2）分和两种情况利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．15或16 【答案】D 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由， 由， 所以数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：D. 2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为或 【答案】D 【分析】AB选项，先根据题目条件得到，从而，，AB错误；C选项，由得到C错误；D选项，得到当时，，，当时，，故D正确. 【详解】AB选项，因为，所以， 因为数列是以为公差的等差数列，所以， 故，解得， 又，所以，，AB错误； C选项，，故C错误； D选项，由于，，，故当时，， 当时，，故的最大值为或，D正确. 故选：D 3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式与等差数列的下标和性质，得到等差数列中的项的正负情况，从而得解. 【详解】因为等差数列的前项和为，设等差数列为， 由，得，则， 由，得，则， 所以，故， 则数列的前项为负数，从第项开始的项都是正数， 因此当时，最小. 故选：B. 4．（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（    ）时，最大. A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质分析可得且，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，等差数列中，若，， 则有， 所以， 同时，即， 必有且， 故当时，最大． 故选： 5．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设数列的首项为，公差为，根据题意求得，再由，得到，得出数列为递减数列，再结合，即可求解. 【详解】设数列的首项为，公差为， 由，可得， 又由，可得， 因为，所以，所以， 可得等差数列为递减数列， 又因为，所以， 故等差数列的前项和最大值为. 故选；A. 二、多选题 6．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（    ） A．数列是递减数列； B．数列是递减数列； C．数列的最大项是； D．数列的最小的正数是. 【答案】ACD 【分析】结合题意，数列是递减数列，且判断A， ，开口向下，数列先增后减可判断B，再根据，得，，故数列的最大项是判断C，最后根据，判断D. 【详解】等差数列的前项和能取到最大值， 数列是递减数列，且，故A正确； ， ，数列先增后减，故B错误； 由，，得，， 数列的最大项是，故C正确； 由，，得数列的最小的正数是，故D正确． 故选：ACD． 7．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2024 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 【答案】ACD 【分析】，，，然后根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式逐一判断即可. 【详解】， ， ， 所以，故A正确； ，所以B错误； 等差数列前项均大于，从项开始均小于，所以为的最大项，所以C正确； ， ，所以D正确； 故选：ACD 8．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．仅有为的最小值 C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，利用求出通项公式；B选项，当时，，，当时，，故B错误；C选项，利用等差数列求和公式得到C正确；D选项，先求出，结合C得到答案. 【详解】A选项，中，当时，， 当时，， 显然满足，故，A正确； B选项，因为当时，，，当时，， 故为的最大值，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，， ， 由C知，，故，D错误. 故选：AC 三、解答题 9．（2024·宁夏银川·模拟预测）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据已知条件求得公差，由此求得. （2）先判断的符号，根据等差数列前项和公式求得正确答案. 【详解】（1），，， 又，，成等比数列，所以， 化简得，解得或，又，所以， 可得数列的通项公式； （2）由（1）得，由，得， 由，得，设数列的前n项和为， 所以 ， 所以. 10．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出，进而可求出公比，即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 因为与的等比中项为2，所以， 则，解得（舍去）， 所以，所以（舍去） 所以； （2）由（1）得， 令，则， 令，则， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 11．（24-25高二上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$