精品解析：上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上大附中高二下学期期中考试数学试卷 试卷满分 150 分， 答题时间: 120 分钟 2025.4.9 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，1~6 题每题 4 分，7~12 题每题 5 分） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________. 2. 若正数数列 等比数列，则正数 _____. 3. 已知为正整数．若，则______． 4. 计算_____. 5. 若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 6. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____. ① 有 2 个驻点 ② 处取得极小值 ③ 有极大值，没有极小值 ④ 在上严格增 7. 是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 8. 已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 9. 已知数列的前n项和为，且，，则_________. 10. 有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________． 11. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 12. 已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________． 二、单选题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分） 13. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 14. 已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 15. 直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ） A. 60 条 B. 66 条 C. 72 条 D. 78 条 16. 在数列中，，，.对于命题： ①存在，对于任意的正整数，都有. ②对于任意和任意正整数，都有. 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②也是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②也是假命题 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+18+18=78 分） 17. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求值： （2）求的单调增区间． 18. 已知抛物线 经过点 . （1）求 的值和抛物线 的准线方程； （2）已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 19. 在数列中，， . （1）证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； （2）若 ，记数列的前项和，求以及. 20. 如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . （1）求证: ； （2）求点到平面的距离 ； （3）求平面与平面所成的二面角大小； 21. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，直线与双曲线右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上大附中高二下学期期中考试数学试卷 试卷满分 150 分， 答题时间: 120 分钟 2025.4.9 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，1~6 题每题 4 分，7~12 题每题 5 分） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角. 【详解】因为直线的方程为， 所以直线的斜率1， 令直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故答案为：. 2. 若正数数列 是等比数列，则正数 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项定义，可求得的值. 【详解】由题，可得，又， . 故答案为：4. 3. 已知为正整数．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式求解 【详解】由得,则, 故答案为： 4. 计算_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算. 【详解】由无穷等比数列的求和公式可得. 故答案：. 5. 若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 【答案】10 【解析】 【分析】由题可得，然后由二项展开式通项公式可得答案. 【详解】因二项式 的展开式共有 6 项，则， 则展开式第项满足：，令，则系数为. 故答案为： 6. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____. ① 有 2 个驻点 ② 在处取得极小值 ③ 有极大值，没有极小值 ④ 在上严格增 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象，确定驻点，函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解. 详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①③④正确，②错误. 故答案为：①③④. 7. 是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【答案】10 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解. 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 8. 已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 9. 已知数列的前n项和为，且，，则_________. 【答案】97 【解析】 【分析】由已知得出，然后由累加法求解． 【详解】∵，，∴， ∴，∴. 故答案为：97 10. 有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解. 【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式， 恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式， 由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为， 故答案为：. 11. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论． 【详解】依题意，，， 因为，所以， 所以，所以， 令，则，且， 由，得，所以， 所以， 当且仅当，共线同向且，共线时等号成立. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论． 二、单选题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分） 13. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 14. 已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：D. 15. 直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ） A. 60 条 B. 66 条 C. 72 条 D. 78 条 【答案】D 【解析】 【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案. 【详解】因，，则公共点为： ，共12个. 若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条； 若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条. 则这样的直线有78 条. 故选：D 16. 在数列中，，，.对于命题： ①存在，对于任意的正整数，都有. ②对于任意和任意的正整数，都有. 下列判断正确是（ ） A. ①是真命题，②也是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②也是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对①，直接令判断即可； 对②，利用反证法，先设数列中第一项满足的项为，再推导的大小推出矛盾即可； 【详解】对①，当时，易得，，，，，…故数列为2，2，1循环.所以对于任意的正整数，都有成立，故①正确； 对②，对于任意，有，，，，设数列中第一项满足的项为，则，此时易得，又，且由题意，恒成立，故，即数列中所有项都满足，故，因为，与矛盾，故对于任意和任意的正整数，都有. 故选：A 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+18+18=78 分） 17. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值： （2）求的单调增区间． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值. （2）由（1）求出导函数大于0的不等式的解集即可得解. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在点处的切线与平行，得 即，解得，此时，点不在直线上， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为，， 由，即，解得， 所以的单调增区间是. 18. 已知抛物线 经过点 . （1）求 的值和抛物线 的准线方程； （2）已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）代入，求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【小问1详解】 解：代入 ， 得解得， 所以准线方程是； 【小问2详解】 解：由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 19. 在数列中，， . （1）证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； （2）若 ，记数列的前项和，求以及. 【答案】（1）证明见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 由对正整数恒成立， 所以. 是以为首项，1为公差的等差数列， ，. 【小问2详解】 由（1）知，， . . 20. 如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . （1）求证: ； （2）求点到平面的距离 ； （3）求平面与平面所成的二面角大小； 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由直线方向向量的共线即可证明； （2）由点到平面距离的向量公式即可求解. （3）先求得平面法向量，利用向量夹角的向量公式计算即可. 【小问1详解】 由于平面，，建立如图所示空间直角坐标系， 由，得， 则，，，，， 设点， 由，得， 解得，即， 所以，， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的二面角大小为或. 21. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． 【小问2详解】 如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $