专题8.6 双曲线的方程与性质【8个题型】讲义-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题8.6双曲线的方程与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求双曲线的轨迹方程】 知识讲解 1. 定义：平面内，动点到两定点距离之差的绝对值为常数（小于）的轨迹是双曲线。设动点，（） 。 2. 标准方程： · 焦点在轴：，。 · 焦点在轴： 。 3. 性质： · 范围：中，或；中，或 。 · 对称性：关于轴、轴、原点对称。 · 渐近线：焦点在轴，；焦点在轴，。 解题思路 1. 定义法：若条件符合双曲线定义，直接求、得方程。如，，，，，，，方程为 。 2. 待定系数法：先判焦点位置设方程，不确定时设，再依条件列方程组求参数。如渐近线，设，将点代入得，方程为 。 3. 相关点法（代入法）：动点与已知曲线动点有关联，找出关系后代入已知曲线方程。如，设，，得，，代入双曲线得 。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线; 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的双曲线， 其方程为； 【例题2】（2025·山西太原·一模）已知圆，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； 【详解】（1）设是的中点，，连接，， 由题意可得且， 所以， 故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支曲线， 则，所以，， 所以曲线的方程为． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【答案】 【分析】 利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案. 【详解】 由题意可知，点在线段的垂直平分线上， 所以， 又点是圆上一动点， 所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得， 所以的轨迹的方程为． 相似练习 【相似题1】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； 【详解】（1） 为的垂直平分线上一点，则. . 点的轨迹为以为焦点的双曲线，且 故点的轨迹方程为. 【相似题2】（2025·山东聊城·一模）已知圆，圆，动圆与、都外切. (1)求圆心的轨迹方程； 【详解】（1）设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆、圆都外切，则，， 所以，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的标准方程为，则，可得，，则， 所以，， 所以，圆心的轨迹方程为. 【相似题3】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，直线，动点到直线的距离为，且. (1)求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； 【详解】（1）设点， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即，整理得. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线. 【题型2：基本量求双曲线的标准方程】 知识讲解 1. 双曲线基本量的概念 焦点：双曲线有两个焦点，设为，两焦点间的距离（），叫做半焦距。 实半轴长：用表示（），在双曲线的定义中，平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数$2a$（）。 虚半轴长：用表示（），且满足。 2. 双曲线的标准方程形式 焦点在轴上： 标准方程为（）。此时双曲线的焦点坐标为，。 例如，当，时，因为，所以，双曲线方程为，焦点坐标为和。 焦点在轴上： 标准方程为（）。此时双曲线的焦点坐标为，。 例如，若，，则，，双曲线方程为，焦点坐标为和。 3. 根据基本量求双曲线标准方程的步骤 第一步：判断焦点位置 若已知焦点坐标，焦点在轴上时焦点坐标为；焦点在轴上时焦点坐标为。 若题目中未明确焦点位置，可根据条件判断，如已知双曲线过的点的坐标特征等。若无法确定焦点位置，可设双曲线方程为。 第二步：确定，的值 若已知，的值，可直接代入相应的标准方程。 若已知，的值，根据，可求出。 若已知其他条件，如渐近线方程、双曲线上的点的坐标等，结合以及双曲线方程建立方程组求解，。 第三步：写出双曲线的标准方程 根据焦点位置和求出的，的值，代入相应的标准方程。 例题精选 【例题1】（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 【例题2】（2025·四川·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为正三角形表示点坐标，然后分别带入抛物线和渐近线方程中，解方程即可得到双曲线方程. 【详解】 设，，为第一象限的点， 由题意得双曲线渐近线方程为， 因为为正三角形，所以，则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 【例题3】（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 【相似题2】（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 【相似题3】（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可知，再根据角平分线定理及双曲线定义得是等边三角形，根据边的关系利用余弦定理即可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以， 又平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知， 所以，， 所以，，，故是等边三角形， 所以，在中， ， 化简得：，所以， 双曲线C的方程为， 故选：A. 【题型3：双曲线的渐近线】 知识讲解 1. 渐近线的定义 双曲线的渐近线是指当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，到一条直线的距离无限趋近于零，这条直线就叫做双曲线的渐近线。渐近线对双曲线的形状起到了一种“边界”限定的作用，双曲线无限接近但不与渐近线相交。 2. 不同形式双曲线的渐近线方程 焦点在轴上的双曲线： 对于双曲线（），其渐近线方程为。 例如，对于双曲线，其中，，则其渐近线方程为。 焦点在轴上的双曲线： 对于双曲线（），其渐近线方程为。 例如，双曲线，这里，，那么它的渐近线方程是。 3. 从双曲线方程求渐近线方程的方法 方法一：直接利用公式 若双曲线方程是标准形式，根据焦点位置直接使用上述对应的渐近线方程公式求解。如双曲线，焦点在轴上，，，渐近线方程就是。 方法二：令双曲线方程右边为求解 对于双曲线，令，即，两边开方可得，这就是其渐近线方程。同理，对于，令，可得到渐近线方程。例如，对于双曲线，令，解得，即为该双曲线的渐近线方程。 4. 渐近线的性质 双曲线的渐近线是双曲线特有的一种几何性质，它反映了双曲线在无穷远处的变化趋势。 两条渐近线关于轴、轴对称，并且相交于原点。 渐近线的斜率（焦点在轴）或（焦点在轴）与双曲线的实半轴长和虚半轴长有关，体现了双曲线的形状特征。当的值越大，双曲线的开口越开阔；反之，开口越狭窄。 5. 渐近线的应用 判断双曲线的形状：通过渐近线的斜率可以直观地了解双曲线开口的大小和方向。例如，渐近线斜率的绝对值越大，双曲线的开口越开阔。 绘制双曲线草图：在绘制双曲线时，先画出渐近线，然后根据双曲线与渐近线的关系，大致描绘出双曲线的形状，能帮助我们更准确地理解和分析双曲线的图形特征。 解决一些与双曲线相关的几何问题：如求双曲线上一点到渐近线的距离，或者利用渐近线的性质来确定双曲线的一些参数等。例如，已知双曲线的渐近线方程和一个焦点坐标，可尝试求出双曲线的方程。 6. 一般双曲线方程的渐近线方程求法（拓展） 对于一般形式的双曲线方程（，），先将其化为标准形式。 若，当，时，方程可化为，其渐近线方程为；当，时，方程可化为，渐近线方程为。 若，当，时，方程可化为，渐近线方程为；当，时，方程可化为，渐近线方程为。 例题精选 【例题1】（2025·河南新乡·二模）若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点在双曲线上及斜率的两点式可得，即可得渐近线方程. 【详解】设，则，即， 则，则，故的渐近线方程为. 故选：C 【例题2】（2025·贵州铜仁·三模）已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若，且，则的渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据直角三角形的余弦值及其一边长度计算直角三角形另两边的长度，结合双曲线的定义和勾股定理求出，然后由平方关系求出，得出渐近线方程，由此计算渐近线夹角的正切值. 【详解】因为，，，在中，，所以，，则 由双曲线定义可得，，又， 即，， 联立可解得：，． 由勾股定理可知：，即， 由平方关系可知：，双曲线渐近线方程为， 设的倾斜角为，则， 渐近线夹角（指锐角）的正切值为：. 故选：C． 【例题3】（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线 的两条渐近线之间的夹角为 ，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件可得渐近线的倾斜角为，故，又，可解出的值，最后再利用点到直线的距离即可得出答案. 【详解】对于双曲线 ，其渐近线方程为， 由题意可得渐近线的倾斜角为，所以， 又，联立解得， 双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点和渐近线， 则双曲线的顶点到渐近线的距离为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2025·江苏南京·一模）已知双曲线的左焦点、右顶点分别为，过点倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，与渐近线方程联立，求出的坐标，利用为等边三角形即，得到的关系，即可得渐近线方程. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为为等边三角形，所以， 即， 整理可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程是， 故选：C. 【相似题2】（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式可得，结合直角三角形中各边关系可得，利用直线的斜率为列式化简即可求出的值，由此可得结果. 【详解】 由题意得，不妨设点在第一象限，点所在渐近线方程为，即， ∵，∴， ∴，且. ∵，∴， 由点在直线上得，，故， ∵，∴，解得， ∴， ∴双曲线的离心率. 故选：C. 【相似题3】（2025·安徽·二模）已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】5 【分析】通过题意写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程列出等式求出，写出方程求出焦距即可. 【详解】易知，，，得出和， 因为渐近线方程为，故，解得， 所以，所以的焦距为. 故答案为：5. 【题型4：双曲线的焦点三角形问题】 知识讲解 双曲线焦点三角形是指双曲线上一点与两个焦点所构成的三角形，以下是一些与之相关的结论： 1. 定义及基本性质 设双曲线方程为（），为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则为焦点三角形，且，（）。 2. 面积公式 公式一：。 推导过程：在中，由余弦定理得，即。因为，所以，进而可得。则。 公式二：若，则。 推导过程：因为以为底边，点纵坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式可得。 3. 角平分线性质 双曲线焦点三角形中，的角平分线与轴交点为，则。 设的坐标为，则，即角平分线与轴交点为双曲线的相应顶点（焦点在轴上时）。 4. 内切圆性质 双曲线焦点三角形的内切圆与的切点为双曲线的顶点。 证明思路：设内切圆与，，分别切于点，，。根据切线长定理，，，。又因为，即，所以。设点坐标为，则，解得，所以切点为双曲线的顶点。 5. 离心率相关结论 。 推导过程：在中，由正弦定理得。设（为外接圆半径），则，。又因为，，所以，，则离心率。 例题精选 【例题1】（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系可得，再根据双曲线的定义，设，则，结合余弦定理计算可得与，进而可得，从而得到. 【详解】如图，因为直线的斜率为，所以， 所以，. 设，则，又， 所以，在中， 由余弦定理得， 即，整理得. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，即，所以，所以.    故选：B. 【例题2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 【例题3】多选题（2025·广东惠州·模拟预测）已知，分别为双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．若，则的周长为23 【答案】AC 【分析】根据双曲线的标准方程可得的值，即可求得离心率和渐近线方程，即可判断A、B，根据双曲线的定义以及余弦定理可解焦点三角形，即可判断C、D. 【详解】 对于A，由题可得，，，则离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由题，由图结合双曲线定义可得， 则. 则，则， 得，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，则的周长为28，故D错误. 故选：AC. 相似练习 【相似题1】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 【相似题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的离心率为，若的右焦点到一条渐近线的距离为分别是双曲线的左、右焦点，则双曲线的方程为 ，圆与双曲线在第一象限内交于点，则 . 【答案】 【分析】根据离心率和焦点到渐近线的距离及，列方程组求得，即可求解双曲线方程； 设，，在中，由余弦定理得即，在中，将两边平方得②，消去t即可求解. 【详解】由题知，，解得，所以曲线； 由双曲线的定义可知.因为，设，. 在中，， 即①， 在中，是中点，则， 两边平方可得， 所以②， 所以， 即，所以. 故答案为：； 【相似题3】（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解. 【详解】因为点在双曲线右支上，且， 则，又， 在中，由余弦定理可得，， 所以. 故答案为：.    【题型5：双曲线的离心率取值与范围问题】 知识讲解 1. 双曲线离心率的定义 对于双曲线（）或（），其离心率的定义为，其中是双曲线的半焦距，且满足。由于，所以双曲线的离心率。离心率反映了双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口越开阔；越接近，双曲线的开口越狭窄。 2. 双曲线离心率的求值方法 已知，的值：若题目中直接给出和的值，可直接代入离心率公式计算。例如，已知双曲线中，，则离心率。 根据，的关系求离心率：因为，所以。例如，已知双曲线中，则。 利用双曲线的性质和几何关系建立方程求解： 例如，已知双曲线的渐近线方程为，因为双曲线渐近线方程为，所以，则。 再如，设双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，。由双曲线定义，即，得，。又在中，，即，，所以。 3. 双曲线离心率取值范围的确定方法 利用双曲线的性质和不等式关系： 例如，已知双曲线上存在一点，使得（为焦点）。在中，根据，且。由可得，则。又因为，且，同时，所以，即，，所以离心率的取值范围是。 结合双曲线的渐近线和图形特征： 对于双曲线，渐近线斜率与离心率有关。若已知双曲线的渐近线倾斜角的范围，可据此确定的范围，进而得到离心率的范围。例如，双曲线渐近线的倾斜角，则，即，所以。 4. 与其他圆锥曲线综合时离心率的求解 当双曲线与椭圆、抛物线等其他圆锥曲线综合时，需要根据它们之间的位置关系、公共点等条件建立方程或不等式来求解离心率。 例如，已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，是的一个公共点，且。设，（），由椭圆定义得，由双曲线定义得。又因为，，，可得，，两式相加得，则（分别为双曲线和椭圆的离心率），若已知椭圆离心率的值，就可求出双曲线离心率的值或范围。 例题精选 【例题1】（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解. 【详解】如图，设与交于点， 由，且是的中点， 所以，又， 所以，又，易得， ， 则，代入双曲线方程可得， 设点，则，， 又设，由可得，即， 由，得，即， 化简整理得， ，解得或， 又，，解得. 故选：D. 【例题2】（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求出. 【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点， 故有，即，， 所以，所以. 所以的范围为. 故选：C 【例题3】（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】根据已知条件及双曲线定义得出，再应用离心率公式计算. 【详解】因为，， 所以设所以， 则，所以， 所以，又因为，所以， 则双曲线C的离心率为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025·河北保定·一模）已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【分析】由已知可推得，然后得出，即可根据的关系得出离心率. 【详解】 如图，设为与渐近线的交点， 由题意：，， 所以Q是线段的中点， 所以. 又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知， 所以，所以， 所以， 所以离心率. 故答案为：2 【相似题2】（2025·河北·模拟预测）若双曲线虚轴的上、下端点分别位于圆的外部与内部，其中为的半焦距，则离心率的一个取值可以为 . 【答案】2（答案不唯一､满足即可） 【分析】先求出虚轴的上下端点坐标，再结合点在圆内或圆外建立关于的齐次不等式，解出离心率的范围，进而写出符合题意的离心率即可. 【详解】由题得虚轴的端点分别为，， 因为虚轴的上，下端点分别位于圆的外部与内部， 所以 解得，即， 即，则， 故的取值范围为，则可取. 故答案为：（答案不唯一､满足即可） 【题型6：双曲线与定义有关的和差最值问题】 知识讲解 1. 双曲线定义回顾 平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。即（），其中为双曲线的焦点，$2a$为实轴长，为焦距。 2. 基于双曲线定义的和差最值问题类型及解法 2.1 求的最小值（为双曲线外一点，为焦点） 原理：利用双曲线的定义将进行转化，结合三角形三边关系求解。 步骤 若点与焦点在双曲线的同侧，设双曲线的另一个焦点为$F'$。 根据双曲线定义，即。 则。 根据三角形三边关系，当且仅当，，$F'$三点共线时取等号。 示例 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，为双曲线右支上一点，求的最小值。 由双曲线方程可知，，，则，。 因为在双曲线右支上，根据双曲线定义，即。 所以。 根据三角形三边关系，而。 所以，即的最小值为。 2.2 求的最大值（为双曲线内一点，为焦点） 原理：同样利用双曲线定义和三角形三边关系。 步骤 设双曲线的另一个焦点为$F'$。 根据三角形三边关系，当且仅当，，三点共线时取等号。 示例 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，为双曲线上一点，求的最大值。 由双曲线方程得，，，则。 根据三角形三边关系。 计算，所以的最大值为。 3. 注意事项 准确判断点与双曲线的位置关系（在双曲线内、外、上）以及焦点的位置，这是正确使用双曲线定义进行转化的前提。 在利用三角形三边关系求最值时，要明确等号成立的条件，即三点共线的情况。同时，要注意双曲线的两支对正负的影响。例如，点在双曲线右支上时；点在双曲线左支上时。 例题精选 【例题1】（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 【例题2】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【例题3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 【相似题2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 【相似题3】（2024·四川·一模）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线定义可得，结合平面几何知识求其最小值，列方程求，由此可得双曲线方程及其渐近线方程，设，表示。结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为动点在双曲线右支上， 所以， 所以， 不妨设点在渐近线上， 过点作，则， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立， 因为的坐标为，故， 所以的最小值为，由已知， 因为双曲线的焦距为， 所以，又， 所以（舍去），或， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为和 设点的坐标为，则，， 故，， 所以， 当且仅当，时等号成立; 所以的最小值为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值. 【题型7：双曲线性质中的范围与最值】 知识讲解 1. 与双曲线渐近线相关的最值与取值范围问题 双曲线（）的渐近线方程为，其斜率与双曲线的形状密切相关，离心率。 渐近线斜率与离心率的取值范围 原理：通过渐近线的倾斜角范围确定斜率的范围，进而得到离心率的取值范围。 示例：已知双曲线渐近线的倾斜角，则，即。 因为，所以。 双曲线上一点到渐近线距离的最值 原理：设双曲线上一点，根据点到直线的距离公式（渐近线方程可化为一般式），结合双曲线方程消去一个变量，再利用函数性质求最值。 示例：对于双曲线，其一条渐近线方程为，设双曲线上一点，则点到该渐近线的距离，通过三角函数的性质可求出的最值。 2. 双曲线焦点三角形中的最值与取值范围问题 焦点三角形是指双曲线上一点与两个焦点所构成的三角形。 面积的最值 公式推导：设双曲线，为焦点，为双曲线上一点，。 由余弦定理，且，可得。 根据三角形面积公式，则。 最值分析：因为，在上单调递减。当最大时，最小；当最小时，最大。当点为双曲线顶点时，最大。 另一种面积表示（为点纵坐标），，所以，即焦点三角形面积最小值为$bc$，无最大值。 角的取值范围 原理：利用余弦定理和双曲线定义，结合基本不等式来确定角的取值范围。 在中，。 由基本不等式，结合双曲线定义可得到的取值范围，进而得到的取值范围。 3. 双曲线上点的坐标相关的最值与取值范围问题 原理：根据双曲线方程（焦点在轴）或（焦点在轴），得到，的取值范围，再结合其他条件求最值。 示例：已知双曲线，求的取值范围。 设，则，代入双曲线方程，整理得。 因为是实数，所以，解这个不等式可得的取值范围，即的取值范围。 例题精选 【例题1】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 【例题2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【分析】设，将P化为双曲线上任意一点；将M化为圆C：上任意一点，则，根据圆的性质可知，再利用二次函数性质即可求出最小值，从而得到答案. 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D. 【例题3】（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 【相似题2】多选题（22-23高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线C:的左,右焦点分别为F1､F2,且=4,A,P,B为双曲线上不同的三点,且A,B两点关于原点对称,直线PA与PB斜率的乘积为,则下列正确的是（    ） A．直线AB倾斜角的取值范围为 B．若,则三角形PF1F2的周长为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设,首先根据已知条件,确定双曲线的方程,对于A,根据双曲线的渐近线的斜率进行判断;对于B,设,根据双曲线定义和已知条件列出方程组,求解即可;对于C,令,则,转化为直线与双曲线有交点时,直线在轴上的截距的范围求解即可;对于D,将原式化为:,,转化为,设，利用基本不等式即可求解. 【详解】设焦距为,则,设, 作差得,即, 则, 故,又, 所以, 则双曲线方程为, 对于A,双曲线的渐近线方程为,直线过原点,由题可知直线与有两个不同的交点,所以直线倾斜角的取值范围为,故A错误. 对于B,设, 因为,则, 所以,解得, 则三角形PF1F2的周长为,故B正确. 对于C,令,则,转化为直线与双曲线有交点时,直线在轴上的截距的范围, 当直线与双曲线相切时, 联立,得, , 解得, 所以的取值范围为,故C正确. 对于D,(*), 令, 则(*)式化为, 设,则, 所以, 因为,当且仅当时等号成立, 所以, 即的最小值为,故D正确. 故选:BCD. 【相似题3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据平面向量的坐标运算以及数量积的坐标运算，结合在双曲线上，可得，利用列不等式求解即可. 【详解】设，则 所以，又因为， 所以① 又② ②代入①得，， 整理得，因为， 所以， 化简可得， 即的离心率的最小值为， 故答案为：. 【题型8：双曲线性质的综合题型】 例题精选 【例题1】多选题（2025·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 【例题2】多选题（2025·陕西西安·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的是（   ） A．若C的渐近线的斜率为，则C的离心率为 B．若C的渐近线方程为，且点在C上，则 C．过的直线与C的右支相交于A，B两点，若，则C的离心率为 D．若C的左、右顶点分别为M，N，P是异于M，N的一点，则直线的斜率之积为 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式即可判断A；由双曲线渐近线方程及求得双曲线方程即可判断B；由双曲线的定义及勾股定理得出齐次式即可判断C；设，由斜率公式及双曲线方程即可判断D． 【详解】对于A，由C的渐近线方程为，则， 所以C的离心率为，故A正确； 对于B，由C的渐近线方程为，设， 又点在C上，所以，即， 所以，故B错误； 对于C，过点的直线与的右支相交于两点，不妨设， 若，则， 由勾股定理得，解得， 故， 在直角三角形中，由勾股定理得，即， 所以，故C正确； 对于D，设，则，即， 又，所以，故D正确； 故选：ACD． 【例题3】多选题（2025·宁夏·一模）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【分析】由题设，且渐近线为，若垂直于，则，联立渐近线求得、，结合已知得，结合双曲线参数关系判断A、B；应用斜率的两点式判断C；设点P处的切线为并联立双曲线，由求得，即可求得，即可判断D. 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 相似练习 【相似题1】多选题（2025·陕西西安·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（   ） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为 D．过点能作4条直线与C仅有一个交点 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断ABC，D选项，分过点P斜率存在和不存在两种情况研究问题即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，解得，所以双曲线， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离为， 即的最小值为，C正确； 对于D，过点垂直于轴的直线为，此直线与双曲线相切与点，符合题意， 设过点斜率存在的直线为， 联立方程组，得， 当时，即时，直线平行于渐近线，与双曲线只有一个交点，符合题意， 当时，， 解得，此时直线与双曲线相切， 故过点能作4条直线与C仅有一个交点，D正确. 故选：ACD 【相似题2】多选题（2025·黑龙江·一模）设，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．当在的右支上，且时， C．当时，点到的两条渐近线距离之和为 D．当时，为直角三角形 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程可得c的值，判断A；确定P点坐标结合双曲线定义判断B；求出渐近线方程结合点到直线的距离公式可判断C；求出P点坐标结合向量垂直的坐标运算可判断D. 【详解】由双曲线可知， 得的焦距为，故A正确； 由在双曲线的右支上，且可得，从而， 又因为，此时轴，即，所以，故B正确； 的渐近线方程为，当时，， 故点到的两条渐近线距离之和为，故C错误； 由可得，而，取， ，，则，所以， 因此为直角三角形，由对称性可知当时也成立，故D正确. 故选：ABD. 【相似题3】多选题（2025·广东·一模）设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】设点，利用斜率坐标公式计算判断AB；利用对称性，结合几何图形求解判断CD. 【详解】依题意，，设点，则， 直线的斜率为的斜率为， 对于A，，A错误； 对于B，直线的斜率为，则，即，B正确； 对于C，由对称性，得，由，得， 而，则， ，C正确； 对于D，由，得，则， ，，，D错误.    故选：BC 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·福建泉州·模拟预测）设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、．若，则E的离心率等于（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（   ） A． B．双曲线C的一条渐近线的斜率为 C． D． 10．（2025·福建莆田·二模）已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（    ） A． B．渐近线方程为 C．的最小值为4 D．内切圆圆心在直线上 三、填空题 11．（2025·福建厦门·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为 ． 12．（2025·福建福州·模拟预测）已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线离心率的取值范围为 ． 13．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 14．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D D D A D ABD ACD 1．C 【分析】设双曲线的方程为，且，设直线的倾斜角为，根据≌，可得，即，从而可求解． 【详解】设双曲线的方程为，且， 则E的两条渐近线方程分别为，． 设直线的倾斜角为，则， 易得≌，所以，且， 从而， 所以，故，即， 整理，得， 故E的离心率等于． 故选：C 2．C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 3．D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 4．D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 6．D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 7．A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 8．D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 9．ABD 【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论． 【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，， 由，可得，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，， 故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确． 故选：ABD． 10．ACD 【分析】根据双曲线的计算得出焦点及渐近线判断A，B，联立求解弦长计算判断C，结合圆的切线长定理、双曲线的定义判断D. 【详解】因为双曲线中，所以，所以，所以左焦点，故A正确； 渐近线方程为，故B错误； 双曲线，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，则； 当直线的斜率为：或时， 设直线的方程为，设， 联立，得， 则，， 所以， 由于或，则，即. 当直线的斜率为：时，过的直线交于两点，左右各有一个交点，， 当斜率为0时，取得最小值，最小值为，故C正确． 设圆分别与相切于点，则． 因为，所以． 令的横坐标为，则，即为双曲线的右顶点， 即内切圆圆心在定直线上， 同理如果在双曲线左支上，可得内切圆圆心在定直线上，故D正确． 故选：ACD. 11． 【分析】根据给定条件，结合三角形中位线性质、双曲线定义，借助直角三角形列式求出离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以离心率． 故答案为： 12．． 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径，求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，即可求得结果． 【详解】由双曲线的渐近线方程为，不妨设渐近线方程为， 圆的圆心为，半径为1，因为双曲线的渐近线与圆有公共点， 所以，即，由，， 因为，所以，所以． 故答案为：． 13． 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 14． 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 15．/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题8.6双曲线的方程与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求双曲线的轨迹方程】 知识讲解 1. 定义：平面内，动点到两定点距离之差的绝对值为常数（小于）的轨迹是双曲线。设动点，（） 。 2. 标准方程： · 焦点在轴：，。 · 焦点在轴： 。 3. 性质： · 范围：中，或；中，或 。 · 对称性：关于轴、轴、原点对称。 · 渐近线：焦点在轴，；焦点在轴，。 解题思路 1. 定义法：若条件符合双曲线定义，直接求、得方程。如，，，，，，，方程为 。 2. 待定系数法：先判焦点位置设方程，不确定时设，再依条件列方程组求参数。如渐近线，设，将点代入得，方程为 。 3. 相关点法（代入法）：动点与已知曲线动点有关联，找出关系后代入已知曲线方程。如，设，，得，，代入双曲线得 。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线; 【例题2】（2025·山西太原·一模）已知圆，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 相似练习 【相似题1】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； 【相似题2】（2025·山东聊城·一模）已知圆，圆，动圆与、都外切. (1)求圆心的轨迹方程； 【相似题3】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，直线，动点到直线的距离为，且. (1)求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； 【题型2：基本量求双曲线的标准方程】 知识讲解 1. 双曲线基本量的概念 焦点：双曲线有两个焦点，设为，两焦点间的距离（），叫做半焦距。 实半轴长：用表示（），在双曲线的定义中，平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数$2a$（）。 虚半轴长：用表示（），且满足。 2. 双曲线的标准方程形式 焦点在轴上： 标准方程为（）。此时双曲线的焦点坐标为，。 例如，当，时，因为，所以，双曲线方程为，焦点坐标为和。 焦点在轴上： 标准方程为（）。此时双曲线的焦点坐标为，。 例如，若，，则，，双曲线方程为，焦点坐标为和。 3. 根据基本量求双曲线标准方程的步骤 第一步：判断焦点位置 若已知焦点坐标，焦点在轴上时焦点坐标为；焦点在轴上时焦点坐标为。 若题目中未明确焦点位置，可根据条件判断，如已知双曲线过的点的坐标特征等。若无法确定焦点位置，可设双曲线方程为。 第二步：确定，的值 若已知，的值，可直接代入相应的标准方程。 若已知，的值，根据，可求出。 若已知其他条件，如渐近线方程、双曲线上的点的坐标等，结合以及双曲线方程建立方程组求解，。 第三步：写出双曲线的标准方程 根据焦点位置和求出的，的值，代入相应的标准方程。 例题精选 【例题1】（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·四川·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3：双曲线的渐近线】 知识讲解 1. 渐近线的定义 双曲线的渐近线是指当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，到一条直线的距离无限趋近于零，这条直线就叫做双曲线的渐近线。渐近线对双曲线的形状起到了一种“边界”限定的作用，双曲线无限接近但不与渐近线相交。 2. 不同形式双曲线的渐近线方程 焦点在轴上的双曲线： 对于双曲线（），其渐近线方程为。 例如，对于双曲线，其中，，则其渐近线方程为。 焦点在轴上的双曲线： 对于双曲线（），其渐近线方程为。 例如，双曲线，这里，，那么它的渐近线方程是。 3. 从双曲线方程求渐近线方程的方法 方法一：直接利用公式 若双曲线方程是标准形式，根据焦点位置直接使用上述对应的渐近线方程公式求解。如双曲线，焦点在轴上，，，渐近线方程就是。 方法二：令双曲线方程右边为求解 对于双曲线，令，即，两边开方可得，这就是其渐近线方程。同理，对于，令，可得到渐近线方程。例如，对于双曲线，令，解得，即为该双曲线的渐近线方程。 4. 渐近线的性质 双曲线的渐近线是双曲线特有的一种几何性质，它反映了双曲线在无穷远处的变化趋势。 两条渐近线关于轴、轴对称，并且相交于原点。 渐近线的斜率（焦点在轴）或（焦点在轴）与双曲线的实半轴长和虚半轴长有关，体现了双曲线的形状特征。当的值越大，双曲线的开口越开阔；反之，开口越狭窄。 5. 渐近线的应用 判断双曲线的形状：通过渐近线的斜率可以直观地了解双曲线开口的大小和方向。例如，渐近线斜率的绝对值越大，双曲线的开口越开阔。 绘制双曲线草图：在绘制双曲线时，先画出渐近线，然后根据双曲线与渐近线的关系，大致描绘出双曲线的形状，能帮助我们更准确地理解和分析双曲线的图形特征。 解决一些与双曲线相关的几何问题：如求双曲线上一点到渐近线的距离，或者利用渐近线的性质来确定双曲线的一些参数等。例如，已知双曲线的渐近线方程和一个焦点坐标，可尝试求出双曲线的方程。 6. 一般双曲线方程的渐近线方程求法（拓展） 对于一般形式的双曲线方程（，），先将其化为标准形式。 若，当，时，方程可化为，其渐近线方程为；当，时，方程可化为，渐近线方程为。 若，当，时，方程可化为，渐近线方程为；当，时，方程可化为，渐近线方程为。 例题精选 【例题1】（2025·河南新乡·二模）若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·贵州铜仁·三模）已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若，且，则的渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【例题3】（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线 的两条渐近线之间的夹角为 ，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·江苏南京·一模）已知双曲线的左焦点、右顶点分别为，过点倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【相似题3】（2025·安徽·二模）已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为 . 【题型4：双曲线的焦点三角形问题】 知识讲解 双曲线焦点三角形是指双曲线上一点与两个焦点所构成的三角形，以下是一些与之相关的结论： 1. 定义及基本性质 设双曲线方程为（），为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则为焦点三角形，且，（）。 2. 面积公式 公式一：。 推导过程：在中，由余弦定理得，即。因为，所以，进而可得。则。 公式二：若，则。 推导过程：因为以为底边，点纵坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式可得。 3. 角平分线性质 双曲线焦点三角形中，的角平分线与轴交点为，则。 设的坐标为，则，即角平分线与轴交点为双曲线的相应顶点（焦点在轴上时）。 4. 内切圆性质 双曲线焦点三角形的内切圆与的切点为双曲线的顶点。 证明思路：设内切圆与，，分别切于点，，。根据切线长定理，，，。又因为，即，所以。设点坐标为，则，解得，所以切点为双曲线的顶点。 5. 离心率相关结论 。 推导过程：在中，由正弦定理得。设（为外接圆半径），则，。又因为，，所以，，则离心率。 例题精选 【例题1】（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（2025·广东惠州·模拟预测）已知，分别为双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．若，则的周长为23 相似练习 【相似题1】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【相似题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的离心率为，若的右焦点到一条渐近线的距离为分别是双曲线的左、右焦点，则双曲线的方程为 ，圆与双曲线在第一象限内交于点，则 . 【相似题3】（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .    【题型5：双曲线的离心率取值与范围问题】 知识讲解 1. 双曲线离心率的定义 对于双曲线（）或（），其离心率的定义为，其中是双曲线的半焦距，且满足。由于，所以双曲线的离心率。离心率反映了双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口越开阔；越接近，双曲线的开口越狭窄。 2. 双曲线离心率的求值方法 已知，的值：若题目中直接给出和的值，可直接代入离心率公式计算。例如，已知双曲线中，，则离心率。 根据，的关系求离心率：因为，所以。例如，已知双曲线中，则。 利用双曲线的性质和几何关系建立方程求解： 例如，已知双曲线的渐近线方程为，因为双曲线渐近线方程为，所以，则。 再如，设双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，。由双曲线定义，即，得，。又在中，，即，，所以。 3. 双曲线离心率取值范围的确定方法 利用双曲线的性质和不等式关系： 例如，已知双曲线上存在一点，使得（为焦点）。在中，根据，且。由可得，则。又因为，且，同时，所以，即，，所以离心率的取值范围是。 结合双曲线的渐近线和图形特征： 对于双曲线，渐近线斜率与离心率有关。若已知双曲线的渐近线倾斜角的范围，可据此确定的范围，进而得到离心率的范围。例如，双曲线渐近线的倾斜角，则，即，所以。 4. 与其他圆锥曲线综合时离心率的求解 当双曲线与椭圆、抛物线等其他圆锥曲线综合时，需要根据它们之间的位置关系、公共点等条件建立方程或不等式来求解离心率。 例如，已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，是的一个公共点，且。设，（），由椭圆定义得，由双曲线定义得。又因为，，，可得，，两式相加得，则（分别为双曲线和椭圆的离心率），若已知椭圆离心率的值，就可求出双曲线离心率的值或范围。 例题精选 【例题1】（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为 . 相似练习 【相似题1】（2025·河北保定·一模）已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为 ． 【相似题2】（2025·河北·模拟预测）若双曲线虚轴的上、下端点分别位于圆的外部与内部，其中为的半焦距，则离心率的一个取值可以为 . 【题型6：双曲线与定义有关的和差最值问题】 知识讲解 1. 双曲线定义回顾 平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。即（），其中为双曲线的焦点，$2a$为实轴长，为焦距。 2. 基于双曲线定义的和差最值问题类型及解法 2.1 求的最小值（为双曲线外一点，为焦点） 原理：利用双曲线的定义将进行转化，结合三角形三边关系求解。 步骤 若点与焦点在双曲线的同侧，设双曲线的另一个焦点为$F'$。 根据双曲线定义，即。 则。 根据三角形三边关系，当且仅当，，$F'$三点共线时取等号。 示例 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，为双曲线右支上一点，求的最小值。 由双曲线方程可知，，，则，。 因为在双曲线右支上，根据双曲线定义，即。 所以。 根据三角形三边关系，而。 所以，即的最小值为。 2.2 求的最大值（为双曲线内一点，为焦点） 原理：同样利用双曲线定义和三角形三边关系。 步骤 设双曲线的另一个焦点为$F'$。 根据三角形三边关系，当且仅当，，三点共线时取等号。 示例 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，为双曲线上一点，求的最大值。 由双曲线方程得，，，则。 根据三角形三边关系。 计算，所以的最大值为。 3. 注意事项 准确判断点与双曲线的位置关系（在双曲线内、外、上）以及焦点的位置，这是正确使用双曲线定义进行转化的前提。 在利用三角形三边关系求最值时，要明确等号成立的条件，即三点共线的情况。同时，要注意双曲线的两支对正负的影响。例如，点在双曲线右支上时；点在双曲线左支上时。 例题精选 【例题1】（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【例题3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【相似题2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【相似题3】（2024·四川·一模）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 【题型7：双曲线性质中的范围与最值】 知识讲解 1. 与双曲线渐近线相关的最值与取值范围问题 双曲线（）的渐近线方程为，其斜率与双曲线的形状密切相关，离心率。 渐近线斜率与离心率的取值范围 原理：通过渐近线的倾斜角范围确定斜率的范围，进而得到离心率的取值范围。 示例：已知双曲线渐近线的倾斜角，则，即。 因为，所以。 双曲线上一点到渐近线距离的最值 原理：设双曲线上一点，根据点到直线的距离公式（渐近线方程可化为一般式），结合双曲线方程消去一个变量，再利用函数性质求最值。 示例：对于双曲线，其一条渐近线方程为，设双曲线上一点，则点到该渐近线的距离，通过三角函数的性质可求出的最值。 2. 双曲线焦点三角形中的最值与取值范围问题 焦点三角形是指双曲线上一点与两个焦点所构成的三角形。 面积的最值 公式推导：设双曲线，为焦点，为双曲线上一点，。 由余弦定理，且，可得。 根据三角形面积公式，则。 最值分析：因为，在上单调递减。当最大时，最小；当最小时，最大。当点为双曲线顶点时，最大。 另一种面积表示（为点纵坐标），，所以，即焦点三角形面积最小值为$bc$，无最大值。 角的取值范围 原理：利用余弦定理和双曲线定义，结合基本不等式来确定角的取值范围。 在中，。 由基本不等式，结合双曲线定义可得到的取值范围，进而得到的取值范围。 3. 双曲线上点的坐标相关的最值与取值范围问题 原理：根据双曲线方程（焦点在轴）或（焦点在轴），得到，的取值范围，再结合其他条件求最值。 示例：已知双曲线，求的取值范围。 设，则，代入双曲线方程，整理得。 因为是实数，所以，解这个不等式可得的取值范围，即的取值范围。 例题精选 【例题1】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【例题3】（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【相似题2】多选题（22-23高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线C:的左,右焦点分别为F1､F2,且=4,A,P,B为双曲线上不同的三点,且A,B两点关于原点对称,直线PA与PB斜率的乘积为,则下列正确的是（    ） A．直线AB倾斜角的取值范围为 B．若,则三角形PF1F2的周长为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【相似题3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为 . 【题型8：双曲线性质的综合题型】 例题精选 【例题1】多选题（2025·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【例题2】多选题（2025·陕西西安·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的是（   ） A．若C的渐近线的斜率为，则C的离心率为 B．若C的渐近线方程为，且点在C上，则 C．过的直线与C的右支相交于A，B两点，若，则C的离心率为 D．若C的左、右顶点分别为M，N，P是异于M，N的一点，则直线的斜率之积为 【例题3】多选题（2025·宁夏·一模）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 相似练习 【相似题1】多选题（2025·陕西西安·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（   ） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为 D．过点能作4条直线与C仅有一个交点 【相似题2】多选题（2025·黑龙江·一模）设，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．当在的右支上，且时， C．当时，点到的两条渐近线距离之和为 D．当时，为直角三角形 【相似题3】多选题（2025·广东·一模）设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·福建泉州·模拟预测）设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、．若，则E的离心率等于（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（   ） A． B．双曲线C的一条渐近线的斜率为 C． D． 10．（2025·福建莆田·二模）已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（    ） A． B．渐近线方程为 C．的最小值为4 D．内切圆圆心在直线上 三、填空题 11．（2025·福建厦门·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为 ． 12．（2025·福建福州·模拟预测）已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线离心率的取值范围为 ． 13．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 14．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$