精品解析：河北省文安县第一中学2024-2025学年高三下学期3月模拟考试数学试题

2025届3月模拟考试（F） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 已知O为坐标原点，圆，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心，所以. 故选：C 3. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的坐标运算、向量模长的坐标运算，计算即可. 【详解】根据定义，向量在上的投影向量的模为. 故选：A. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆台侧面积公式即可求解； 【详解】由圆台侧面积公式可得：. 故选：C. 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线离心率及参数关系求得，再写出渐近线方程和焦点坐标，应用点线距离公式求焦点到渐近线的距离. 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得，即可求解. 【详解】由可得, 由于， 故， 故， 由于中，，故， ，故， 故选：D 7. 已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可． 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 8. 已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的范围，将判断与有两个交点，求出的取值范围，再利用，将其正弦值求出，最后利用两角和差的余弦值展开化简即可得出关于的函数. 【详解】，则， 函数在区间上有且仅有两个零点， 则与在上有两个交点， 则，且， 不妨设，则， 则 ， 当时，有最小值. 则的最小值为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故，A正确， 对于B，，故，B正确， 对于C, 由于，故，故，故C错误， 对于D, ,所以，故，故D错误， 故选：AB 10. 在正方体中，下列四个选项中正确的有（ ） A. 直线平面 B. 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C. 平面平面 D. 直线平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角 坐标系，利用空间位置关系的向量证明及线面角的向量求法逐项判断. 【详解】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 对于A，，即，而点不在直线，则， 又平面，平面，因此直线平面，A正确； 对于B，设平面的法向量，，则， 取，得，棱的方向向量，与平面所成角为， ，棱与平面所成角为， 棱与平面所成角为，同理， 因此，即每条棱所在直线与平面所成的角都相等，B正确； 对于C，设平面的法向量，，则， 取，得，而，即不垂直，平面与平面不垂直，C错误； 对于D，，即，直线平面，D正确. 故选：ABD 11. 已知到点和的距离之积为定值的点的轨迹称为伯努利双纽线C，.若，曲线C过坐标原点O，点为曲线C上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 曲线C与y轴有三个交点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入原点后可求的值，故可判断其正误；对于B，令后求出的值可判断其正误；对于C，化简方程后结合非负性可判断其正误；对于D，利用判别式非负可求纵坐标的范围后可判断其正误. 【详解】对于A，由时，过坐标原点，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，设是曲线上任意一点，则， 化简得， 当时，，只有一解，所以B错误； 对于C，由，所以，故C正确； 对于D，由，得， 将其看成是关于的方程，则， 故，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组统计数据为84，79，80，82，77，83，86，75，则这组数据的75%分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：，由， 故这组数据的75%分位数为第6个和第7个数的平均数，即， 故答案为： 13. 由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字的情况数，分三个3之间的两个位置只有两个2和三个3之间的两个位置只有一个1和一个2两种情况数，求出三个3之间的两个位置中，其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2的情况数，据此即可求解. 【详解】由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字共有种结果， 若三个3之间的两个位置只有两个2，有132323和323231两种， 若三个3之间的两个位置只有一个1和一个2，有四种， 若三个3之间的两个位置中，其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2， 有312323，四种， 共10种结果，所以其概率. 故答案为： 14. 已知集合，定义集合，，若，记为集合S中元素的个数，则的最大值为______. 【答案】67 【解析】 【分析】利用不等式性质求出中元素个数不大于，再由特例可得的最大值. 【详解】设满足题意，其中， 则， ，而，于是， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为，则， 因此，解得，设， 则，， 由，得，即，于是的最小值为34， 则当时，中元素最多，即时满足题意， 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：组合最值问题，往往先根据题设条件得到范围，在给出实例说明等号可取即得最值. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）为的导函数，则当时，求的值； （2）证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点； （3）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 证明：函数的定义域为，而， 设为切点，则切线的斜率， 切线方程为， 若切线过点，则， 化简得，方程只有一解为， 所以有且仅有一条图象的切线过坐标原点. （3） 当，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导函数即可； （2）先设切点，求曲线在切点处的切线方程，再将点代入得出关于的方程，求证该方程仅有一解即可； （3）求导，分类讨论的正负性. 【小问1详解】 当时，， 故， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，则，函数在上单调递增； 当时，令， 解得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上，当，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 16. 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 （1）经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. （2）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ （3）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1） （2）有关联 （3）的分布列为: 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）由已知数据利用公式计算，与参考数据比较大小即可得出结论； （3）根据题意计算出可能取值及相应概率，即可得到分布列，再利用公式计算期望值. 【小问1详解】 由题意可知，. 【小问2详解】 零假设为：绩效分数达标情况与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问3详解】 由题意知可能的取值为， 则； ， 所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为 0 1 2 数学期望. 17. 如图，在圆锥中，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且，. （1）证明：平面底面圆； （2）为底面圆的劣弧上一点（与点均不重合），且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值. 【答案】（1） 设交于点，连接， 设圆的半径为，则可得， 在中，， 所以， 故，所以， 又，所以为正三角形，因此为的中点， 易得，故，所以为的中点，所以. 又底面圆，所以底面圆， 又平面，所以平面底面圆. （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，由已知可得为正三角形，可得，可得底面圆，即可根据面面垂直的判定求解； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，设，利用坐标运算求得平面的一个法向量，又得平面的一个法向量，由平面与平面所成角的余弦值为，可求得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，设，平面的一个法向量为， 则， 故， 由得 令，解得， 又平面的一个法向量为， 则， 解得或（舍去）， 所以，则， 故. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6. （1）求C的标准方程. （2）延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程； （2）由三点共线，可得，由直线的方程和直线的方程联立，再利用根与系数关系由分别表示出，再表示出，即可得到的值. 【小问1详解】 设椭圆的焦距， 所以的周长为，即. 又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，所以， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 是定值. 由（1）得， 设，， 又三点共线，所以，化简得， 则直线的方程为，直线的方程为， 由，化简得， 由根与系数关系可知，， 所以， 同理， 又 ， 所以. 19. 已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列. （1）求，，的值； （2）记为数列的前n项和，求使得成立的n的最小值； （3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为P，证明：. 附：不等式（，，且）的推广式（，，⋯，均大于0，且不全相等）成立. 【答案】（1） （2）7 （3） 由（1）知数列的前100项中无重复的项， 所以， 所以， 设函数， 则， 所以在上单调递增， 所以当时，，即. 故， 则，即，所以. 【解析】 【分析】（1）由已知，可得数列和数列的通项公式，即可求得的值； （2）由（1）知，则，因为，所以，又，则，讨论可得的最小值； （3）由（1）知数列的前100项中无重复的项，则，可得，构造函数，利用导数判断单调性可得，可得，即可得证. 【小问1详解】 数列的首项，当时，， 则数列是以1为首项，公差为2的等差数列， 所以， 由得， 数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列 所以数列为， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以等价于， 因为，所以， 又，则. 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意，故的最小值为7. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：小问（3）得到后，构造函数，再利用导数判断单调性可得，再得到，得，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届3月模拟考试（F） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知O为坐标原点，圆，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 3. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 10 D. 4. 已知圆台的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列四个选项中正确的有（ ） A. 直线平面 B. 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C. 平面平面 D. 直线平面 11. 已知到点和的距离之积为定值的点的轨迹称为伯努利双纽线C，.若，曲线C过坐标原点O，点为曲线C上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 曲线C与y轴有三个交点 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组统计数据为84，79，80，82，77，83，86，75，则这组数据的75%分位数为______. 13. 由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为______. 14. 已知集合，定义集合，，若，记为集合S中元素的个数，则的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）为的导函数，则当时，求的值； （2）证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点； （3）讨论函数的单调性. 16. 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 （1）经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. （2）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ （3）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 17. 如图，在圆锥中，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且，. （1）证明：平面底面圆； （2）为底面圆的劣弧上一点（与点均不重合），且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6. （1）求C的标准方程. （2）延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19. 已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列. （1）求，，的值； （2）记为数列的前n项和，求使得成立的n的最小值； （3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为P，证明：. 附：不等式（，，且）的推广式（，，⋯，均大于0，且不全相等）成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $