3.3 复数的几何表示 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第3章 复数 3.3 复数的几何表示 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 问题引入 问题1：实数与什么一一对应？ 问题2：复数应该与什么建立一一对应的联系呢？ 新知学习 复数的几何意义 根据复数相等的定义，任何一个复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），都可以由一个有序实数对（ a ， b ）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数 z ＝ a ＋ b i与有序实数对（ a ， b ）是一一对应的.而有序实数对（ a ， b ）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图，点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）可用点 Z （ a ， b ）表示. 新知学习 按上述方式与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 复数的几何意义 复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系. 复数 z ＝ a ＋ b i 复平面内的点 Z （ a ， b ） 典例剖析--复数与复平面内的点一一对应 [典例]　在复平面内，若复数 z ＝（ m 2－ m －2）＋（ m 2－3 m ＋2）i对应的点： （1）在第二象限； （1）由题意得 ∴ ∴－1＜ m ＜1. ∴ m 的取值范围是{ m ｜－1＜ m ＜1}. （2）在直线 y ＝ x 上，分别求实数 m 的取值范围. 解：复数 z ＝（ m 2－ m －2）＋（ m 2－3 m ＋2）i的实部为 m 2－ m －2，虚部为 m 2－3 m ＋2. （2）由已知得 m 2－ m －2＝ m 2－3 m ＋2，解得 m ＝2. 新知学习 复数的几何意义 特别地，如图，数1用沿x轴正方向的单位向量表示，数i用沿y轴正方向的单位向量表示. 设复平面上的向量的坐标为(a，b)，则，将这个表达式中的分别换成1，i，就得到所对应的复数为. 典例剖析--复数与平面向量的对应关系 [典例]　已知在复平面内， A ， B ， C 三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. （1）求向量 ， ， 对应的复数； [解]　（1）由复数的几何意义，知 ＝（1，0）， ＝（2，1）， ＝（－1，2）， ∴ ＝ － ＝（1，1）， ＝ － ＝（－2，2）， ＝ － ＝（－3，1）， ∴ ， ， 对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. （2）判断△ ABC 的形状. [解]　（2）∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝ ， ∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2， ∴△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. 新知学习 复数的模 对任意复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），将它在复平面上所对应的向量的模 称为复数 z 的模，也称为 z 的绝对值，记作｜ z ｜. 如果 b ＝0，那么 z ＝ a ＋ b i是一个实数 a ，它的模等于｜ a ｜（ a 的绝对值）. 由模的定义，可知｜ z ｜＝｜ ｜＝｜ a ＋ b i｜＝ ⁠. 　 复数模的几何意义 ｜ z ｜＝｜ ｜，即点 Z （ a ， b ）到原点 O 的距离. 一般地，｜ z 1－ z 2｜为复平面上点 Z 1到 Z 2的距离. 典例剖析--复数的模及其应用 [典例]　已知复数 z 1＝ ＋i， z 2＝－ ＋ i. （1）求｜ z 1｜及｜ z 2｜并比较大小； [解]　（1）｜ z 1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2， ｜ z 2｜＝ ＝1. ∴｜ z 1｜＞｜ z 2｜. （2）设 z ∈C，满足条件｜ z 2｜≤｜ z ｜≤｜ z 1｜的点 Z 的轨迹是什么图形？ [解]　（2）由｜ z 2｜≤｜ z ｜≤｜ z 1｜及（1）知1≤｜ z ｜≤2. 新知学习 共轭复数 对任意复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），如果保持它的实部 a 不变，将虚部 b 变成它的相反数－ b ，得到的复数 a － b i称为原复数 z 的共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.复数 z 的共轭复数用 表示，即如果 z ＝ a ＋ b i，那么 ＝ a － b i. 于是，例1中（3）的结论可以推广为： 复平面上两点 P ， Q 关于 x 轴对称⇔它们对应的复数相互共轭. 典例剖析--共轭复数的求解与应用 [典例]　已知 z ＝2－i，则 z （ ＋i）＝（　C　） A. 6－2i B. 4－2i C. 6＋2i D. 4＋2i 解析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 因为 z ＝2－i，故 ＝2＋i，故 z （ ＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝4＋4i－2i－2i2＝6＋ 2i.故选C. C 新知学习 复数加减法几何意义 复数加法的几何意义 设 ， 分别与复数 a ＋ b i， c ＋ d i（ a ， b ， c ， d ∈R）对应，则 ＝ （ a ， b ）， ＝（ c ， d ）.由平面向量的坐标运算法则，得 ＋ ＝（ a ＋ c ， b ＋ d ）. 这说明两个向量 与 的和就是与复数（ a ＋ c ）＋（ b ＋ d ）i对应的 向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如图），这就是复数加 法的几何意义. 新知学习 复数加减法几何意义 典例剖析--复数加减法的几何意义 [典例]　如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O ，A ， C 分别表示为0，3＋2i， －2＋4i，求： （1） 表示的复数； 解：（1）因为 ＝－ ，所以 表示的复数为－3 －2i. （2）对角线 表示的复数； 解：（2）因为 ＝ － ，所以对角线 表示的复数为 （3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. 典例剖析--复数加减法的几何意义 （3）对角线 表示的复数. 解：（3）因为对角线 ＝ ＋ ，所以对角线 表示的 复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i. 典例剖析--复数加减法的几何意义 易错提醒 [示例1]　设向量 表示的复数是2＋3i（ O 为坐标原点），将向量 向上平移2个 单位长度，再向左平移1个单位长度，得到向量 ，求向量 、点 O 1和向量 分别表示的复数. [错解]　 表示的复数为（2－1）＋（3＋2）i＝1＋5i， O 1点对应的复数为（0－1）＋（0＋2）i＝－1＋2i. ∵ ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－[（－1＋2i）＋（1＋5i）]＝－（0＋7i） ＝－7i. [正解]　由题意得，向量 对应的复数是2＋3i， O 1点对应的复数是－1＋2i. ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－[（－1＋2i）＋（2＋3i）]＝－1－5i. 故向量 对应的复数为－1－5i. [示例2]　若复数 z 满足｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，则复数 z 对应的点 Z 的轨迹是 （　　） A. 2个点 B. 1个圆 C. 2个圆 D. 4个点 [错解]　由｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，可得（｜ z ｜＋1）（｜ z ｜－2）＝0，而｜ z ｜＋ 1＞0，所以｜ z ｜＝2，于是 z ＝±2，因此点 Z 的轨迹是2个点（－2，0）和（2， 0），故选A. [易错分析]　本题错解在于由｜ z ｜＝2得出 z ＝±2，其实质是混淆了实数的绝对值与 复数的模之间的区别，导致错误. 易错提醒 [答案]　B [正解]　由｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，可得（｜ z ｜＋1）（｜ z ｜－2）＝0，而｜ z ｜＋ 1＞0，所以｜ z ｜＝2，由复数模的几何意义可知，复数 z 对应的点到原点的距离等于 2，即点 Z 的轨迹是1个圆.故选B. 高考真题 高考真题 练习巩固 1. 在复平面内，复数 z ＝（ a 2－2 a ）＋（ a 2－ a －2）i对应的点在虚轴上，则 a 的值 为（　A　） A. a＝0或a＝2 B. a＝0 C. a≠1且a≠2 D. a≠1或a≠2 解析：∵复数 z ＝（ a 2－2 a ）＋（ a 2－ a －2）i对应的点在虚轴上，∴ a 2－2 a ＝ 0，∴ a ＝0或 a ＝2. A 2. 在复平面内，复数 z ＝ sin 2＋i cos 2对应的点位于（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：因为 ＜2＜π，所以 sin 2＞0， cos 2＜0.所以复数 z ＝ sin 2＋i cos 2在复平面 内对应的点位于第四象限. D 练习巩固 3. 在复平面内， O 为原点，向量 对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线 y ＝－ x 的对称点为点 B ，则向量 对应的复数为（　B　） A. －2－I B. －2＋i C. 1＋2i D. －1＋2i 解析：因为复数－1＋2i对应的点为 A （－1，2），点 A 关于直线 y ＝－ x 的对称点 为 B （－2，1），所以 对应的复数为－2＋i. B 练习巩固 4. “ a ＝－3”是“复数 z ＝（ a 2－9）＋（ a ＋1）i（ a ∈R）为纯虚数”的 （　A　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：当 a ＝－3时， z ＝－2i为纯虚数，但 z ＝（ a 2－9）＋（ a ＋1）i（ a ∈R） 为纯虚数时， a ＝±3，故选A. A 练习巩固 1. 已知 z 1＝5＋3i， z 2＝5＋4i，下列选项中正确的是（　D　） A. z1＞z2 B. z1＜z2 C. ｜z1｜＞｜z2｜ D. ｜z1｜＜｜z2｜ 解析：∵复数不能比较大小，∴A，B不正确； 又｜ z 1｜＝ ＝ ， ｜ z 2｜＝ ＝ ， ∴｜ z 1｜＜｜ z 2｜，故C不正确，D正确. D 练习巩固 2. 已知复数 z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－ ，则 为（　B　） A. －＋2i B. －－2i C. －＋3i D. －－3i 解析：设 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），则 ∴ b ＝2，∴ z ＝－ ＋2i，∴ ＝－ －2i，故选B. B 练习巩固 3. 当 ＜ m ＜1时，复数 z ＝（3 m －2）＋（ m －1）i在复平面内对应的点位于 （　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：由 ＜ m ＜1，得 ∴复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限. D 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$