精品解析：吉林省吉林市第五中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

名校调研系列卷·八年上期中测试数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. 13或 B. 13 C. D. 6或 6. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式：＝________________． 8. 点关于x轴对称的点在第______象限． 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为______． 10. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，则这个五边形的内角的度数为______． 11. 如图．在中，，．若，则______． 12. 若，则_________． 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC⊥BD，AC＝BD，若DE⊥BC，AB＝2.8，BC＝6，则CE的长为______． 14. 如图，在中，，是等边三角形，若，则线段的长为______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 某卡通形象如图所示，其中射线是的外角的平分线，且，请你说明呈现卡通形象头部的是等腰三角形的理由． 17. 如图所示，是的平分线上的一点．，，垂足分别为，．求证： ． 18. 如图，在中，垂直平分，分别交于，连接平分，交于F，若．求的度数； 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． （1）求这个多项式A； （2）求正确的计算结果． 20. 如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 22. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形，使点C，D在格点上，并且四边形为轴对称图形．(画出一种即可) （2）在图2中的线段上作点Q，使最短．(用实线保留作图痕迹) 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（空白部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知，，若种植草坪的价格为10元，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 24. （1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证： （3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 【教材呈现】教材P49-复习题13题： 已知，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，求的值． 已知，求的值． ， 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小亮完成解答过程． （2）若．则______，______； 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，直接写出的长． 26. 如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． （1）请直接用含，的代数式表示线段的长度； （2）当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； （3）若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·八年上期中测试数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D． 3. 如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点，   故选： A． 4. 如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应线段是解题关键．直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式即可得出答案． 【详解】解：∵和关于直线对称，交于点， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 五边形的周长为：． 故选：C． 5. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. 13或 B. 13 C. D. 6或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程求出即可．解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 【详解】解：是完全平方式，， ， 即或， 解得：或， 故选：A． 6. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 点关于x轴对称的点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到点关于x轴对称的点的坐标，再判断出点P对应点所在的象限即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，故点关于x轴对称的点在第二象限， 故答案为：二． 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时， ， 能组成三角形； 综上所述：第三边长是10， 故答案为：10． 10. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，则这个五边形的内角的度数为______． 【答案】116 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出五边形的内角和，即可求解． 【详解】解：五边形内角和为：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：116． 11. 如图．在中，，．若，则______． 【答案】54° 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可． 【详解】∵ AF=EF， ∴ ∠A=∠AEF， ∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°， ∴ ∠A=36°， ∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°． 故答案为：54°． 【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 12. 若，则_________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； 把化简为同底数幂的运算，由得，代入即可求解； 【详解】 ， ∴ ， ， ， ， 故答案为：16 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC⊥BD，AC＝BD，若DE⊥BC，AB＝2.8，BC＝6，则CE的长为______． 【答案】3.2 【解析】 【分析】先证△ABC≌△BED（AAS），得出BE＝AB＝2.8即可． 【详解】解：∵AC⊥BD，DE⊥BC， ∴∠BFC＝∠DEB＝90°， ∴∠DBC+∠C=90°，∠DBC+∠D=90° ∴∠D＝∠C， 在△ABC≌和△BED中， ∵， ∴△ABC≌△BED（AAS）， ∴BE＝AB＝2.8， ∵BC＝6， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2.8＝3.2， 故答案为：3.2． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，线段和差，掌握三角形全等判定与性质是关键． 14. 如图，在中，，是等边三角形，若，则线段的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、角所对的直角边与斜边的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质，可以得到的度数和，再根据直角三角形的性质，可以得到和的关系，然后根据，即可求得的长，从而可以得到的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和合并同类项法则． 先根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则去掉括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 当，时， 原式， ， ， ． 16. 某卡通形象如图所示，其中射线是的外角的平分线，且，请你说明呈现卡通形象头部的是等腰三角形的理由． 【答案】理由如下： ， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 根据得出，，再根据平分线得出，等量代换得出即可证明． 【详解】略 17. 如图所示，是的平分线上的一点．，，垂足分别为，．求证： ． 【答案】 证明：是的角平分线的一点， 且，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质求出三角形全等的条件是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，在中，垂直平分，分别交于，连接平分，交于F，若．求的度数； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的含义，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，先证明，再证明，再结合三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． （1）求这个多项式A； （2）求正确的计算结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【小问1详解】 根据题意得， ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，证明即可； （2）推导，即解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 21. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段； （2）6 【解析】 【分析】（1）由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； （2）由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边三角形， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键． 22. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形，使点C，D在格点上，并且四边形为轴对称图形．(画出一种即可) （2）在图2中的线段上作点Q，使最短．(用实线保留作图痕迹) 【答案】（1） 四边形即为所求． （2） 点Q即为若求， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用网格正方形的性质作轴对称图形和作垂线段． （1）利用网格正方形的性质，取点C，点D，连接，，．根据网格可知，，且，则四边形为矩形，即为轴对称图形． （2）利用网格正方形的性质，结合垂线段最短可取点，使交与点Q，点Q即为若求， 【小问1详解】 解：利用网格，取点C，点D，连接，，． 四边形即为所求． 【小问2详解】 利用网格，取点，使交与点Q，点Q即为若求， 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（空白部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知，，若种植草坪的价格为10元，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 【答案】（1） （2）12110元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． （1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去空白部分的面积，利用多项式乘多项式法则，单项式乘多项式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解． 【小问1详解】 解：． 答：计划种植草坪的面积为． 【小问2详解】 解：将，代入，， （元）． 答：种植应投入的资金是12110元． 24. （1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证： （3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____． 【答案】（1）3； （2）证明：如图2所示： ，，且， ， ， ， 在和中， ， （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）由，推导出，由，得，而，即可根据“”证明； （3）在上截取，连接，由，得，而，即可根据“”证明，则，由，设，则求得，则，所以，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解： 如图1：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：3； （2）略 （3）解：如图3， 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 即 ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 【教材呈现】教材P49-复习题13题： 已知，求的值． 【例题讲解】 小亮探究出解题方法如下： 已知，求的值． 已知，求的值． ， 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小亮完成解答过程． （2）若．则______，______； 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用． （1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可； （2）利用完全平方公式变形即可求解； （3）设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， （2）∵， ∴； ， 故答案为：，； （3）设，，则 由题意可得：，． ∴． ∵， ∴，即． 26. 如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． （1）请直接用含，的代数式表示线段的长度； （2）当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； （3）若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【答案】（1）线段的长度为 （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； 【小问2详解】 解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； 【小问3详解】 解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $