28.1 锐角三角函数-特殊角的三角函数值同步练习2024-2025学年人教版九年级数学下册

特殊角的三角函数数值 特殊角 30° 45° 60° siaA cosA tanA 1.计算： (1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°；(2). 2.若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30° 3.若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长． 【类型二】 判断三角形的形状 5.已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状． 方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0. 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 6.要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值． 【类型四】 利用特殊角的三角函数值进行实数混合运算 7.计算:-(π-)0+|-2|+4sin 60° 【类型五】 利用特殊角的三角函数值进行分式化简求值 8.先化简,再求值: ÷,其中x=2(tan 45°-cos 30°). 【类型六】 利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状 9.已知a=3,且(4tan 45°-b)2+=0,判断以a,b,c为边组成的三角形的形状. 【类型七】 利用三角函数值求三角形内角的度数 10.如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=1. 若BC=,求△ABC三个内角的度数; 【类型八】利用特殊角的三角函数值 利用特殊角的三角函数值求角： 11.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知∠BDC=45°,BD=10,AB=20.求∠A的度数.2-1-c-n-j-y 利用特殊角的函数值猜想平方关系(从特殊到一般的思想) 12.阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题. sin230°+cos230°=　　　　;①  sin245°+cos245°=　　　　;②  sin260°+cos260°=　　　　;③  …… 观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=　　　　.④  (1)如图所示,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想; (2)已知∠A为锐角(cos A>0)且sin A=,求cos A. 参考答案 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 1.(1)原式＝2××－××＝－＝－1；(2)原式＝＝2－3. 2.∵cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C. 3.∵tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A. 4.△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(＋1)． 5.非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形． 6.根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，得出tan15°＝，tan75°＝求出即可． 作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E. ∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB， ∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－. 在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2， 解得x＝2－3， ∴tan15°＝＝2－，tan75°＝＝＝2＋. 7.解:原式=4-1+2-+4×=5-+2=5+ 8.解:∵x=2(tan 45°-cos 30°)=2=2-, ∴原式=÷=·=-=-==. 9.解:∵(4tan 45°-b)2+=0,∴4tan 45°-b=0,3+b-c=0. ∴b=4,c=5.又∵a2+b2=9+16=25=c2, ∴以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形. 分析：先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出c,b的值,再根据三角形的三边关系判断出其形状. 10.解:过点A作AD⊥BC,垂足为D.当BC=时, ∵AB=AC=1, ∴AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°. ∴∠B=∠C=45°. 11.解:∵∠BDC=45°,∠C=90°, ∴△BCD为等腰直角三角形, ∴BC=CD.又∵BD=10,∴BC=10. 又∵AB=20, ∴sin A===. ∴∠A=30°. 12.解:1;1;1;1 (1)如图所示,过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°. ∵sin A=,cos A=, ∴sin2A+cos2A=+=, ∵∠ADB=90°, ∴BD2+AD2=AB2, ∴sin2A+cos2A=1. (2)∵sin A=,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角, ∴cos A==. 学科网（北京）股份有限公司 $$