4.1 因式分解 培优练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.1 因式分解 培优练习—北师大版数学八年级下册 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2024八下·锦州期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的概念 2．（2024八下·福田期中）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A：，因式分解不彻底，故选项A不符合题意； B：，因式分解错误，故选项B不符合题意； C：错误，没有全部做到因式分解，故选项C不符合题意； D：，故选项D符合题意； 故答案为：D． 【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式和完全平方公式）和十字相乘法. 对于选项A：利用提公因式法，提取公因式2，可得，再利用平方差公式：，整理得：，故选项A错误； 对于选项B：利用提公因式法，提取公因式x，可得：，故选项B错误； 对于选项C：是先进行乘法运算后再做加法，结果是多项式的和的形式，不符合因式分解的定义，所以该选项错误； 对于选项D：利用提公因式法，提取公因式-1，可得：，再利用完全平方公式：，整理得：，故该选项正确； 由此即可判断出答案. 3．（2024八下·成都期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念 4．（2024八下·重庆市期中）已知有一个因式为，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】因式分解的概念 5．（2024八下·重庆市期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解的概念 6．（2022八下·紫金期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，只有符合该定义， 故答案为：C． 【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式变为乘积的形式逐项判断即可。 7．（2023八下·达川期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 【答案】B 【知识点】因式分解的概念 8．（ 因式分解的意义 ）下列式子不能因式分解的是（　　） A．x2﹣4 B．3x2+2x C．x2+25 D．x2﹣4x+4 【答案】C 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故选项错误； B、3x2+2x=x（3x+2），故选项错误； C、x2+25不能分解，选项正确； D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误． 故选C． 【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及提公因式法即可作出判断． 二、填空题（每题4分，共32分） 9．（2024八下·青羊期中）若二次三项式可分解为，则m的值为　 　． 【答案】 【知识点】因式分解的概念 10．（2024八下·雁塔期中）若多项式因式分解为，则． 【答案】3 【知识点】因式分解的概念 11．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为　 　． 【答案】 【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的概念 【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=， ∴m=5，n=6， ∴m-n=5-6=-1. 故答案为：-1. 【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。 12．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=　　 　 【答案】15 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的， 他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， 同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9， ∴b=9， 因此a+b=15． 故应填15． 【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值． 13．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是　 　 【答案】4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1） 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：根据平方差公式，得， 4a2﹣1， =（2a）2﹣12， =（2a﹣1）（2a+1）， 故4a2﹣1=（2a﹣1）（2a+1）． 答案不唯一． 【分析】任选两式做差，例如，4a2；﹣1，运用平方差公式因式分解，即可解答． 14．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k=　 　 【答案】-2 【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念 【解析】【解答】解：根据题意得 （x+5）（x﹣3） =x2+2x﹣15， =x2﹣kx﹣15， ∴﹣k=2， 解得k=﹣2． 【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解． 15．（ 因式分解的意义 ）如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m=　 　，n=　 　． 【答案】﹣2；2 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得 x2﹣3x+n=x2+（m﹣1）x﹣m． m﹣1=﹣3，n=﹣m． 解得m=﹣2，n=2， 故答案为：﹣2，2． 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值． 16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　 【答案】-1 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3， ∴k=﹣4，b=3， 则k+b=﹣4+3=﹣1． 故答案为：﹣1 【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值． 三、解答题（共7题，共44分） 17．如果x﹣4是多项式2x2﹣6x+m的一个因式，求m的值． 【答案】解：2x2﹣6x+m=（x﹣4）（2x+2）， m=﹣8 【知识点】因式分解的概念 【解析】【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 18．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值． 【答案】解：（x+2）（x+4）=x2+6x+8=x2+（m+k）x+k， ， 解得． 【知识点】因式分解的概念 【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 19．（2023八下·揭西期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【知识点】因式分解的概念 20．（2024八下·建平期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】（1）4 （2）另一个因式为，b值为1 【知识点】因式分解的概念 21．（2024八下·郑州经济技术开发期中）仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n）， 对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）． 则＝＋（n＋2）x＋2n， ∴n＋2＝5，m＝2n， 解得n＝3，m＝6， ∴另一个因式为x＋3，m的值为6 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝　 　； （2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝　 　； （3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5． 【知识点】整式的混合运算；因式分解的概念；合并同类项法则及应用 22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴ 解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 2×，故 ． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 取x=1，得1+m+n﹣16=0①， 取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②， 由①、②解得m=﹣5，n=20． 【知识点】因式分解的概念 【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】解：设另一个因式为（x+a），得 2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a） 则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴ 解得：a=4，k=20 故另一个因式为（x+4），k的值为20 【知识点】因式分解的概念 【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 因式分解 培优练习—北师大版数学八年级下册 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2024八下·锦州期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八下·福田期中）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024八下·成都期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 4．（2024八下·重庆市期中）已知有一个因式为，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 5．（2024八下·重庆市期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．（2022八下·紫金期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）． A． B． C． D． 7．（2023八下·达川期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 8．（ 因式分解的意义 ）下列式子不能因式分解的是（　　） A．x2﹣4 B．3x2+2x C．x2+25 D．x2﹣4x+4 二、填空题（每题4分，共32分） 9．（2024八下·青羊期中）若二次三项式可分解为，则m的值为　 　． 10．（2024八下·雁塔期中）若多项式因式分解为，则． 11．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为　 　． 12．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=　　 　 13．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是　 　 14．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k=　 　 15．（ 因式分解的意义 ）如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m=　 　，n=　 　． 16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　 三、解答题（共7题，共44分） 17．如果x﹣4是多项式2x2﹣6x+m的一个因式，求m的值． 18．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值． 19．（2023八下·揭西期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 20．（2024八下·建平期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： （1）若二次三项式可分解为，则______． （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 21．（2024八下·郑州经济技术开发期中）仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n）， 对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）． 则＝＋（n＋2）x＋2n， ∴n＋2＝5，m＝2n， 解得n＝3，m＝6， ∴另一个因式为x＋3，m的值为6 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝　 　； （2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝　 　； （3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值． 22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴ 解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 2×，故 ． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$