2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）期中冲刺模拟测试卷03

卷03 2024-2025学年高二下学期期中冲刺模拟测试卷（北师大2019版） 一、单选题 1．经过点，圆心为的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中，常数项为（    ） A．24 B．6 C． D． 3．某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 4．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（ ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 5．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A． B． C． D． 8．若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（   ） A．k一定大于0 B．，，可能构成等比数列 C．若，，则为5的倍数 D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，则 B．已知变量x，y的n对样本数据，，…，，，变量x，y的线性回归方程为，若，，则 C．若随机变量服从二项分布：，则 D．某学生8次考试的数学成绩分别为：101，108，109，120，132，135，141，141，则这8次数学成绩的75%分位数为135 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（   ） A． B．双曲线C的离心率为2 C．直线倾斜角的取值范围为 D．若，则三角形的面积为2 11．已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（    ） A．若，则为“回归数列” B．若为等比数列，则为“回归数列” C．设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则 D．对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得 三、填空题 12．已知，，则的最小值为 . 13．若事件，相互独立，其中，，则 . 14．已知曲线，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 四、解答题 15．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； (3)从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 16．如图，五面体中，四边形是正方形． (1)求证：； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 17．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 18．已知函数. (1)求的单调区间； (2)记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 19．已知和分别为正项等比和等差数列，且． (1)求的前n项和． (2)将数列与去除公共项后从小到大排列为，记表示去除项在原数列中的项数n，设．求和的通项公式以及． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C A A A C AB AD 题号 11 答案 ACD 1．B 因为圆经过点，圆心为， 所以圆的半径长， 故圆的标准方程为． 故选：B 2．D 依题意，展开式中的通项公式为， 显然无解，由，得， 所以所求常数项为. 故选：D 3．C 设事件表示鱼被钓上来，事件表示随机钓一条鱼且该鱼是鲢鱼，则， 所以. 故选:C. 4．C 对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：C. 5．A 设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 6．A 因为平面，平面，所以向量在平面上的投影向量为， 故选：A. 7．A 将3代入直线方程可得， 易知切线的斜率为，所以； 因此与分别为. 故选：A 8．C A. 取，则，，为等比数列，，故A错误. B. ，与公差，矛盾，故B错误. C. 为5的倍数，故C正确. D. ，故D错误. 故选：C. 9．AB 对于选项A，因为，，， 所以，即，故选项A正确； 对于选项B，由题意得，解得，故选项B正确； 对于选项C，因为随机变量服从二项分布：，所以， 所以，故选项C错误； 选项选项D，由，可得这8次数学成绩的75%分位数为第6与第7个数据的平均数，故选项D错误. 故选：AB. 10．AD 如下图所示： 依题意可知； 设， 则，作差可得，即； 因此直线与的斜率分别为， 所以可得，即； 又，所以，可得A正确； 对于B，所以离心率，因此B错误； 对于C，易知双曲线的渐近线方程为， 直线过原点，依题意可知直线与双曲线有两个不同的交点， 因此直线的斜率为，所以直线倾斜角的取值范围为，可知C错误； 对于D，若，则， 根据双曲线定义以及A中的结论可知， 即，又； 可知， 因此三角形的面积为，可知D正确. 故选：AD 11．ACD 对于A，由，可得，所以必存在， 使得，故为“回归数列”，所以A正确； 对于B，由等比数列通项公式得，当时，， 显然对任意的，，故不是“回归数列”，所以B错误； 对于C，当时，， 假设总存在，则， 由于对任意的上式恒成立，不妨取，可得，存在， 再取，可得， 因为，而，所以， 当时，对任意的，由 可得总存在满足成立，所以C正确； 对于D，设等差数列， 总存在两个回归数列， 显然和是等差数列，使得， 证明如下：， 因为 所以数列{}前n项和，可得 ， 时，由为正整数，当时，， 所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”， 因为所以数列前n项和， 由于，则存在正整数，使得， 所以是“回归数列”，所以D正确. 故选：ACD. 12． . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 13．/ 因为，所以， 由题意相互独立， 所以, 所以， 故答案为： 14．/ 对函数求导得， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，故，当且仅当时取等号. 所以当时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为， 切线的方程为，即. 该切线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积. 故答案为：. 15．（1）如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ， 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联． （2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为； （3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知． 再根据结论二，知． 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11． 16．（1）因四边形是正方形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，则，故. （2）因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面，平面， 则，， 因，，则，则， 则以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为. 17．（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）将直线的方程与椭圆方程联立，可得， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）设点、，由韦达定理可得，， 因为直线不过点，则，解得， ，同理可得， 所以 . 即. 18．（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，， 因此函数有两个零点，且，即， 则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为 所以曲线在点处的切线方程为. 19．（1）由，则正项等比数列的公比，故， 由，则正项等差数列的公差，故， 所以，其前n项和. （2）令且，则， 所以满足条件的数对有， 对于数列去除项的对应值为，是首项为3，公差为2的等差数列，则， 对于数列去除项的对应值为，则， 由上分析，若两个数列最后一项为， 则数列前11项与前项有5项公共项，去除后共有项， 若两个数列最后一项为，则前13项与前项有6项公共项， 去除后共有项， 显然，故对应为的第项， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$