2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）期中冲刺模拟测试卷02

卷02 2024-2025学年高二下学期期中冲刺模拟测试卷（北师大2019版） 一、单选题 1．在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦距为4，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知某校仅有一栋高三教学楼，且该教学楼共有1号、2号、3号、4号四个入口．若来自高三（1）班、（2）班、（3）班、（4）班的四位同学进入该教学楼且不能走与自己班级号码相同的入口（例如高三（1）班的同学不走1号入口），则四位同学用不同的方式进入该教学楼的方法种数为（   ） A．16 B．128 C．64 D．81 4．由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法不正确的是（ ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 5．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 7．数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布，则越大时，测得的g在间的概率越大 C．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 D．已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1 10．已知曲线是平面内到定点与到定直线距离之和等于6的点的轨迹．点是曲线上一点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B． C．曲线围成的面积大于 D．曲线任意一点到原点的距离不小于 11．已知数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A． B．是公差为1的等差数列 C．数列的前2025项和为 D．数列的前项和 三、填空题 12．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 13．程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为 . 14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 四、解答题 15．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 16．已知，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 17．如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点. (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积. 18．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 19．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A A A A D CD BCD 题号 11 答案 AB 1．C 连接，如图， 因为为的中点， 所以．故选：C． 2．C 根据题意，可知，因为，所以，即， 所以椭圆C的离心率为，故选：C． 3．D 由题意每位同学都有种走法， 所以不同的方式有种. 故选：D. 4．A 回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时，两个变量为负相关，回归系数为负. 故样本相关系数与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确.故选：A. 5．A 将直线方程进行变形： 因为，所以可联立方程组， 解得..所以直线恒过定点. 已知圆：，则圆心，半径. 可得圆心与定点的距离为： . 因为，所以点在圆内部. 当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短. 此时弦长的一半、圆心与定点的距离以及圆的半径构成直角三角形，其中圆的半径为斜边. 根据勾股定理，弦长的一半为. 所以弦长的最小值为. 直线被圆截得的弦长的最小值为. 故选：A. 6．A 由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 7．A 因为为递增数列，所以， 因为，所以， 化简可得， 因为在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递增， 则数列单调递增，因为，所以当时，，所以. 故选：A 8．D 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 9．CD 对于A，，，故A错误； 对于B，当为定值时，正态密度曲线的峰值与成反比，越大，峰值越低，测得的g越分散，即在间的概率越低，故B错误； 对于C，做对的题数X服从二项分布，故，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 10．BCD 设曲线上任意一点， 则由题意可得，点的轨迹方程为， 当时，方程化为，即， 即，由二次函数的最值可知，； 当当时，方程化为，即， 即，由二次函数的最值可知，； 则曲线的方程为， 其图象为：    曲线由两个抛物线构成，其对称轴均为轴，且两段抛物线解析式不同，故其非中心对称图形，故A错误； 由表达式和图象可知，，故B正确； 令，得， 则，，，， 则四边形的面积为， 则曲线围成的面积大于，故C正确；    对于，其上点到的距离为 ， 则当时，距离有最小值； 对于，其上点到的距离为 ， 则当时，距离有最小值； 故曲线任意一点到原点的距离不小于，则D正确.故选：BCD 11．AB 对于A项，当时，； 当时，有. 检验当时，满足. 综上所述，.故A正确； 对于B项，由已知可得， 显然当时，都有. 所以，是公差为1的等差数列.故B正确； 对于C项，由A知，. 则. 所以，数列的前2025项和为.故C错误； 对于D项，由已知可得， 所以，. 故D错误.故选：AB. 12． 因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为： 13．26 由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700； “百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605； “百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155； 520、502、506、560、511、551、515、555. 则符合条件的三位整数的个数为26. 故答案为：26. 14．400 由题意知：成功次数，所以，， 要使，则，即：， 由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内， 则，所以抛掷的次数的最小值为400. 故答案为：400. 15．（1）①， 当时，，解得， 当时，②，式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列，所以； （2）， 所以， 因为在R上单调递增，所以只需求出的最大值， 其中， 又，所以当或时，取得最大值， 最大值为，所以的最大值为. 16．（1）由题意得， 因为直线的斜率为-2，且过点， 所以，即得，解得 （2）由（1）知，则． 设切点为，则切线斜率， 故切线方程为． 由切线过点，代入可得，即， 即，解得或， ∴切点为或， 则切线方程为或． 17．（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组，得到，由，则． 因为，且，， 所以，解得， 当时，，，所以直线， 联立方程，得到，则， 因为，所以为的中点，又为的中点，直线交于点， 所以点为的重心，所以 ， 同理当时，，综上可得． 18．（1）因为平面平面，，平面平面，所以平面， 作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，，， 所以，，，     设平面的法向量为， 所以，即，，解得， 到平面的距离为 （2）由（1）知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）“线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，． 由（2）知平面的法向量为， 所以．解得． 所以线段上存在点，即中点，使得平面． 19．（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()， 则，且两两互斥. 根据题意， . 由全概率公式，得 . （2）由题意知，则 ， 同理得， 所以加工这个零件耗时的分布列为： 35 32 30 （分钟）. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$