达标演练5 组合与组合数公式&达标演练6 组合的综合运用-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

8.解：(1)5A=6A1, 12.①②③④解析：由n的双阶乘n!！的定义知， 5·4- 4! 5 (20211!)×(2022!1)=2021×2019×2017×…× =6·5-(x-1DJ 1×2022×2020×…×2=2022!,故①是真命题： 化简得x2-11x+24=0,且x≤4，解得x=8(鲁去) 20221！=2022×2020X…×2=2m×10111, 或x=3, 故②是真命题： 所以方程的解为x=3. 2022!!的因数中有10，故其个位数是0，故③是真 (2)由A+1<140A知x≥3且x∈N”, 命题： 由排列数公式，原不等式可化为(2x+1)·2x·(2x 2023!！的因数中有5，且没有偶数，故其个位数是 -1)(2x-2)<140.x(x-1)(x-2). 5,故④是真命题. 整理得4x2-35.x+69<0,即(4x一23)(x-3)<0, 13.解：解法一：由于每两尊兵马俑之间可以站的人数 解得3Kr<得。 不会存在限制，所以可以先将兵马俑看成是可以活 动的，这样就产生了7！种站法，但是这之中三尊兵 因为x∈N”,所以x=4或x=5,所以不等式的解集 马俑之间就产生了3！种站法，而它们只能有一种 为{4.5. 9.C解析：由题意易知，一共有8个人需要排列，先确 韩列方套，图光王黄答集应有引-80特。 定贵州两名球员的顺序为A,在确定其余6人顺序 解法二：根据题意，设四个人依次为甲、乙、丙、丁， 为A,由分步乘法原理可得一共有A:A种顺序. 三尊兵马俑排成一排，有4个空位可用，甲在四个 10.ACD解析：对于A,由于甲和乙站在两端，故有A 空位中选1个，有4种选法，甲站好后，有5个空位 =2种站法， 可用，乙在5个空位中选1个，有5种选法，甲、乙站 再将其余四人全排列，有A=24种站法， 好后，有6个空位可用，丙在6个空位中选1个，有 所以一共有2×24=48种不同站法，故A正确； 6种选法，甲、乙、丙站好后，有7个空位可用，丁在 对于B,六名学生全排列有A=720种站法， 7个空位中选1个，有7种选法，则这4个人与三尊 甲站排头有A=120种站法，乙站排尾A=120种 兵马角排成一排留影时，有4X5×6×7=840种 站法， 排法. 甲站排头且乙站排尾有A=24种站法， 14.解：分三种情况：(1)任务A排在首位，将DE捆绑 所以甲不站排头，乙不站排尾有720一120一120十 在一起，与剩下任务全排列，有A·A=240种 24=504种不同站法，故B错误： 排法： 对于C,乙和丙相邻，丁和戊相邻，将他们分别捆绑 (2)任务A排在第二位，先从除DE的任务中选一 在一起，共有2A=4种方法， 个安排在首位，再将DE捆绑在一起，与剩下任务 将他们看作两个元素，与甲、己进行摔列，由于甲不 全排列，有A·A·A=192种排法： 站两端，故有A2A=12种方法， (3)任务A排在第三位，分两类：①DE在A之前， 所以甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻有4×12 有A·A=48种：②DE在A之后，有A·A· 一48种不同站法，故C正确： 对于D,将甲、乙、丙全排列，有A=6种站法， A=144种，共有48+144=192种： 将丁、戊、己全排列，也有A=6种站法， 由分类加法计数原理知，共有240+192+192=624 将甲、乙、丙插到丁、戌、己之间的空隙中，有2种 种不同的排法 方法， 达标演练五组合与组合数公式 所以甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三 名学生也两两不相邻有2×6×6=72种不同站法， 1.BD解析：AC与顺序有关，是排列问题，BD与顺序 故D正确. 无关，是组合问题. 2.C解析：由C=C,得m=2m-1或m十2 解析：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则 1=8得m=1或m=3. 有A=30种坐法， 3.C解析：由C如3=C+,得4m-3十3m十2=20或 而甲乙一定相邻的坐法有5A=10种坐法， 4n-3=3n+2,则n=3或n=5.当n=3时，C"=C 则甲乙中间有空位的概率为P-30-10-2 3031 8X7X6-56:当m=5时，C=C-56. 3×2×1 4 4.D解析：确定三角形的个数为C。=120. 门，有CC种选法.因此，共有(CC+CC)种选 5.B解析：根据题意，分3步进行分析：①语文、数学、 法，故B错误：对于C,六门课程中任选三门有C 外语三门必考科目，有1种选法；②在化学、生物、政 种选法，物理、历史同时选有C种选法，则物理和 治、地理四门科目中必选两门，有C=6种选法：③ 历史不能同时选有(C一C)种选法，故C正确：对 在物理，历史两门科目中必选一门，有C=2种选 于D,应分三种情况：①只选物理且物理和历史不 法.则这名学生的不同选科组合有1×6×2=12 同时选，有C种选法：②只选化学，不选物理，有C (种). 种选法：③若物理与化学都选，测有C种选法，故 6.31解析：由题意及组合数公式知 共有(C+C+C)种选法，故D错误， f0≤17-n≤2m, 11.2100解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽 0≤3n≤n+13,解得n=6. 样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2 n∈N, 人，共有CC号=2100（种）抽法. 所以原式=C是+C18=C12+C=12+19=31. 12.260解析：若C入选主要景点，有CC=200种选 7.2解析：从6名学生中任选3人，共有C=20种选 法，若C没入选主要景点，有CC=60种选法，故 法，设男生人数为x,若x=0,1,2,则从中任选3人， 不同的选法种数为260. 必定至少有一名女生，与题意不符，故3≤n<6,则女 13.解：(1)当任取的两点同在直线a或直线b上时，共 生有(6-x)人，依题意C-C1=16,即6×5×4=x 能确定2条不同直线，当任取的两点，一点在直线 (x-1)(x-2)+16×6,所以x(x-1)(x-2)=24, 上，一点在直线b上时，共能确定不同直线CC= 解得x=4,即女生有2人. 20条，因此共能确定不同直线2+20=22条. 8.解：(1)由组合数的意义可得 (2)在直线a上任取一点，在直线b上任取两点，则 19 10≤38一1≤31'即 n≤38， 能组成CC=40个不同的三角形，在直线a上任 0≤3n≤21+n, 21 取两点，在直线b上任取一点，则能组成CC=30 0≤n≤2' 个不同的三角形，因此一共可以组成40+30=70 21 个不同的三角形. 14,解：(1)方法一：至少有一名组长含有两种情况：有 ,n∈N°，n=10, 一名组长和两名组长，故共有CC2十CC2= ·原式=C+C赠=C8+C=30X29 31=466 2079种. 2×1 方法二：至少有一名组长可以采用排除法，有C一 (2原方程可我形为号+1-9c,-c C.- C=2079种 即m-1)(n-2)(n-3)(n-40(n-5) (2)至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团 5! 员，有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，故 _14.m-3)(m一4)n-5》化简整理，得n2-3m 共有CC+CC%+CC+C:C=2534种. 6 3! (3)既要有组长当选，又要有女团员当选含两类 54=0.解得n=9或n=一6（不合题意，舍去），所以 情况： n=9. 第一类：女组长当选，有C种： 9.B解析：依题意，求电平信号种数可以有3类办法， 第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男 电平信号的6个数字中有4个0，有C种，电平信号 团员和5名女团员中选5人， 的6个数字中有5个0，有C种，电平信号的6个数 其中至少选择1名女团员，有C2一C种. 字中有6个0，有C种，由分类加法计数原理得满足 故共有Ci:+Ci2-C=2058种. 条件的电平信号种数为C+C+C%=15+6+1 达标演练六组合的综合运用 =22 10.AC解析：对于A,从六门课程中选三门，共有C 1.B解析：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、 种选法，故A正确；对于B,只选择物理、化学中的 乙2人，每人得2本，分2步进行分析：①在4本书中 一门、除物理，化学之外的其他课程中任选两门，有 任选2本，分给甲，有C=6种情况，②剩下的2本 CC种选法：物理、化学都选，其他课程中任选一 送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法 ·5 2.D解析：根据题意，分三种情况： 根据分类加法计数原理，可得红球的个数不比白球 ①A公司承包2项工程，剩余4项工程B公司承包， 少的取法有1十24+90=115（种）. 则有C=15种方式， (2)总分不少于7分有三种情况：取到4个红球和1 ②A公司承包3项工程，剩余3项工程B公司承包， 个白球，取到3个红球和2个白球，取到2个红球和 则有C=20种方式， 3个白球. ③A公司承包4项工程，剩余2项工程B公司承包， 若取出的为4个红球和1个白球，则取法有CC=6 则有C=15种方式， (种)： 所以承包方式共有15十20十15=50种. 若取出的为3个红球和2个白球，则取法有CC= 3.A解析：以取出的编号为奇数的球的个数进行分 60(种)： 类.第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数， 若取出的为2个红球和3个白球，则取法有CC 有C%C=30(种)取法：第二类，取出的5个球的编号 120(种). 中有3个奇数，有CC=200(种)取法：第三类，取出 根据分类加法计数原理，可知总分不少于7分的取 的5个球的编号全是奇数，有C=6(种)取法.根据 法有6十60十120=186（种）. 分类加法计数原理知，共有30十200十6=236（种）9.A解析：根据题意，分2步进行分析：①将6位志愿 取法。 者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，有 4.B解析：计算最短路径条数需要两步，从A到B的 C.CiCC AA =45种分组方法： 最短路径条数为C,从B到C的最短路径条数为 C,所以可以选择的最短路径条数为CC=18. ②将分好的4组全排列，安排到四个不同场馆，有A 5.BC解析：根据题意，四个不同的小球放入三个分别 =24种情况.由分步乘法计数原理，则有45×24= 标有1一3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中 1080种分配方案. 有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有 10.ABC解析：对于A,五个球全部投入4个不同的盒 两种解法：(1)分2步进行分析：①先将四个不同的 子里，允许有空盒，每个球都有4种投法，故共有4 小球分成3组，有C种分组方法：②将分好的3组 种放法，A正确：对于B,五个球全部投入4个不同 全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法，则没有 的盒子里，没有空盒，则有2个球投入一个盒中，此 时共有CA种不同的放法，B正确：对于C,将其 空盒的放法有CA种. 中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投 (2)分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3 入)，先选出4个球，再选出一个盒子，共有CC种 个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的 放法，C正确：对于D,全部投入2个不同的盒子里， 小盒中，有CC种情况；②将剩下的2个小球全排 每盒至少一个，先选出2个盒子，由C种选法，再 列，放入剩下的2个盒子中，有A种放法：则没有空 将5个球分成2组，若2组球个数比为1：4，则有 盒的放法有CCA种. C种分法，若2组球个数比为2：3，则有C种分 6.240解析：从10个球中任取3个，有C。种方法.取 法，再将2组球放入2个盒子，故此时共有C(C十 出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2 C)A种放法，D错误. 种..共有2C。种方法，即240种. 3 7.225解析：从垂直于x轴的6条直线中任取2条， 11.14 解析：从8个点中任取3个点，共有C=56种 从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相 情况，这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上的有 交组成一个矩形，所以共有CC=225个. 8.解：(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的 3X心=12异，则所家的餐率为P是是 取法可分为三类：4个红球，3个红球和1个白球，2 12.600解析：分两类：第一类，甲、乙只有一人参加， 个红球和2个白球. 有CCA=2×10×24=480种.第二类，甲、乙都 若取出的为4个红球，则取法有1种； 参加，有CA2A=120种，所以共有480十120 若取出的为3个红球和1个白球，则取法有CC 600种. 24(种)： 13.解：由题意知可分为3类：第一类，甲、乙、丙、丁各 若取出的为2个红球和2个白球，则取法有CC 自站在一级台阶上，共有A=24种站法：第二类， 90(种). 有2人站在同一级台阶上，剩余2人站在另一级台 ·6· 9.C解析：11”+C·111+C·112+…+C1: 阶上，共有·CA=36种站法：第三类，有2 11-1=C”·11”+C·11"-1+C2·11"-2+…+ 人站在同一级台阶上，剩余2人各自站在一级台阶 C%-1·11+C0-2=(11+1)"-2=12"-2=(13- 上，共有CCA=144种站法.综上可知，不同的站 1)°-2=C·13”-C·13"1+…+(-1)”-1· 法总数是24十36十144=204（种）. C1·13+(-1)"·C-2. 14.解：将10个名额分给6个班，每班至少一个名额， 相当于将10个相同的小球分成6组，每组至少1 因为n为奇数，则上式=C9·13”-C·13-1十… 个，可将10个小球排成一行，然后在除两端的9个 +(-1)"-1·C1·13-3=[C9·13"-C·13"- 空位中选取5个，插入隔板，共有C。=126种方法. +…+(-1)"-1·C”1·13-13]+10. 若高三(1)班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7 所以(11+C·11-+C·11-2+…+C-1·11 个名额分给5个班，共有C=15种方法，从而高三 一1)除以13的余数是10. 155 (1)班拾好分到3个名颜的概率为2642： 10.AD解析：因为等式右边x的系数为1，所以a= 1,A正确：(x十1)中x的系数为C=6,(x-1) 达标演练七二项式定理 中x的系数为C(-1)'=5,所以a,=6-5=1,B 错误：(x+1)-(x-1)i=x+a1x5+a2x+ 1.B解析：由二项式定理可知，(x一2)=x一6.x2十 aax3+a,x2+asx+ag中，令x=1得：(1+1)°=1 12x一8，故6x”不是展开式的项. 2.A解析：因为(a十b)°的二项展开式的通项为 +a1+a2+a:十a,+a:+a6,所以a1十a2十as+a T,+1=Cioa0-b,r=0,1,2,…,10,所以第3项为 十a,十a6=63,令x=0得：a6=(0十1)-(0-1) T3=Cioab. =1+1=2,所以a1+a2十ag十a,+a5=63-2= 3.D解析：由题意得二项展开式的通项公式为T,+1 61,C错误；(x+1)-(x-1)3=x+a1x3+a:x =C·(2)·( 十a1x3十a4x2十ax+a6中，令x=-1得：(-1十 ）=C%·2-r·x5-r. 1)-(-1-1)°=1-a1十ag-ag十a1-a6+a6' (-1)y·x-w=C%·x5-r·2"-·(-1),r=0,1, 即-a1十a2一ag十a,一a5十ag=31,而aa=2,所以 2,…,6,令6-3r=0,r=2,则常数项为T=C· -a1+ag-a1十a,-as=29,a1-a十a3-a,十a 2·(-1)2=240. =-29,D正确. 4.D解析：(1十i)展开式中的第3项为C=-15. 11.207解析：x应是(1十x)°中含x°项与含x 5AC解析：二项式(3r2-)的展开式的莲项为 项..其系数为C。十C(-1)=207. 12.-30解析：由于(x-y2-1)表示5个因式(：x一 T+1=C·3-4·(-2)·x0-0,k=0,1,2,3,4, y2一1)的乘积，故其中有2个因式取一y2,2个因式 5,当10一3k=1时，k=3,知A正确：当10一3k= 取x,剩余的一个因式取一1，可得含xy的项，故 一2时，k=4,知B正确：当10一3k=4时，k=2,知 展开式中x”y的系数为C号(-1)2·C号·(-1)= C正确4当10-3改=一4时，k-兰，知D错误。 -30. 67督标：二项式（一启）广民开式中-共有n十】 13.解：1)T=C(5)·x=C·(2）) 项，所以n十1=8，解得n=7. ,k=0,1,2,,n, 7.21 解析：三顶式(+)的晨开式的道项工1 :第7项为常数项，.n-8=0,n=8. 令7-2r=5,即r=1.T2=3×C×x°=21.x°，.x3的 系数为21. 2,…,8, 8.解：1=C=C,4=C1=C,6=C, .原式=C(x-1)·1°+C(x-1)3·1+C(x 要使T1为有理项，只将4气华为整数，且0<水 -1)2·12+C(x-1)·1+C·1=[(x-1)+ ≤8， 1]'=x. .当k=0,3,6时，T+1为有理项，达标演练五 组合与组合数公式 10,(多动)甲学生盟在物理、化学、生物、政治、厅史、地理这大门课程中莲三门作为选考样目，谢下列 说法正确的有 [基础巩固] A.若任意远择三门保程，则有C种选齿 1,(多婆)下列这项是组合同愿的是 且若物再和化学至少选一门期有CC种运法 A.从甲.乙，内8名同学中选面2名同学去参如两个社区的人口普查，有多少种不同的选法 C,若物理和历史不能同时选，则有(（一C叫）种选法 且，从甲，乙，丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法 D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则有(CC一C)种珠法 C.3人去千5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 11,某单收有15名成员，其中男性10人，女性5人，堤需要从中这出6名成员组成考察团外曲参混学 口3木相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法 习，如果按性制分层，并在各层擅比例团机抽样，喇此考察团的组成方法种数是 2.已短C听-Cg,则w等于 12,某旅游团计划去北煮旅静，因时可原因，要从北京的9个数点(A,H,C,D,E,F,G,H,)中法出 A.1 B4 C1成3 D3减4 4个作为主要登点，并从余下景点中远出3个作为等选景点，若A,B不能作为主要景点，C不衡 3.若C增'-C,期Cg的值为 作为各选最点，则不同的选法静数为 A,28 B30 C.56 D.60 13.如图，平行直线4,6上分别有4个和5个不阿的点. 4,调上有10个点，过每三个点两一个周内接三角形，期一共可以而的三角形个数为 (1)任取这9个点中的两个连一条直线，期一共可以连多少条不民的直线？ A.720 B360 C.240 D.12o ()任取这9个点中的三个首尾相连，期一共可以组或多少个不同的兰角形智 5,某地区高考改氧，实行“3十2十1“根式，围“3指语文，数学、外语三门必考科日，“2“指在化学，生 物，政治，粮乳四门科日中经选两门，1”指在物理，历史两门科日中必远一门，则一名学生的不同 选科组合的种数为 A.8种 D12种 C.16即 D2如种 6.C+Ca= 了，某科技小组有兴名学生，观从中透出三人去参观展宽，至少有一名女生入选的不同意法有16种，则 流小组中的女生人数为 8(1计算，C增+出 来等火二-号中的：量 14某察其有团员14人，其中男团员8人，女丽员6人，并且男，女团员各有一名姐长，观从中选后人 C 参射学橙的团员座该会。 (1)若至少有1名相长当选，求不问的法法总数： (2)若系多有3名女团员当选，求不句的选法总数： (3)若原要有用长当选，又要有女闭员当选，求不可的志法总数 [能力提升] B,电子设备中电平管号用电压的高与低来表示，高电瓜信号尼为数学1，（电压信号记为数学0，一 由0和1国成的不同#列代表不同的电平信号，所用监字只有0和1，例如01100就是一个信息 某电平信号由5个数学构成，已知其中至少有四个0，别澜足条件的电平信号种数为 A.42 B22 C.20 D.15 9 10 达标演练六组合的综合运用 [能力摄升] 9.将6位志愿着分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分处国个不同场馆服务，不同的分配 [基甜巩团] 方案有 1.有4本不可的书，平均分给甲，乙2人，则不同的分法种数有 A.100种 且.1280肿 C.21600 D.4320静 A.3 86 C.18 D.24 10.《多迭》瑶有带有偏号1,2,3,4.5的五个球及四个不同的盒子，则下列表连正喻的有 工已知A,B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有 A,全部投人4个不词的盒子里，允许有空盒，其有4种放法 A21种 B.70种 C.A8种 D.50种 B全霉投人4个不间的盒子里，段有鉴盒，共有CA:种不间的败法 3.从编号为1,2,3，…：10,11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数 C将其中的4个球投人4个盒子里的一个（另一个城不教人），共有种成法 为 D,全部授人2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有CA:种较法 A.28 H328 C.46g D,2640 11,如图，奥林匹克标志由五个互扣的环图组成，五环象狂置大测的团结，五个奥林 4.如图为某地街道路假图，甲从街道的A处出发，先到达B处与乙会和，再一起去到C处，属可以选 匹克环总共有8个交点，从中任取多个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克 择的量短路径条数为 《》 环上的氧*是， 12.某班班会准备从甲，乙等了名学生中遂豫4名学生发言，要米甲，乙两名同学至少有一人参加，且 若甲，乙同时参知，则趋的爱言不能相复，则不同的发言序静数为 13.甲，乙，丙.丁4人站现共有4级的台费上，看据吸台阶最多站2人，司一领台阶上的人不区分站的 A.20 k.18 C,12 D.9 位毁，荆不同的站法总数是多少？ 5.(多达》将四个不同的小球放人三个分薄标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？ 下列结论正稀的有 A.CCicc 五.CA C.CCA D.18 6.将标号为1,2，，10的10个球故人标号为1,2，·，10的10个盒子内.每个盒内放一个球，期恰好 有名个球的标号与其断在盒子的标号不一致的敛人方法共有种.（以数字作答》 7.在直角坐标平推0y上.平行直线r=m(w=0,1,2…,5)与平行直线y■{w=0,1,2,ms)组 属的图形中，矩形共有个 8一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球 14.某校得到北京大学拾的10个推率名丽，观准备将这10个操荐名丽分配给高三年级的G个覆级 1)从中任夏4个球，红球的个数不比白味少的取法有多少种？ (每班至少一个名额)，求黄校高三(1)整恰好分到3个名额的极米， (2》若真到一个红球记2分，取到一个白球记1分，从中任取5个球，则总分不少于7分的取法有多 少种？ 12