精品解析：河南省濮阳市濮阳县实验中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024—2025学年上学期学情调研卷（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2或 D. 4或 4. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 5. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 6. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化成一般式：______． 12. 若抛物线的对称轴是直线x=4，则m的值为__． 13. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 14. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝_____． 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）（用公式法解）； （2）． 17. 已知二次函数，解决以下问题： （1）将其化成的形式：______； （2）用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 （3）增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根为． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长． 19. 已知抛物线（为常数）． （1）若点在该抛物线上，求的值； （2）若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 20. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 21. 【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）写出方程的“对称方程”是______； （2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 23. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”． （1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数； （2）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“和谐二次函数”，求函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期学情调研卷（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，注意．形如的式子是一元二次方程，根据定义选择即可． 【详解】解：．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．该方程化简为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．利用解一元二次方程－因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴或， ∴，， 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 4. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 5. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由题意可得，再代入到代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：B． 6. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 9. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 10. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化成一般式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），移项时要注意符号的变化．根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般式为， 故答案是：． 12. 若抛物线的对称轴是直线x=4，则m的值为__． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的公式求解即可 【详解】对称轴 ， 所以 ． 故答案为：-8 【点睛】本题考查抛物线的性质，牢记抛物线的对称轴公式是解题的关键． 13. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 14. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可知：＝（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝（x+1）2+（x﹣1）2＝2x2+2＝6， 即x2＝2，解得：x＝或x＝﹣． 故答案为±． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用以及解一元二次方程，理解并运用新定义是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小是解题的关键． 根据题意可知抛物线的开口向上，对称轴，再根据自变量时，，即可得出m的取值范围． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为，开口向上， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）（用公式法解）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ∴， ∴， 即，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 17. 已知二次函数，解决以下问题： （1）将其化成的形式：______； （2）用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 （3）增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【答案】（1） （2） 填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 18. 已知关于x的一元二次方程的一个根为． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长． 【答案】（1）a的值为2，方程的另一个根为； （2）三角形的周长为8或7． 【解析】 【分析】（1）将代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再将a的值代入原方程解一元二次方程即可得出结论； （2）结合（1）以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：将代入方程中，得：， 解得：， ∴原方程为， 解得：． ∴a的值为2，方程的另一个根为； 【小问2详解】 解：结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3， ∴或． ∴三角形的周长为8或7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及三角形三边关系，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 19. 已知抛物线（为常数）． （1）若点在该抛物线上，求的值； （2）若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握顶点坐标公式是解此题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式求解即可； （2）根据顶点坐标公式可得m、n关于b 的关系式，进一步即可得出结果． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由抛物线顶点坐标公式得：， ， 故． 20. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】（1）证明：∵m≠0，=m2﹣4m+4=（m﹣2）2， 而（m﹣2）2≥0，即， ∴方程总有两个实数根； （2）正整数m的值为1或2 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 【详解】（1）略 （2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=， 当m为正整数1或2时，x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2． 21. 【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）写出方程的“对称方程”是______； （2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为．（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】 【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： 化简得： ， 或（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）∵进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为： 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 23. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”． （1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数； （2）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“和谐二次函数”，求函数的表达式． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，对称轴直线． （1）写出顶点在原点，开口方向向上的两个二次函数解析式即可； （2）先把点坐标代入可计算出，则，再求出的顶点坐标，根据新定义得到二次函数的顶点坐标为，利用二次函数图象上点的坐标特征和对称轴方程解得2，则函数的表达式为． 【小问1详解】 解：“和谐二次函数”的函数．如和． 【小问2详解】 将点代入，得， 解得：． ∴． 则． 的顶点坐标为， ∵与为“和谐二次函数”， 的顶点坐标为， ， 解得：． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $