章末检测试卷(一) 导数及其应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

章末检测试卷(一)　[时间:120分钟　分值:150分] 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.一质点做直线运动,由起始点经过t 秒后的位移s=t3-6t2+32t(单位:米),则速度为0(单位:米/秒)的时刻是(　　) A.t=4 秒 B.t=8 秒 C.t=4 秒与t=8 秒 D.t=0 秒与t=4 秒 答案　C 解析　s'=t2-12t+32, 令s'=0,得t=4或t=8. 2.曲线f(x)=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角θ为(　　) A.135° B.120° C.60° D.45° 答案　D 解析　由于f'(x)=3x2-2, 故有tan θ=f'(1)=1, 所以切线的倾斜角θ=45°. 3.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　f'(x)=3x2+2ax+3. ∵f(x)在x=-3时取得极值,即f'(-3)=0, ∴27-6a+3=0,∴a=5.经检验,当x=-3时取得极值,符合题意. 4.若函数f(x)=-x3+ax在[1,+∞)上是单调函数,则a的最大值是(　　) A.0 B.3 C.1 D.-1 答案　B 解析　f'(x)=-3x2+a,由题意得-3x2+a≤0在区间[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在区间[1,+∞)上恒成立,据此可得a≤3, 即a的最大值是3. 5.函数f(x)=的部分图象大致为(　　) 答案　C 解析　f(x)=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(-x)=-=-f(x),∴f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;f(1)=<1,故排除A;∵当x>0时,f'(x)=,又当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,故排除D. 6.若函数f(x)=(x>1)有最大值-4,则实数a的值是(　　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 答案　B 解析　由函数f(x)=(x>1),得f'(x)==,要使得函数f(x)有最大值-4,则a<0, 则当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f(2)==-4,解得a=-1,满足题意. 7.设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),e为自然对数的底数.若f'(x)ln x>,则(　　) A.f(2)<f(e)ln 2,2f(e)>f(e2) B.f(2)<f(e)ln 2,2f(e)<f(e2) C.f(2)>f(e)ln 2,2f(e)<f(e2) D.f(2)>f(e)ln 2,2f(e)>f(e2) 答案　B 解析　设F(x)=, 则F'(x)=, 则由条件知F'(x)>0, 所以F(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以F(2)<F(e)<F(e2), 即<<, 即f(2)<f(e)ln 2,2f(e)<f(e2). 8.已知函数f(x)=xex-x-ln x-a,若f(x)=0在x∈(0,e)上有实数解,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,+∞) B. C.[1,+∞) D.[e,+∞) 答案　C 解析　根据题意,f(x)=0,所以a=xex-x-ln x,令g(x)=xex-x-ln x,x∈(0,e), 则函数f(x)=xex-x-ln x-a在(0,e)上存在零点等价于直线y=a与g(x)的图象有交点. g'(x)=ex+xex-1-=ex(x+1)-=(x+1)=, 令h(x)=xex-1,x∈(0,e),则h'(x)=ex+xex>0,故h(x)在(0,e)上单调递增, 因为h(0)=-1<0,h(1)=e-1>0,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得h(x0)=0, 即x0-1=0,即=,x0=-ln x0, 所以当0<x<x0时,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x0<x<e时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(x0)=x0-x0-ln x0=1-x0+x0=1, 又x→0时,g(x)→+∞,故当x∈(0,e),则g(x)∈[1,+∞),所以a≥1. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9. 设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如图所示,则(　　) A.函数f(x)有极大值f(3) B.函数f(x)有极小值f(-) C.函数f(x)有极大值f() D.函数f(x)有极小值f(-3) 答案　AD 解析　由题图可知,当x<-3时,y=xf'(x)>0,即f'(x)<0; 当-3<x<3时,f'(x)≥0;当x>3时,f'(x)<0. 故f(x)的极大值是f(3),f(x)的极小值是f(-3). 10.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)(　　) A.在区间内无零点 B.在区间内有零点 C.在区间(1,e)内无零点 D.在区间(1,e)内有零点 答案　AD 解析　由题意得f'(x)=(x>0), 令f'(x)>0,得x>3; 令f'(x)<0,得0<x<3; 故函数f(x)在区间(0,3)上单调递减, 在区间(3,+∞)上单调递增, 所以f(x)的极小值为f(3)=1-ln 3<0, 又f(1)=>0,f(e)=-1<0, f=+1>0. 所以f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点. 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x D.f(x)= 答案　ACD 解析　对于A,f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,有“巧值点”; 对于B,f'(x)=-e-x,-e-x=e-x无解,无“巧值点”; 对于C,f'(x)=,方程ln x=有解,有“巧值点”; 对于D,f'(x)=-,由=-,得x=-1,有“巧值点”. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数f(x)满足f(x)=f'sin x-cos x,则f'=　　　　.  答案　 解析　因为f(x)=f'sin x-cos x, 所以f'(x)=f'cos x+sin x, 则f'=f'cos +sin , 即f'=. 13.若函数f(x)=ex-e-x-2x,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,1) 解析　由f(x)=ex-e-x-2x可得,函数的定义域为R,f'(x)=ex+e-x-2. 因为ex+e-x≥2,当且仅当x=0时等号成立, 所以f'(x)≥0, 则函数f(x)=ex-e-x-2x为R上的增函数. 所以f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1. 14.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　,　　　　　　.  答案　y=x　y=-x 解析　先求当x>0时,曲线y=ln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0), 则由y'=,得切线斜率为, 又切线的斜率为,所以=, 解得y0=1,代入y=ln x,得x0=e, 所以切线斜率为,切线方程为y=x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y=-x. 综上可知,两条切线方程为y=x,y=-x. 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(13分)已知函数f(x)=aln x+x2-3b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y-4=0. (1)求实数a,b的值;(5分) (2)若曲线C:y=-x3-4b,求曲线C过点(2,4)的切线方程.(8分) 解　(1)由题意,得f'(x)=+2x, 因为直线2x+y-4=0的斜率为-2,且过点(1,2), 所以即解得 (2)由(1)知,曲线C:y=+, 令g(x)=y=+,则g'(x)=x2. 设切点坐标为(x0,y0), 则切线斜率k=g'(x0)=, 故切线方程为y--=(x-x0). 由切线过点(2,4), 代入解得x0=2或x0=-1, 所以切点坐标为(2,4)或(-1,1), 则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 16.(15分)已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调递增区间;(7分) (2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值.(8分) 解　(1)由题意得,f'(x)=6x2-2ax, f'(1)=6-2a=0,则a=3. 经检验,x=1是函数f(x)的一个极值点. 则f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x(x-1), 令f'(x)=0,则x=0或x=1, 当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0; 当x∈(0,1)时,f'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(1,+∞). (2)由(1)可知,当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示: x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f'(x) + 0 - 0 + f(x) -1 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 8 当x=-1时,f(-1)=2×(-1)3-3×(-1)2+4=-1; 当x=1时,f(1)=2-3+4=3, 所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的最小值为-1. 17.(15分)设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求f'(2)的值;(4分) (2)求f(x)的单调区间和极值;(5分) (3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根,求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)∵f'(x)=3x2-6,∴f'(2)=6. (2)f'(x)=3(x2-2), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=, 当x<-或x>时,f'(x)>0; 当-<x<时,f'(x)<0, ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-),(,+∞),单调递减区间是(-,). ∴当x=-时,f(x)取得极大值为 f(-)=5+4, 当x=时,f(x)取得极小值为f()=5-4. (3)令g(x)=f(x)-a,则g'(x)=f'(x), 由(2)可得g(x)的极大值为5+4-a, 极小值为5-4-a, ∵f(x)=a,即g(x)=0有3个不同的实根, ∴ 解得5-4<a<5+4, ∴实数a的取值范围是(5-4,5+4). 18.(17分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(8分) (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定当r和h为何值时该蓄水池的体积最大.(9分) 解　(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元, 又200πrh+160πr2=12 000π, 所以h=(300-4r2), 从而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 因为r>0,又由h>0可得0<r<5, 故函数V(r)的定义域为(0,5). (2)因为V(r)=(300r-4r3),r∈(0,5), 所以V'(r)=(300-12r2). 令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去). 当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增; 当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上单调递减. 由此可知,V(r)在r=5处取得极大值,也为最大值,此时h=8, 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 19.(17分)(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3. (1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值；(5分) (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(5分) (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围.(7分) (1)解　当b=0时，f(x)=ln+ax， 其中x∈(0，2)， 则f'(x)=++a=+a，x∈(0，2)， 因为x(2-x)≤=1， 当且仅当x=1时等号成立， 故f'(x)min=2+a， 而f'(x)≥0， 故2+a≥0，即a≥-2， 所以a的最小值为-2. (2)证明　f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0，2)， 设P(m，n)为y=f(x)图象上任意一点， P(m，n)关于点(1，a)的对称点为 Q(2-m，2a-n)， 因为点P(m，n)在y=f(x)的图象上， 故n=ln +am+b(m-1)3， 而f(2-m)=ln +a(2-m)+b(2-m-1)3 =-+2a， =-n+2a， 所以点Q(2-m，2a-n)也在y=f(x)的图象上，由点P的任意性可得y=f(x)的图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a). (3)解　因为f(x)>-2当且仅当1<x<2， 故x=1为f(x)=-2的一个解， 所以f(1)=-2，即a=-2. 此时f(x)>-2，即ln +2(1-x)+b(x-1)3>0， 设t=x-1∈(-1，1)， 则ln -2t+bt3>0. 设g(t)=ln -2t+bt3，t∈(-1，1)， 则g'(t)=-2+3bt2 =. 当b≥0时， -3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0， 故g'(t)≥0恒成立， 故g(t)在(-1，1)上为增函数， 又g(0)=0，所以g(t)>0当且仅当0<t<1， 即f(x)>-2当且仅当1<x<2； 当-≤b<0时， -3bt2+2+3b≥2+3b≥0， 故g'(t)≥0恒成立， 故g(t)在(-1，1)上为增函数， 又g(0)=0，所以g(t)>0当且仅当0<t<1， 即f(x)>-2当且仅当1<x<2； 当b<-时， 则当0<t<<1时，g'(t)<0， 故在上，g(t)单调递减， g(t)<g(0)=0，不符合题意，舍去， 综上，b≥-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 章末检测试卷(一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.一质点做直线运动,由起始点经过t 秒后的位移s=t3-6t2+32t(单位：米),则速度为0(单位：米/秒)的时刻是 A.t=4 秒 B.t=8 秒 C.t=4 秒与t=8 秒 D.t=0 秒与t=4 秒 √ s'=t2-12t+32, 令s'=0,得t=4或t=8. 13 14 15 16 17 18 19 由于f'(x)=3x2-2, 故有tan θ=f'(1)=1, 所以切线的倾斜角θ=45°. 2.曲线f(x)=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角θ为 A.135° B.120° C.60° D.45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=3x2+2ax+3. ∵f(x)在x=-3时取得极值,即f'(-3)=0, ∴27-6a+3=0,∴a=5.经检验,当x=-3时取得极值,符合题意. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)=-x3+ax在[1,+∞)上是单调函数,则a的最大值是 A.0 B.3 C.1 D.-1 √ 17 18 19 f'(x)=-3x2+a,由题意得-3x2+a≤0在区间[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在区间[1,+∞)上恒成立,据此可得a≤3, 即a的最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数f(x)=的部分图象大致为 √ 17 18 19 f(x)=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(-x)=-=-f(x),∴f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除B; f(1)=<1,故排除A; ∵当x>0时,f'(x)=,又当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增, 故排除D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由函数f(x)=(x>1),得f'(x)==,要使得函数f(x)有最 大值-4,则a<0, 则当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f(2)==-4, 解得a=-1,满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若函数f(x)=(x>1)有最大值-4,则实数a的值是 A.1 B.-1 C.4 D.-4 √ 17 18 19 7.设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),e为自然对数的底数.若f'(x)ln x>,则 A.f(2)<f(e)ln 2,2f(e)>f(e2) B.f(2)<f(e)ln 2,2f(e)<f(e2) C.f(2)>f(e)ln 2,2f(e)<f(e2) D.f(2)>f(e)ln 2,2f(e)>f(e2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设F(x)=, 则F'(x)=, 则由条件知F'(x)>0, 所以F(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以F(2)<F(e)<F(e2), 即<<, 即f(2)<f(e)ln 2,2f(e)<f(e2). 8.已知函数f(x)=xex-x-ln x-a,若f(x)=0在x∈(0,e)上有实数解,则实数a的取值范围是 A.[0,+∞) B. C.[1,+∞) D.[e,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意,f(x)=0,所以a=xex-x-ln x,令g(x)=xex-x-ln x,x∈(0,e), 则函数f(x)=xex-x-ln x-a在(0,e)上存在零点等价于直线y=a与g(x)的图象有交点. g'(x)=ex+xex-1-=ex(x+1)-=(x+1)=, 令h(x)=xex-1,x∈(0,e),则h'(x)=ex+xex>0,故h(x)在(0,e)上单调递增, 因为h(0)=-1<0,h(1)=e-1>0,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得h(x0)=0, 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x0-1=0,即=,x0=-ln x0, 所以当0<x<x0时,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x0<x<e时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增, 所以g(x)min=g(x0)=x0-x0-ln x0=1-x0+x0=1, 又x→0时,g(x)→+∞,故当x∈(0,e),则g(x)∈[1,+∞),所以a≥1. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题 9.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如图所示,则 A.函数f(x)有极大值f(3) B.函数f(x)有极小值f(-) C.函数f(x)有极大值f() D.函数f(x)有极小值f(-3) √ √ 由题图可知,当x<-3时,y=xf'(x)>0,即f'(x)<0; 当-3<x<3时,f'(x)≥0;当x>3时,f'(x)<0. 故f(x)的极大值是f(3),f(x)的极小值是f(-3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x) A.在区间内无零点 B.在区间内有零点 C.在区间(1,e)内无零点 D.在区间(1,e)内有零点 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得f'(x)=(x>0), 令f'(x)>0,得x>3; 令f'(x)<0,得0<x<3; 故函数f(x)在区间(0,3)上单调递减, 在区间(3,+∞)上单调递增, 所以f(x)的极小值为f(3)=1-ln 3<0, 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又f(1)=>0,f(e)=-1<0, f=+1>0. 所以f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是 A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x D.f(x)= √ √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A,f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,有“巧值点”; 对于B,f'(x)=-e-x,-e-x=e-x无解,无“巧值点”; 对于C,f'(x)=,方程ln x=有解,有“巧值点”; 对于D,f'(x)=-,由=-,得x=-1,有“巧值点”. 17 18 19 因为f(x)=f'sin x-cos x, 所以f'(x)=f'cos x+sin x, 则f'=f'cos +sin , 即f'=. 三、填空题 12.已知函数f(x)满足f(x)=f'sin x-cos x,则f'=　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若函数f(x)=ex-e-x-2x,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是　　　　. 17 18 19 (-∞,1) 由f(x)=ex-e-x-2x可得,函数的定义域为R,f'(x)=ex+e-x-2. 因为ex+e-x≥2,当且仅当x=0时等号成立, 所以f'(x)≥0, 则函数f(x)=ex-e-x-2x为R上的增函数. 所以f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1. 14.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　 　,　　 　. y=x 先求当x>0时,曲线y=ln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0), 则由y'=,得切线斜率为, 又切线的斜率为,所以=, 解得y0=1,代入y=ln x,得x0=e, 所以切线斜率为,切线方程为y=x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y=-x. 综上可知,两条切线方程为y=x,y=-x. y=-x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意,得f'(x)=+2x, 因为直线2x+y-4=0的斜率为-2,且过点(1,2), 所以 四、解答题 15.已知函数f(x)=aln x+x2-3b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y-4=0. (1)求实数a,b的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若曲线C：y=-x3-4b,求曲线C过点(2,4)的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)知,曲线C：y=+, 令g(x)=y=+,则g'(x)=x2. 设切点坐标为(x0,y0), 则切线斜率k=g'(x0)=, 故切线方程为y--=(x-x0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由切线过点(2,4), 代入解得x0=2或x0=-1, 所以切点坐标为(2,4)或(-1,1), 则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调递增区间; 17 18 19 由题意得,f'(x)=6x2-2ax, f'(1)=6-2a=0,则a=3. 经检验,x=1是函数f(x)的一个极值点. 则f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x(x-1), 令f'(x)=0,则x=0或x=1, 当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0; 当x∈(0,1)时,f'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值. 由(1)可知,当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示： 当x=-1时,f(-1)=2×(-1)3-3×(-1)2+4=-1; 当x=1时,f(1)=2-3+4=3, 所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的最小值为-1. 17 18 19 x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f'(x)   + 0 - 0 +   f(x) -1 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求f'(2)的值; 17 18 19 ∵f'(x)=3x2-6,∴f'(2)=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求f(x)的单调区间和极值; 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=3(x2-2), 令f'(x)=0,得x1=-,x2=, 当x<-或x>时,f'(x)>0; 当-<x<时,f'(x)<0, ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-),(,+∞), 单调递减区间是(-,). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当x=-时,f(x)取得极大值为 f(-)=5+4, 当x=时,f(x)取得极小值为f()=5-4. 17 18 19 (3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根,求实数a的取值范围. 令g(x)=f(x)-a,则g'(x)=f'(x), 由(2)可得g(x)的极大值为5+4-a, 极小值为5-4-a, ∵f(x)=a,即g(x)=0有3个不同的实根, ∴ 解得5-4<a<5+4, ∴实数a的取值范围是(5-4,5+4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元, 又200πrh+160πr2=12 000π, 所以h=(300-4r2), 从而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 因为r>0,又由h>0可得0<r<5, 故函数V(r)的定义域为(0,5). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为V(r)=(300r-4r3),r∈(0,5), 所以V'(r)=(300-12r2). 令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去). 当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增; 当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上单调递减. 由此可知,V(r)在r=5处取得极大值,也为最大值,此时h=8, 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 17 18 19 (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定当r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3. (1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当b=0时，f(x)=ln+ax， 其中x∈(0，2)， 则f'(x)=++a=+a，x∈(0，2)， 因为x(2-x)≤=1， 当且仅当x=1时等号成立， 故f'(x)min=2+a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 而f'(x)≥0， 故2+a≥0，即a≥-2， 所以a的最小值为-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f(x)=ln +ax+b(x-1)3的定义域为(0，2)， 设P(m，n)为y=f(x)图象上任意一点， P(m，n)关于点(1，a)的对称点为 Q(2-m，2a-n)， 因为点P(m，n)在y=f(x)的图象上， 故n=ln +am+b(m-1)3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 而f(2-m)=ln +a(2-m)+b(2-m-1)3 =-+2a， =-n+2a， 所以点Q(2-m，2a-n)也在y=f(x)的图象上，由点P的任意性可得y=f(x)的图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)>-2当且仅当1<x<2， 故x=1为f(x)=-2的一个解， 所以f(1)=-2，即a=-2. 此时f(x)>-2，即ln +2(1-x)+b(x-1)3>0， 设t=x-1∈(-1，1)， 则ln -2t+bt3>0. 设g(t)=ln -2t+bt3，t∈(-1，1)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则g'(t)=-2+3bt2=. 当b≥0时， -3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0， 故g'(t)≥0恒成立， 故g(t)在(-1，1)上为增函数， 又g(0)=0，所以g(t)>0当且仅当0<t<1， 即f(x)>-2当且仅当1<x<2； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当-≤b<0时， -3bt2+2+3b≥2+3b≥0， 故g'(t)≥0恒成立， 故g(t)在(-1，1)上为增函数， 又g(0)=0，所以g(t)>0当且仅当0<t<1， 即f(x)>-2当且仅当1<x<2； 当b<-时， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则当0<t<<1时，g'(t)<0， 故在上，g(t)单调递减， g(t)<g(0)=0，不符合题意，舍去， 综上，b≥-. 17 18 19 第一章 <<< $$