第2章 2.3.1 第2课时 空间向量基本定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时 第2章 <<< 空间向量基本定理 1.理解空间向量基本定理. 2.能用空间向量基本定理解决有关几何问题. 学习目标 音乐是人们休闲娱乐的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙 就在于此.在各种各样的空间向量中，我们能否找 到它的“基本音符”呢？ 导 语 一、空间向量基本定理 二、用基表示空间向量 课时对点练 三、空间向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 空间向量基本定理 一 提示　如图，e1，e2所确定的平面为α，过点P作直线PQ∥e3，交平面α于点Q，则=ze3对某个实数z成立， 连接OQ，则OQ在平面α内， 因而=xe1+ye2对唯一有序实数组(x，y)成立. 从而=+=xe1+ye2+ze3. 如图，设e1，e2，e3是空间中任意三个不共面的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向 量p=，能否用e1，e2，e3表示呢？ 问题1 你能证明问题1中结论的唯一性吗？ 问题2 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得p=x'e1+y'e2+z'e3，则x'e1+y'e2+z'e3=xe1+ye2+ze3. 不妨设x'≠x，则(x'-x)e1=(y-y')e2+(z-z')e3. 两边同除以(x'-x)，得e1=e2+e3. 由平面向量基本定理可知，e1，e2，e3共面，这与已知矛盾.因此x=x'，同理可证y=y'，z=z'，所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 1.空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p= ，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'. 2.基与基向量 如果三个向量e1，e2，e3 ，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组 ，e1，e2，e3叫作 .(x，y，z)称为向量p= 在基{e1，e2，e3}下的坐标. xe1+ye2+ze3 不共面 基 基向量 xe1+ye2+ze3 知识梳理 注 意 点 <<< (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 9 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+ 2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基. 例 1 10 假设共面， 则存在实数λ，μ使得=λ+μ， ∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴不共面， ∴{}可以作为空间的一组基. 11 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基. (2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 判断基的一般方法 反 思 感 悟 12 　(多选)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有 A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a+b+c} 跟踪训练 1 √ √ √ 13 如图所示，令a=，b=，c=， 则x=，y=，z=， a+b+c=，由于A，B1，C，D1四点不共面， 可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x， y，a+b+c也不共面，故B，C，D都可以作为空间的一组基. 14 二 用基表示空间向量 (课本例2)　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D' 中，G为△A'BD的重心.设=a，=b，=c，以a，b，c为一组基，求，在这组基下的坐标. 例 2 16 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中， =++=a+b+c. 因为G为△A'BD的重心， 所以=×+) =-+-) =(a+b-2c) =a+b-c， 17 =+=c+ =a+b+c. 因此在基{a，b，c}下的坐标分别为(1，1，1)，. 18 如图，四棱锥P-OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，设=a，=b，=c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 例 2 19 连接BO，如图所示， 则==+)=(-b-a+c)=-a-b+c， 在基{a，b，c}下的坐标为. =+=-a+=-a++)=-a-b+c， 在基{a，b，c}下的坐标为. =+=+++)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c， 在基{a，b，c}下的坐标为. ===a，在基{a，b，c}下的坐标为. 20 (1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律. (2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 用基表示向量的方法 反 思 感 悟 21 　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，E，F分别是AD1，BD的中点. (1)用向量a，b，c表示，； 跟踪训练 2 22 如图，连接AC，EF，D1F，BD1， =+=-+-=a-b-c， =+=+ =-+)++) =-=a-c. 23 (2)若=xa+yb+zc，求在基{a，b，c}下的坐标. =+)=(-+) =(-c+a-b-c)=a-b-c =xa+yb+zc， ∴x=，y=-，z=-1. ∴在基{a，b，c}下的坐标为. 24 空间向量基本定理的应用 三 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，E， F，G分别是A'D'，DD'，D'C'的中点，请选择恰当 的基向量证明： (1)EG∥AC； 例 3 26 取基{}， 因为=+=+， =+=2， 所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. 27 (2)平面EFG∥平面AB'C. 28 因为=+=+， =+=2， 所以∥， 又FG，AB'无公共点，所以FG∥AB'. 又FG⊄平面AB'C，AB'⊂平面AB'C， 所以FG∥平面AB'C. 又由(1)知EG∥AC，同理可得EG∥平面AB'C， 又FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB'C. 29 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉=，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 反 思 感 悟 30 　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG=CD. (1)证明：EF⊥B1C； 跟踪训练 3 =+=-++)=+- =+=--， ∴·=·(--) =-||2+||2=0， ∴EF⊥B1C. 31 (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 32 ∵=+-， =+=--， ||2= =||2+||2+||2=3，||=， ||2==||2+||2=4+=， ||=， 33 ·=· =-||2+||2=-+2=， ∴cos〈〉===. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 34 1.知识清单： (1)空间向量基本定理. (2)用基表示空间向量. (3)空间向量基本定理的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心. 课堂小结 随堂演练 四 ∵=(a-b)， ∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间的一组基. 1 2 3 4 1.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=++，向量b=+-，则与a，b不能构成空间的一组基的是 A. B. C. D.或 √ 1 2 3 4 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点O为空间内任意一点，设=a，=b，=c，则向量可用a，b，c表示为 A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c =+=+=+-)=a-b+c. √ =-， 所以·=·(-)=·-·=1×1×-1×1×=0， 故⊥，即AB与CD垂直. 3.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 √ 1 2 3 4 ∵=-=-=+-++)=+-， ∴||===a. 1 2 3 4 4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，=， 点N为B1B的中点，则||等于　　　　. a 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.设向量a，b，c不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是 A.{a-2b，3a-b，0} B.{a，b，a+b} C.{3a+b，a+b，c} D.{a+b+c，a+b，c} A中由于0与任意两个向量共面，不能作为一组基； B中a，b，a+b三向量共面，不能作为一组基； D中a+b+c=(a+b)+c，故三向量共面，不能作为一组基. 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.在正四面体O-ABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b，c表示为 A.=a+b+c B.=a+b+c C.=a+b+c D.=a+b+c =+=+=++)=+-+-)=++=a+b+c. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为A1C1的中点，若=+x+ y(x，y∈R)，则x，y的值分别为 A.1，1 B.1， C.， D.，1 =+)=+++) =++=+x+y， 所以x=，y=. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB=2，CD=1，则异面直线l，m所成的角等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 13 14 15 16 √ 如图，设=a，=b，=c， 则=a+b+c， 所以·=(a+b+c)·b=1， ||=2，||=1， 所以cos〈〉==， 所以异面直线l，m所成的角等于60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为=+， =++=-+)++=-+， 设||=a， 则·=· =-||2+·-·+||2=-a2+a2=0， 故⊥，即ON⊥AM. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若=a，=b，=c，则下列结论正确的是 A.=a-b+c B.=a+b+c C.||= D.cos〈，〉= 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 =+=++)=b-a+c，A错误； =++=a+b+c，B正确； =a+b+c， 则||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=6， 则||=，C错误； ·=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2，则cos〈〉==， D正确. 13 14 15 16 =-=-=x+y+z， 所以有序实数组(x，y，z)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，=x+y+z，则有序实数组(x，y，z)= 　　　 　. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知空间的一组基{a，b，c}，m=a-b+c，n=xa+yb+2c.若向量m与n共线，则x=　　　，y=　　　　. 因为m与n共线，所以存在实数λ，使m=λn， 即a-b+c=λ(xa+yb+2c)=λxa+λyb+2λc. 所以 13 14 15 16 2 -2 =+=-+=-a+b+c，在基{a，b，c}下的坐标为(-1，1，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，且=a，=b，=c. (1)用a，b，c表示向量，并指出它在这组基下的坐标； 13 14 15 16 =+=-+=-+)++) =-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=-b+c， 在基{a，b，c}下的坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设G，H分别是侧面BB'C'C和底面O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示，并指出它在这组基下的坐标. 13 14 15 16 =+=++=-+(-)+-) =-+-+-=+-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=4，∠ABC=60°，E是 BC的中点，H在线段PD上且DH=DP. (1)用向量，，表示向量； 13 14 15 16 ||2= =+)2-+)·+||2 =(||2+||2)-·+||2 =×(4+16)-×2×2×+4=， 所以||=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求向量的模. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x+ y+z，若x+y+z=，则等于 A. B. C. D. 综合运用 √ 13 14 15 16 设=λ，因为=+++=-λ-++ =-λ-++=-++， 所以x=-1，y=1，z=-λ. 因为x+y+z=-λ=， 所以λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2，则下列说法正确的是 A.EG⊥PG B.EG⊥BC C.FG∥BC D.FG⊥EF √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设=a，=b，=c， 则{a，b，c}是空间的一组基，a·b=a·c=b·c=0，取AB的中点H，连接PH(图略)， 则==×(a+b)=a+b， =-=c-b， =+=+=b+(c-b)=b+c， =-=a+b-b-c=a-b-c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =-=a+b-b=a， =-=b-=-b-c， 所以·=0，即EG⊥PG，A正确； ·=0，即EG⊥BC，B正确； ≠λ(λ∈R)，即FG与BC不平行，C不正确； ·=0，即FG⊥EF，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，画出对应的正四面体，设=a，=b，=c，则{a，b，c}构成空间的一组基.设正四面体ABCD的棱长均为1， 因为=+=-c+(a+b)=(a+b-2c)， 又=-=a-b=(a-2b). 又a·b=a·c=b·c=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设异面直线DM与CN所成的角为θ， 则cos θ= = = ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°. 点G为△ABC的重心，若=x+y+z，x，y，z∈R，则x+y+z=　， ||=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 如图所示，取AC的中点D，连接BD，PD， =+=+=+-) =+ =++=x+y+z， 所以x=，y=，z=，x+y+z=1. 由于空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以||= = = =× =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，N为A1D1上一点，且A1N=λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　　　　. -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 设=a，=b，=c， 则{a，b，c}构成空间的一组基. 设AB=1， 因为BD⊥AN， 所以·=0， 因为=-=b-a，=+=c+λb， 所以(b-a)·(c+λb)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以+λ--=0， 所以λ=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若=m，=n，=t，求证：++为定值，并求出该定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 由题意，可令{}为空间的一组基， ==+)=+× =+×+)=+-)+-) =++. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得=λ+μ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即-=λ(-)+μ(-)， ∴=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)m+λn+μt， 由空间向量基本定理， 知=(1-λ-μ)m，=λn，=μt， ∴++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4，为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 第2课时　空间向量基本定理 [学习目标]　1.理解空间向量基本定理.2.能用空间向量基本定理解决有关几何问题. 导语 音乐是人们休闲娱乐的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在各种各样的空间向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 一、空间向量基本定理 问题1　如图，设e1，e2，e3是空间中任意三个不共面的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p=，能否用e1，e2，e3表示呢？ 提示　如图，e1，e2所确定的平面为α，过点P作直线PQ∥e3，交平面α于点Q，则=ze3对某个实数z成立， 连接OQ，则OQ在平面α内，因而=xe1+ye2对唯一有序实数组(x，y)成立. 从而=+=xe1+ye2+ze3. 问题2　你能证明问题1中结论的唯一性吗？ 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得p=x'e1+y'e2+z'e3，则x'e1+y'e2+z'e3=xe1+ye2+ze3. 不妨设x'≠x，则(x'-x)e1=(y-y')e2+(z-z')e3. 两边同除以(x'-x)，得e1=e2+e3. 由平面向量基本定理可知，e1，e2，e3共面，这与已知矛盾.因此x=x'，同理可证y=y'，z=z'，所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 知识梳理 1.空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=xe1+ye2+ze3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'. 2.基与基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量.(x，y，z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标. 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基. 解　假设，，共面， 则存在实数λ，μ使得=λ+μ， ∴e1+2e2-e3 =λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3) =(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一组基. 反思感悟　判断基的一般方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基. (2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 跟踪训练1　(多选)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有(　　) A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a+b+c} 答案　BCD 解析　如图所示，令a=，b=，c=， 则x=，y=，z=， a+b+c=，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a+b+c也不共面，故B，C，D都可以作为空间的一组基. 二、用基表示空间向量 例2　(课本例2)　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D' 中，G为△A'BD的重心.设=a，=b，=c，以a，b，c为一组基，求，在这组基下的坐标. 解　在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中， =++=a+b+c. 因为G为△A'BD的重心， 所以=×+) =-+-) =(a+b-2c) =a+b-c， =+=c+ =a+b+c. 因此和在基{a，b，c}下的坐标分别为(1，1，1)，. 例2　如图，四棱锥P-OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，设=a，=b，=c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 解　连接BO，如图所示， 则==+)=(-b-a+c)=-a-b+c，在基{a，b，c}下的坐标为. =+=-a+=-a++)=-a-b+c，在基{a，b，c}下的坐标为. =+=+++)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c，在基{a，b，c}下的坐标为. ===a，在基{a，b，c}下的坐标为. 反思感悟　用基表示向量的方法 (1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律. (2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 跟踪训练2　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，E，F分别是AD1，BD的中点. (1)用向量a，b，c表示，； (2)若=xa+yb+zc，求在基{a，b，c}下的坐标. 解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1， =+ =-+- =a-b-c， =+=+ =-+)++) =-=a-c. (2)=+)=(-+) =(-c+a-b-c)=a-b-c =xa+yb+zc， ∴x=，y=-，z=-1. ∴在基{a，b，c}下的坐标为. 三、空间向量基本定理的应用 例3　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G分别是A'D'，DD'，D'C'的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB'C. 证明　取基{，，}， (1)因为=+=+， =+=2， 所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为=+=+， =+=2， 所以∥， 又FG，AB'无公共点，所以FG∥AB'. 又FG⊄平面AB'C，AB'⊂平面AB'C， 所以FG∥平面AB'C. 又由(1)知EG∥AC，同理可得EG∥平面AB'C， 又FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB'C. 反思感悟　(1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉=，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 跟踪训练3　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG=CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值. (1)证明　=+=-++)=+-，=+=--， ∴·=·(--)=-||2+||2=0， ∴EF⊥B1C. (2)解　∵=+-， =+=--， ||2==||2+||2+||2=3，||=， ||2==||2+||2=4+=， ||=， ·=· =-||2+||2=-+2=， ∴cos〈，〉===. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 1.知识清单： (1)空间向量基本定理. (2)用基表示空间向量. (3)空间向量基本定理的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心. 1.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=++，向量b=+-，则与a，b不能构成空间的一组基的是(　　) A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵=(a-b)， ∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间的一组基. 2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点O为空间内任意一点，设=a，=b，=c，则向量可用a，b，c表示为(　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c 答案　D 解析　=+=+ =+-)=a-b+c. 3.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 答案　C 解析　=-， 所以·=·(-) =·-· =1×1×-1×1×=0， 故⊥，即AB与CD垂直. 4. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，=，点N为B1B的中点，则||等于　　　　　　.  答案　a 解析　∵=-=- =+-++) =+-， ∴||= ==a. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.设向量a，b，c不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是(　　) A.{a-2b，3a-b，0} B.{a，b，a+b} C.{3a+b，a+b，c} D.{a+b+c，a+b，c} 答案　C 解析　A中由于0与任意两个向量共面，不能作为一组基； B中a，b，a+b三向量共面，不能作为一组基； D中a+b+c=(a+b)+c，故三向量共面，不能作为一组基. 2.在正四面体O-ABC中，=a，=b，=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b，c表示为(　　) A.=a+b+c B.=a+b+c C.=a+b+c D.=a+b+c 答案　D 解析　=+=+=++)=+-+-)=++=a+b+c. 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为A1C1的中点，若=+x+y(x，y∈R)，则x，y的值分别为(　　) A.1，1 B.1， C.， D.，1 答案　C 解析　=+) =+++) =++ =+x+y， 所以x=，y=. 4.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB=2，CD=1，则异面直线l，m所成的角等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　如图，设=a，=b，=c， 则=a+b+c， 所以·=(a+b+c)·b=1， ||=2，||=1， 所以cos〈，〉==， 所以异面直线l，m所成的角等于60°. 5. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 答案　B 解析　因为=+， =++ =-+)++ =-+， 设||=a， 则· =· =-||2+·-·+||2=-a2+a2=0， 故⊥，即ON⊥AM. 6.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若=a，=b，=c，则下列结论正确的是(　　) A.=a-b+c B.=a+b+c C.||= D.cos〈，〉= 答案　BD 解析　=+=++)=b-a+c，A错误； =++=a+b+c，B正确； =a+b+c， 则||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=6， 则||=，C错误； ·=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2，则cos〈，〉==， D正确. 7.(5分)如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，=x+y+z，则有序实数组(x，y，z)=　　　　.  答案　 解析　=-=-=x+y+z，所以有序实数组(x，y，z)=. 8.(5分)已知空间的一组基{a，b，c}，m=a-b+c，n=xa+yb+2c.若向量m与n共线，则x=　　　　，y=　　　　.  答案　2　-2 解析　因为m与n共线，所以存在实数λ，使m=λn， 即a-b+c=λ(xa+yb+2c)=λxa+λyb+2λc. 所以解得 9.(10分)已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，且=a，=b，=c. (1)用a，b，c表示向量，并指出它在这组基下的坐标；(4分) (2)设G，H分别是侧面BB'C'C和底面O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示，并指出它在这组基下的坐标.(6分) 解　(1)=+=-+=-a+b+c，在基{a，b，c}下的坐标为(-1，1，1). (2)=+=-+ =-+)++) =-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=-b+c，在基{a，b，c}下的坐标为. 10.(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=4，∠ABC=60°，E是BC的中点，H在线段PD上且DH=DP. (1)用向量，，表示向量；(5分) (2)求向量的模.(6分) 解　(1)=+ =++ =-+(-)+-) =-+-+- =+-. (2)||2= =+)2-+)·+||2 =(||2+||2)-·+||2 =×(4+16)-×2×2×+4=， 所以||=. 11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=DD1，记=x+y+z，若x+y+z=，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设=λ，因为=+++=-λ-++ =-λ-++ =-++， 所以x=-1，y=1，z=-λ. 因为x+y+z=-λ=， 所以λ=. 12.(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2，则下列说法正确的是(　　) A.EG⊥PG B.EG⊥BC C.FG∥BC D.FG⊥EF 答案　ABD 解析　设=a，=b，=c， 则{a，b，c}是空间的一组基，a·b=a·c=b·c=0，取AB的中点H，连接PH(图略)， 则==×(a+b)=a+b， =-=c-b， =+=+=b+(c-b)=b+c， =-=a+b-b-c =a-b-c， =-=a+b-b=a， =-=b-=-b-c， 所以·=0，即EG⊥PG，A正确； ·=0，即EG⊥BC，B正确； ≠λ(λ∈R)，即FG与BC不平行，C不正确； ·=0，即FG⊥EF，D正确. 13.(5分)正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为　　　　.  答案　 解析　如图，画出对应的正四面体，设=a，=b，=c，则{a，b，c}构成空间的一组基.设正四面体ABCD的棱长均为1， 因为=+ =-c+(a+b) =(a+b-2c)， 又=-=a-b=(a-2b). 又a·b=a·c=b·c=. 设异面直线DM与CN所成的角为θ， 则cos θ= = = ==. 14.(5分)已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若=x+y+z，x，y，z∈R，则x+y+z=　　　　，||=　　　　.  答案　1　 解析　如图所示，取AC的中点D，连接BD，PD， =+=+ =+-) =+ =++ =x+y+z， 所以x=，y=，z=，x+y+z=1. 由于空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°， 所以||= = = =× =. 15.(5分)在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，N为A1D1上一点，且A1N=λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　　　　.  答案　-1 解析　设=a，=b，=c， 则{a，b，c}构成空间的一组基. 设AB=1， 因为BD⊥AN， 所以·=0， 因为=-=b-a， =+=c+λb， 所以(b-a)·(c+λb)=0， 所以+λ--=0， 所以λ=-1. 16.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若=m，=n，=t，求证：++为定值，并求出该定值. 解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 由题意，可令{，，}为空间的一组基， ==+)=+× =+×+)=+-)+-)=++. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得=λ+μ， 即-=λ(-)+μ(-)， ∴=(1-λ-μ)+λ+μ =(1-λ-μ)m+λn+μt， 由空间向量基本定理， 知=(1-λ-μ)m，=λn，=μt， ∴++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4，为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$