第1章 导数及其应用 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

一、导数的几何意义与运算 1.此部分内容涉及导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,作为数形结合的桥梁,导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,进而研究距离最值,难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养. 例1　(1)已知函数f(x)=,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根据题意,知函数f(x)=, 则f'(x)= ==. (2)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 答案　B 解析　∵f(x)=x4-2x3,∴f'(x)=4x3-6x2, ∴f(1)=-1,f'(1)=-2, ∴所求切线的方程为y+1=-2(x-1), 即y=-2x+1. 反思感悟　(1)熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,求导时不要忘了对内层函数求导即可. (2)求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异. 跟踪训练1　(1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,则实数a的值为(　　) A.-3 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　由f(x)=aln x+x2,得f'(x)=+2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3. (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=xln(2x-1),则f'(1)=　　　　.  答案　2 解析　因为f(x)=xln(2x-1), 所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)' =ln(2x-1)+,则f'(1)=2. 二、用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题,是最近几年高考的重点内容,难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2　已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1,y=f(x)在x=-2处有极值. (1)求f(x)的解析式; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的单调区间和最大值. 解　(1)由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,f'(1)=3+2a+b, 过曲线上点P的切线方程为y-f(1)=(3+2a+b)(x-1), 即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1), 整理得y=(3+2a+b)x-a+c-2. 已知该切线方程为y=3x+1, 所以即 因为y=f(x)在x=-2时有极值, 所以f'(-2)=0,所以-4a+b=-12, 解方程组 得 所以f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2). 令f'(x)=0,得x1=-2,x2=. 当x∈[-3,-2)时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0; 当x∈时,f'(x)>0. 所以f(x)在[-3,1]上的单调递增区间为[-3,-2)和,单调递减区间为. 又f(-2)=13,f=,f(-3)=8,f(1)=4, 所以f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13. 反思感悟　(1)利用导数判断函数的单调性是解决应用问题的基础,一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的. (2)特别注意:①极值点是f'(x)的变号零点,除了找f'(x)=0的实数根x0外,还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性;②求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较端点值大小才能下结论. 跟踪训练2　已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R. (1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)-ax+1,求函数g(x)的极值. 解　(1)当a=0时,f(x)=ln x+x, 则f(1)=1,所以切点为(1,1). 又f'(x)=+1,所以切线斜率k=f'(1)=2, 故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)因为g(x)=f(x)-ax+1=ln x-ax2+(1-a)x+1(x>0),所以g'(x)=-ax+(1-a)=. 当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 当a>0时,g'(x)=, 令g'(x)=0,得x=或x=-1(舍去), 所以当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0, 因此,函数g(x)的单调递增区间是,单调递减区间是, 所以当x=时,g(x)取得极大值,极大值为g=-ln a,无极小值. 综上,当a≤0时,函数g(x)无极值; 当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值. 三、与导数有关的综合性问题 1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具,多以选择题和填空题的形式出现,难度中低档.利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在解答题中,难度中高档. 2.通过利用导数解决实际问题,培养数学建模,解决函数方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例3　设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数. (1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围; (2)若g(x)在(-1,+∞)上单调递增,试求f(x)的零点个数. 解　(1)f'(x)=-a,g'(x)=ex-a, 由题意知f'(x)≤0在(1,+∞)上恒成立, 即a≥对x∈(1,+∞)恒成立, 所以a≥1. 因为g(x)在(1,+∞)上有最小值, 当a≤0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在(1,+∞)上无最值; 当a>0时,由题意得ln a>1, 解得a>e. 综上,a的取值范围是(e,+∞). (2)因为g(x)在(-1,+∞)上单调递增, 所以g'(x)≥0对x∈(-1,+∞)恒成立, 即a≤ex对x∈(-1,+∞)恒成立, 所以a≤. 令f(x)=0,则a=, 则函数f(x)的零点个数即为直线y=a与y=图象的交点个数. 令h(x)=(x>0), 则h'(x)=, 易知h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 在x=e处取到最大值h(e)=>0, 当x→0时,h(x)=→-∞, 当x→+∞时,h(x)=→0, 所以h(x)的图象如图. 由图可知当a≤0时,f(x)有1个零点; 当0<a<时,f(x)有2个零点; 当a=时,f(x)有1个零点. 反思感悟　综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏;数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势;构造函数时是否合理等问题. 跟踪训练3　已知函数f(x)=asin x-x+b(a,b均为正实数). (1)证明:函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数f(x)在x=处有极值,对于一切x∈,不等式f(x)>sin x+cos x恒成立,求实数b的取值范围. (1)证明　∵f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)-(a+b)+b=a[sin(a+b)-1]≤0, ∴f(0)·f(a+b)≤0, ∴函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点. (2)解　∵f(x)=asin x-x+b, ∴f'(x)=acos x-1. 由题意得f'=0,即acos -1=0,得a=2, 则问题等价于b>x+cos x-sin x对于一切x∈恒成立. 记g(x)=x+cos x-sin x,x∈, 则g'(x)=1-sin x-cos x=1-sin. ∵0≤x≤,∴≤x+≤, ∴≤sin≤1,即1≤sin≤,∴g'(x)≤0,即g(x)在上单调递减, ∴g(x)max=g(0)=1,∴b>1. 故实数b的取值范围是(1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 <<< 章末复习课 知识网络 一、导数的几何意义与运算 二、用导数研究函数的单调性、极值、最值 三、与导数有关的综合性问题 内容索引 导数的几何意义与运算 一 1.此部分内容涉及导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,作为数形结合的桥梁,导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,进而研究距离最值,难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养. (1)已知函数f(x)=,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)等于 A. B. C. D. 例 1 √ 根据题意,知函数f(x)=, 则f'(x)===. 6 (2)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 √ ∵f(x)=x4-2x3,∴f'(x)=4x3-6x2, ∴f(1)=-1,f'(1)=-2, ∴所求切线的方程为y+1=-2(x-1), 即y=-2x+1. 7 (1)熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,求导时不要忘了对内层函数求导即可. (2)求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异. 反 思 感 悟 8 　(1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,则实数a的值为 A.-3 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 1 √ 由f(x)=aln x+x2,得f'(x)=+2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3. 9 (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=xln(2x-1),则f'(1)=　　　. 因为f(x)=xln(2x-1), 所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)'=ln(2x-1)+,则f'(1)=2. 2 10 二 用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题,是最近几年高考的重点内容,难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1,y=f(x)在x=-2处有极值. (1)求f(x)的解析式; 例 2 13 由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,f'(1)=3+2a+b, 过曲线上点P的切线方程为y-f(1)=(3+2a+b)(x-1), 即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1), 整理得y=(3+2a+b)x-a+c-2. 已知该切线方程为y=3x+1, 所以 14 因为y=f(x)在x=-2时有极值, 所以f'(-2)=0,所以-4a+b=-12, 解方程组 得 所以f(x)=x3+2x2-4x+5. 15 (2)求y=f(x)在[-3,1]上的单调区间和最大值. 16 f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2). 令f'(x)=0,得x1=-2,x2=. 当x∈[-3,-2)时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0; 当x∈时,f'(x)>0. 所以f(x)在[-3,1]上的单调递增区间为[-3,-2)和, 单调递减区间为. 又f(-2)=13,f=,f(-3)=8,f(1)=4, 所以f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13. 17 (1)利用导数判断函数的单调性是解决应用问题的基础,一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的. (2)特别注意：①极值点是f'(x)的变号零点,除了找f'(x)=0的实数根x0外,还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性;②求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较端点值大小才能下结论. 反 思 感 悟 18 　已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R. (1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; 跟踪训练 2 当a=0时,f(x)=ln x+x, 则f(1)=1,所以切点为(1,1). 又f'(x)=+1,所以切线斜率k=f'(1)=2, 故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 19 (2)令g(x)=f(x)-ax+1,求函数g(x)的极值. 20 因为g(x)=f(x)-ax+1=ln x-ax2+(1-a)x+1(x>0), 所以g'(x)=-ax+(1-a)=. 当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 当a>0时,g'(x)=, 令g'(x)=0,得x=或x=-1(舍去), 21 所以当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0, 因此,函数g(x)的单调递增区间是,单调递减区间是, 所以当x=时,g(x)取得极大值,极大值为g=-ln a,无极小值. 综上,当a≤0时,函数g(x)无极值; 当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值. 22 与导数有关的综合性问题 三 1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具,多以选择题和填空题的形式出现,难度中低档.利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在解答题中,难度中高档. 2.通过利用导数解决实际问题,培养数学建模,解决函数方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数. (1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围; 例 3 25 f'(x)=-a,g'(x)=ex-a, 由题意知f'(x)≤0在(1,+∞)上恒成立, 即a≥对x∈(1,+∞)恒成立, 所以a≥1. 因为g(x)在(1,+∞)上有最小值, 当a≤0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在(1,+∞)上无最值; 当a>0时,由题意得ln a>1, 解得a>e. 综上,a的取值范围是(e,+∞). 26 (2)若g(x)在(-1,+∞)上单调递增,试求f(x)的零点个数. 27 因为g(x)在(-1,+∞)上单调递增, 所以g'(x)≥0对x∈(-1,+∞)恒成立, 即a≤ex对x∈(-1,+∞)恒成立, 所以a≤. 令f(x)=0,则a=, 则函数f(x)的零点个数即为直线y=a与y=图象的交点个数. 28 令h(x)=(x>0), 则h'(x)=, 易知h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 在x=e处取到最大值h(e)=>0, 当x→0时,h(x)=→-∞, 当x→+∞时,h(x)=→0, 所以h(x)的图象如图. 29 由图可知当a≤0时,f(x)有1个零点; 当0<a<时,f(x)有2个零点; 当a=时,f(x)有1个零点. 30 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏;数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势;构造函数时是否合理等问题. 反 思 感 悟 31 　已知函数f(x)=asin x-x+b(a,b均为正实数). (1)证明：函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; 跟踪训练 3 ∵f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)-(a+b)+b=a[sin(a+b)-1]≤0, ∴f(0)·f(a+b)≤0, ∴函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点. 32 (2)设函数f(x)在x=处有极值,对于一切x∈,不等式f(x)>sin x+cos x恒成立,求实数b的取值范围. 33 ∵f(x)=asin x-x+b, ∴f'(x)=acos x-1. 由题意得f'=0,即acos -1=0,得a=2, 则问题等价于b>x+cos x-sin x对于一切x∈恒成立. 记g(x)=x+cos x-sin x,x∈, 则g'(x)=1-sin x-cos x=1-sin. 34 ∵0≤x≤,∴≤x+≤, ∴≤sin≤1,即1≤sin≤, ∴g'(x)≤0,即g(x)在上单调递减, ∴g(x)max=g(0)=1,∴b>1. 故实数b的取值范围是(1,+∞). 35 第一章 <<< $$