章末检测试卷(一) 平面向量及其应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 章末检测试卷(一) 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D A B B B 题号 9 10 11 12　 13 14 答案 AC ABD ACD -5 　2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 15. (1)因为c∥a，a=(1，2)，c=(2，λ)， 所以2×2-1×λ=0，解得λ=4， 即c=(2，4)，所以|c|==2. (2)因为a=(1，2)，b=(1，1)， 所以ma-b=(m-1，2m-1)，2a-b=(1，3). 因为ma-b与2a-b垂直， 所以(ma-b)·(2a-b)=0， 即(m-1)×1+(2m-1)×3=0， 解得m=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 16. 因为tan A=，所以∠A=. (1)由=，得sin B==， 所以∠B=或∠B=， 又b<a，所以∠B<∠A，所以∠B=. (2)由已知及余弦定理，得(2c)2=22+c2-2×2×c×cos ， 即3c2+2c-4=0，解得c=(负值舍去)， 故△ABC的面积为bcsin A=×2××sin =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 17. 如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). (1)易得=(1，2)，=(2，0)，=(0，1)，=(2，2). ∵=-=(1，2)-(2，0)=(-1，2)，=- =(0，1)-(2，2)=(-2，-1)， ∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0， ∴⊥，即BE⊥CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 17. (2)设P(x，y)，则=(x，y-1)，=(x-2，y)， 由(1)知=(-2，-1)，=(-1，2)， ∵∥，∴-x=-2(y-1)， 即x=2y-2， 同理，由∥，得y=-2x+4. ∴解得即P. ∴=+=4=，∴||=||，即AP=AB. 18. 选①： 由=得=， ∴a2+ac=b2-c2 即a2+c2-b2=-ac， ∴cos B==-， 又∠B∈(0，π)，∴∠B=. 如图，延长DC交AB的延长线于点E，∵AD⊥AB， DA=3，∠D=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 18. ∴∠AED=，AE=3， 又∠ABC=， ∴∠EBC=， ∴△BEC为正三角形，又AB=1， ∴BC=BE=AE-AB=2， 在△ABC中，b2=a2+c2-2accos B=22+12-2×2×1×=7， ∴b=，即AC=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 18. 选②： 由2S△ABC=-·得S△ABC=-， 又S△ABC=acsin B， ∴-cos B=sin B， 即tan B=-，又∠B∈(0，π)， ∴∠B=.解析同①，略. 19. (1)由=， 可得=+=-+. ∵=， ∴=+=-+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 19. (2)将=-+，=-+ 代入=+λ=+μ， 则有+λ=+μ， 即(1-λ)+λ=μ+(1-μ)， 又与不共线，∴解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 19. (3)设=m，=n， 由(2)知=+， ∴=-=n-=n-=+=m=m-m， ∵与不共线，∴解得 ∴=，即=2， ∴点P是BC上靠近点C的三等分点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 一、单项选择题 1.若=(-1，2)，=(1，-1)，则等于 A.(-2，3) B.(0，1) C.(-1，2) D.(2，-3) =-=(2，-3). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 2.向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)·a等于 A.-1　 B.0　 C.1　 D.2 ∵2a+b=(2，-2)+(-1，2)=(1，0)， ∴(2a+b)·a=(1，0)·(1，-1)=1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 3.设e1，e2为平面上两个不共线的单位向量，已知向量=e1-ke2，=2e1-e2，=3e1-3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是 A.2 B.-3　 C.-2　 D.3 易知=-=-e1+2e2=-(e1-2e2)， 又A，B，D三点共线，则∥，则k=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=，b=a，c=6，则b等于 A.8　 B.12　 C.4　 D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 由题意知，∠B=，a=b，c=6， 根据余弦定理，得cos B=， 可得-=， 即b2-3b-54=0，解得b=6(舍负). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 5.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a·b=5，则向量a与a-b的夹角的余弦值为 A.-　 B.　 C.-　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ∵|a|=2，|b|=4，a·b=5， ∴a·(a-b)=a2-a·b=4-5=-1， |a-b|====， ∴cos〈a，a-b〉===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 20 根据已知条件可知，在△ABC中，AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以∠C=45°， 由正弦定理，得=， 所以BC==10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 7.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则等于 A.　 B.　 C.1　 D.2 在△ABC中，a=4，b=5，c=6， 由正弦定理得==， 由余弦定理得cos A===， ∴=×=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 8.在边长为12的正三角形ABC中，E为BC的中点，F在线段AC上且AF=FC，若AE与BF交于M，则·等于 A.-12　 B.-27　 C.-　 D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 如图所示，取CF的中点G，连接EG， 又因为E为BC中点， 所以在△BCF中，EG∥BF， 即EG∥MF. 因为F为AG的中点，所以M为AE的中点. 以E为坐标原点，BC，AE所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为正三角形ABC的边长为12， 所以E(0，0)，A(0，6)， M(0，3)，B(-6，0)， =(0，3=(-6，-3)， 所以·=-27. 答案 二、多项选择题 9.设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|b-2a|=，则以下结论正确的是 A.a⊥b B.|a+b|=2 C.|a-b|= D.〈a，b〉=60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 18 19 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为|a|=|b|=1，在等式|b-2a|=两边平方可得4a2+b2-4a·b=5，可得a·b=0，故选项A正确，选项D错误； |a+b|===，选项B错误； |a-b|===，选项C正确. 16 17 18 19 答案 27 10.在直角梯形ABCD中，CD∥AB，AB⊥BC，CD=1，AB=BC=2，E为线段BC的中点，则 A.=+ B.=- C.·=2 D.·=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如图，对于A，=+=+，故A正确； 对于B，=-=+)- =-=-，故B正确； 对于C，因为反向共线，DC=AB=1，所以·=-2，故C不正确； 对于D，·=+)·=+·=×8+×2×2×cos 45°=6，故D正确. 答案 29 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是 A.若=+，则点M是△ABC的重心 B.若=2-，则点M在边BC的延长线上 C.若2=x+y，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D.已知平面向量满足·=·，=λ，则△ABC为 等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 如图，对于A，设BC的中点为D，若=+=+) =×2=，则点M是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若=2--=- =，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 对于C，若2=x+y，且x+y=1， 由图可得M为AN的中点(N为边BC上任一点)， 则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D，因为·=··=·， 即·=·，所以||||·cos∠BAM=cos∠CAM， 因为=λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM，所以cos∠BAM=cos∠CAM， 所以||=，所以△ABC为等腰三角形， 故D正确. 答案 三、填空题 12.已知|a|=2，|b|=10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影是　　　.  向量b在向量a方向上的投影为|b|cos θ=10×cos 120°=-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -5 答案 13.在△ABC中，若b=5，B=，tan A=2，则sin A=　　　；a=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在△ABC中，tan A=2，所以A是锐角，且=2，sin2A+cos2A=1， 联立解得sin A=， 再由正弦定理得=， 代入数据解得a=2. 16 17 18 19 2 答案 14.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则·的值为 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B， C，D， 所以E，F， 所以==， 所以·=·=+=. 答案 四、解答题 15.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若c=(2，λ)，且c∥a，求|c|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为c∥a，a=(1，2)，c=(2，λ)， 所以2×2-1×λ=0，解得λ=4，即c=(2，4)， 所以|c|==2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若b=(1，1)，且ma-b与2a-b垂直，求实数m的值. 因为a=(1，2)，b=(1，1)， 所以ma-b=(m-1，2m-1)，2a-b=(1，3). 因为ma-b与2a-b垂直， 所以(ma-b)·(2a-b)=0， 即(m-1)×1+(2m-1)×3=0，解得m=. 答案 16.设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知tan A=，b=2. (1)若a=2，求∠B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为tan A=，所以∠A=. 由=，得sin B==， 所以∠B=或∠B=， 又b<a，所以∠B<∠A，所以∠B=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若a=2c，求△ABC的面积. 由已知及余弦定理，得(2c)2=22+c2-2×2×c×cos ，即3c2+2c-4=0， 解得c=(负值舍去)， 故△ABC的面积为bcsin A=×2××sin =. 答案 17.已知四边形ABCD是正方形，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明： (1)BE⊥CF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)， E(1，2)，F(0，1). 易得=(1，2)，=(2，0)，=(0，1)， =(2，2). ∵=-=(1，2)-(2，0)=(-1，2)，=-=(0，1)-(2，2)=(-2，-1)， ∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0， ∴⊥，即BE⊥CF. 答案 (2)AP=AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 设P(x，y)，则=(x，y-1)，=(x-2，y)，由(1)知=(-2，-1)，= (-1，2)， ∵∥，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2， 同理，由∥，得y=-2x+4. ∴即P. ∴=+=4=， ∴||=||，即AP=AB. 18.在①=；②2S△ABC=-·两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c且　　　　，作AD⊥AB，连接DA，DC 使得DA=3，∠D=，AB=1.求AC的长.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选①： 由==， ∴a2+ac=b2-c2即a2+c2-b2=-ac， ∴cos B==-，又∠B∈(0，π)， ∴∠B=. 如图，延长DC交AB的延长线于点E， ∵AD⊥AB， DA=3， ∠D=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴∠AED=，AE=3，又∠ABC=， ∴∠EBC=，∴△BEC为正三角形，又AB=1， ∴BC=BE=AE-AB=2， 在△ABC中，b2=a2+c2-2accos B=22+12-2×2×1×=7， ∴b=，即AC=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选②： 由2S△ABC=-·得S△ABC=-，又S△ABC=acsin B， ∴-cos B=sin B，即tan B=-，又∠B∈(0，π)，∴∠B=.解析同①，略. 答案 19.如图所示，在△ABC中，=，=，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由=， 可得=+=-+. ∵=， ∴=+=-+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)如果=+λ=+μ，求实数λ和μ的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 将=-+=-+ 代入=+λ=+μ， 则有+λ=+μ， 即(1-λ)+λ=μ+(1-μ)， 又不共线，∴ 答案 (3)确定点P在边BC上的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设=m=n， 由(2)知=+， ∴=-=n- =n- =+=m=m-m， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵不共线， ∴ ∴==2， ∴点P是BC上靠近点C的三等分点. 答案 第一章 <<< $$ 章末检测试卷(一)　[时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若=(-1，2)，=(1，-1)，则等于(　　) A.(-2，3) B.(0，1) C.(-1，2) D.(2，-3) 答案　D 解析　=-=(2，-3). 2.向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)·a等于(　　) A.-1　B.0　C.1　D.2 答案　C 解析　∵2a+b=(2，-2)+(-1，2)=(1，0)， ∴(2a+b)·a=(1，0)·(1，-1)=1. 3.设e1，e2为平面上两个不共线的单位向量，已知向量=e1-ke2，=2e1-e2，=3e1-3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　) A.2　B.-3　C.-2　D.3 答案　A 解析　易知=-=-e1+2e2=-(e1-2e2)， 又A，B，D三点共线，则∥，则k=2. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=，b=a，c=6，则b等于(　　) A.8　B.12　C.4　D.6 答案　D 解析　由题意知，∠B=，a=b，c=6， 根据余弦定理，得cos B=， 可得-=， 即b2-3b-54=0，解得b=6(舍负). 5.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a·b=5，则向量a与a-b的夹角的余弦值为(　　) A.-　B.　C.-　D. 答案　A 解析　∵|a|=2，|b|=4，a·b=5， ∴a·(a-b)=a2-a·b=4-5=-1， |a-b|====， ∴cos〈a，a-b〉===-. 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 答案　B 解析　根据已知条件可知，在△ABC中，AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以∠C=45°， 由正弦定理，得=， 所以BC==10. 7.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则等于(　　) A.　B.　C.1　D.2 答案　B 解析　在△ABC中，a=4，b=5，c=6， 由正弦定理得==， 由余弦定理得cos A===， ∴=×=. 8.在边长为12的正三角形ABC中，E为BC的中点，F在线段AC上且AF=FC，若AE与BF交于M，则·等于(　　) A.-12　B.-27　C.-　D.- 答案　B 解析　如图所示，取CF的中点G，连接EG， 又因为E为BC中点， 所以在△BCF中，EG∥BF， 即EG∥MF. 因为F为AG的中点，所以M为AE的中点. 以E为坐标原点，BC，AE所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系. 因为正三角形ABC的边长为12， 所以E(0，0)，A(0，6)， M(0，3)，B(-6，0)， =(0，3)，=(-6，-3)， 所以·=-27. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|b-2a|=，则以下结论正确的是(　　) A.a⊥b B.|a+b|=2 C.|a-b|= D.〈a，b〉=60° 答案　AC 解析　因为|a|=|b|=1，在等式|b-2a|=两边平方可得4a2+b2-4a·b=5，可得a·b=0，故选项A正确，选项D错误； |a+b|===，选项B错误； |a-b|===，选项C正确. 10.在直角梯形ABCD中，CD∥AB，AB⊥BC，CD=1，AB=BC=2，E为线段BC的中点，则(　　) A.=+ B.=- C.·=2 D.·=6 答案　ABD 解析　如图， 对于A，=+=+，故A正确； 对于B，=- =+)- =-=-，故B正确； 对于C，因为与反向共线，DC=AB=1，所以·=-2，故C不正确； 对于D，·=+)·=+·=×8+×2×2×cos 45°=6，故D正确. 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　) A.若=+，则点M是△ABC的重心 B.若=2-，则点M在边BC的延长线上 C.若2=x+y，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D.已知平面向量满足·=·，=λ，则△ABC为等腰三角形 答案　ACD 解析　如图，对于A，设BC的中点为D，若=+=+)=×2=，则点M是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若=2-，即有-=-，即=， 则点M在边CB的延长线上，故B错误； 对于C，若2=x+y，且x+y=1， 由图可得M为AN的中点(N为边BC上任一点)，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确； 对于D，因为·=·，所以·=·， 即·=·，所以||||·cos∠BAM=cos∠CAM， 因为=λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM，所以cos∠BAM=cos∠CAM， 所以||=，所以△ABC为等腰三角形，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知|a|=2，|b|=10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影是　　　　.  答案　-5 解析　向量b在向量a方向上的投影为|b|cos θ=10×cos 120°=-5. 13.在△ABC中，若b=5，B=，tan A=2，则sin A=　　　　；a=　　　　.  答案　　2 解析　在△ABC中，tan A=2，所以A是锐角，且=2，sin2A+cos2A=1， 联立解得sin A=， 再由正弦定理得=， 代入数据解得a=2. 14.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则·的值为　　　　.  答案　 解析　作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B， C，D， 所以E，F， 所以=，=， 所以·=·=+=. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若c=(2，λ)，且c∥a，求|c|；(6分) (2)若b=(1，1)，且ma-b与2a-b垂直，求实数m的值.(7分) 解　(1)因为c∥a，a=(1，2)，c=(2，λ)， 所以2×2-1×λ=0，解得λ=4，即c=(2，4)， 所以|c|==2. (2)因为a=(1，2)，b=(1，1)， 所以ma-b=(m-1，2m-1)，2a-b=(1，3). 因为ma-b与2a-b垂直， 所以(ma-b)·(2a-b)=0， 即(m-1)×1+(2m-1)×3=0，解得m=. 16.(15分)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知tan A=，b=2. (1)若a=2，求∠B；(6分) (2)若a=2c，求△ABC的面积.(9分) 解　因为tan A=，所以∠A=. (1)由=，得sin B==， 所以∠B=或∠B=， 又b<a，所以∠B<∠A，所以∠B=. (2)由已知及余弦定理，得(2c)2=22+c2-2×2×c×cos ，即3c2+2c-4=0， 解得c=(负值舍去)， 故△ABC的面积为bcsin A=×2××sin =. 17.(15分)已知四边形ABCD是正方形，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明： (1)BE⊥CF；(7分) (2)AP=AB.(8分) 证明　如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)， E(1，2)，F(0，1). (1)易得=(1，2)，=(2，0)，=(0，1)， =(2，2). ∵=-=(1，2)-(2，0)=(-1，2)，=-=(0，1)-(2，2)=(-2，-1)， ∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设P(x，y)，则=(x，y-1)，=(x-2，y)，由(1)知=(-2，-1)，=(-1，2)， ∵∥，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2， 同理，由∥，得y=-2x+4. ∴解得 即P. ∴=+=4=， ∴||=||，即AP=AB. 18.(17分)在①=；②2S△ABC=-·两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且　　　　，作AD⊥AB，连接DA，DC使得DA=3，∠D=，AB=1.求AC的长.  解　选①： 由=得=， ∴a2+ac=b2-c2即a2+c2-b2=-ac， ∴cos B==-，又∠B∈(0，π)， ∴∠B=. 如图，延长DC交AB的延长线于点E， ∵AD⊥AB， DA=3， ∠D=， ∴∠AED=，AE=3，又∠ABC=， ∴∠EBC=，∴△BEC为正三角形，又AB=1， ∴BC=BE=AE-AB=2， 在△ABC中，b2=a2+c2-2accos B=22+12-2×2×1×=7， ∴b=，即AC=. 选②： 由2S△ABC=-·得S△ABC=-，又S△ABC=acsin B， ∴-cos B=sin B，即tan B=-，又∠B∈(0，π)，∴∠B=.解析同①，略. 19.(17分)如图所示，在△ABC中，=，=，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和；(5分) (2)如果=+λ=+μ，求实数λ和μ的值；(5分) (3)确定点P在边BC上的位置.(7分) 解　(1)由=， 可得=+=-+. ∵=， ∴=+=-+. (2)将=-+，=-+ 代入=+λ=+μ， 则有+λ= +μ， 即(1-λ)+λ=μ+(1-μ)， 又与不共线， ∴解得 (3)设=m，=n， 由(2)知=+， ∴=-=n- =n- =+=m=m-m， ∵与不共线， ∴解得 ∴=，即=2， ∴点P是BC上靠近点C的三等分点. 学科网（北京）股份有限公司 $$