第4章 4.4.1 第1课时 平面与平面平行的判定-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

4.4.1　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定 [学习目标]　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面的位置关系、平面与平面平行的判定定理，并加以证明.2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行. 导语 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留，中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 一、空间中平面与平面的位置关系 问题1　将一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 提示　有两种.平行、相交. 特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线. 知识梳理 1.两个平面平行的定义 如果两个平面α，β没有公共点，就称这两个平面平行，记作α∥β，用集合语言描述，就是α∥β⇔α∩β=∅. 2.空间中任意两个不重合的平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 两平面相交 α∩β=a 有一条公共直线 两平面平行 α∥β 没有公共点 例1　(多选)以下四个命题中，正确的有(　　) A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行 D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交 答案　CD 解析　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误；显然C，D正确. 反思感悟　利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外，先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法. 跟踪训练1　如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是　　　　.  答案　平行或相交 解析　根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示. 二、平面与平面平行的判定 问题2　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 提示　三角尺和桌面一定平行，硬纸片和桌面不一定平行. 知识梳理　 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 例2　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D. 证明　∵ABCD-A1B1C1D1为正方体， ∴D1C1A1B1，ABA1B1， ∴D1C1AB. ∴四边形D1C1BA为平行四边形. ∴D1A∥C1B. 又D1A⊄平面BC1D，C1B⊂平面BC1D， ∴D1A∥平面BC1D. 同理D1B1∥平面BC1D. 又D1A∩D1B1=D1，D1A，D1B1⊂平面AB1D1， ∴平面AB1D1∥平面BC1D. 反思感悟　平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点. (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 跟踪训练2　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 证明　∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB. ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD， 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 三、线面平行、面面平行的综合应用 例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解　当Q为CC1的中点时， 平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下： 连接PQ(图略)，在△DBD1中，P是DD1的中点，O为DB的中点， ∴PO∥D1B， 又∵PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO， ∴D1B∥平面PAO. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴PQ∥CD，PQ=CD. 又CD∥AB，CD=AB， ∴PQ∥AB，且PQ=AB， ∴四边形ABQP为平行四边形， ∴BQ∥AP， 又∵BQ⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴BQ∥平面PAO， 又∵D1B∩BQ=B，D1B，BQ⊂平面D1BQ， ∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 反思感悟　解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2)线线平行线面平行面面平行. 所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理. 跟踪训练3　已知在四棱锥S-ABC中，G是AB上的点，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明. 解　SG∥平面DEF. 证明如下：方法一　连接CG，交DE于点H，连接FH. ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG， ∴H为CG的中点.∵F是SC的中点， ∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG. 又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF， ∴SG∥平面DEF. 方法二　∵EF为△SBC的中位线， ∴EF∥SB. ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理可得DF∥平面SAB. 又EF∩DF=F，EF，DF⊂平面DEF， ∴平面SAB∥平面DEF. 又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF. 1.知识清单： (1)空间中平面与平面的位置关系. (2)平面与平面平行的判定. (3)线面平行、面面平行的综合应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分. 1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 答案　D 解析　∵α∥β，∴α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， ∴m与n无公共点， ∴m与n平行或异面. 2.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　) A.1对　B.2对　C.3对　D.4对 答案　D 解析　如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1， 平面BCC1B1∥平面FEE1F1， 平面AFF1A1∥平面CDD1C1， 平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1， ∴此六棱柱的面中互相平行的有4对. 3.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是　　　(填“平行”或“相交”).  答案　平行 解析　若α∩β=l，则在平面α内，存在与l相交的直线a， 设a∩l=A，对于β内的任一直线b， 若b过点A，则a与b相交， 若b不过点A，则a与b异面， 即β内不存在直线b∥a，与题意矛盾.故α∥β. 4.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是　　　　.  答案　平行 解析　由题图知，A1E∥BE1， ∵A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1， ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理，A1D1∥平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1=A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1， ∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加条件(　　) A.n是直线且n⊂α，n∥β B.n，m是异面直线，n∥β C.n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D.n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 答案　C 2.已知平面α，β和直线m，n，下列说法正确的是(　　) A.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交 D.若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行 答案　C 解析　对于A，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误； 对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误； 对于C，若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交，故C正确； 对于D，若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行或相交，故D错误. 3.下列四个说法中正确的是(　　) A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β B.α∩γ=a，α∩β=b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β C.平面α内的一个三角形的三条边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β 答案　C 解析　由平面与平面平行的判定定理知C正确. 4.如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 答案　A 解析　如图，∵EG∥E1G1， EG⊄平面E1FG1， E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E， 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG=E，H1E，EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥平面EGH1. 5.下列四个正方体图形中，A，B，C为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) 答案　B 解析　B中，易证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC=B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF. 6.(多选)经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可能有(　　) A.0个　B.1个　C.2个　D.无数个 答案　AB 解析　①当经过平面α外两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使得β∥α；②当经过平面α外两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个. 7.(5分)如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，写出一个满足条件的平面： (1)与平面ADD1A1平行的平面为　　　　　；  (2)与平面ABB1A1平行的平面为　　　　　；  (3)与平面A1DC1平行的平面为　　　　　　.  答案　(1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1　(3)平面AB1C 解析　因为ABCD-A1B1C1D1为长方体， 所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 同时A1C1∥AC，DC1∥AB1， 又因为AC⊄平面A1DC1，AB1⊄平面A1DC1， 所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1， 因为AC∩AB1=A，AC，AB1⊂平面AB1C， 所以平面A1DC1∥平面AB1C. 8.(5分)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是　　　　　　　　.  答案　相交或平行 解析　b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故α与β的关系为相交或平行. 9.(10分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 由题意知A1GEB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 10.(11分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 证明　在△CEF中， 因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD=O，则点O为AC的中点， 连接OH， 如图所示，在△ACF中， 因为点H为CF的中点， 所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 11.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　) A.平面EFGH∥平面ABCD B.平面PAD∥BC C.平面PCD∥AB D.平面PAD∥平面PAB 答案　ABC 解析　如图所示，把平面展开图还原为四棱锥， 则EF∥AB，易证EF∥平面ABCD.同理可证EH∥平面ABCD，又EF∩EH=E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，它们两两相交.因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以平面PCD∥AB.同理，平面PAD∥BC，故B，C正确；显然D错误. 12.如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　) A.平面 　　B.直线 C.线段，但只含1个端点 　　D.圆 答案　C 解析　如图，过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连接BN. ∵在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，AA1∩A1C1=A1，BD∩DN=D， ∴平面BDN∥平面A1ACC1. ∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1， ∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合， ∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点. 13.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　　) 答案　D 解析　由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图.截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱的中点)，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；MC1与QE是相交直线，所以A错误；由图知D符合题意. 14.(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足　　　　时，有MN∥平面B1BDD1.  答案　M在线段FH上 解析　连接HN，FH，FN(图略).由题易知HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动， ∴M∈FH. 15.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC(λ>0). (1)当λ=　　　　时，平面BEF∥平面A1DQ；  (2)当λ=　　　　时，使得BD⊥FQ.  答案　(1)1　(2) 解析　(1)当λ=1时，Q为BC中点， 因为E是AD的中点， 所以ED=BQ，ED∥BQ， 则四边形BEDQ是平行四边形， 所以BE∥DQ. 又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ， 所以BE∥平面A1DQ. 又F是A1A的中点，所以EF∥A1D， 因为EF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ， 所以EF∥平面A1DQ. 因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF， 所以平面BEF∥平面A1DQ. (2)连接AQ， 因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD. 若BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ， 且AA1∩FQ=F， 所以BD⊥平面A1AQ. 因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD. 在矩形ABCD中，由AQ⊥BD， 得△AQB∽△DBA， 所以AB2=AD·BQ. 又AB=1，AD=2， 所以BQ=，QC=， 则=，即λ=. 16.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC=CD=2，AB=AD=2.若PB=3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD？若存在，求出线段BF的长；若不存在，请说明理由. 解　在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下： 如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，因为PB=3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点， 可得BF=. 因为AB=AD=2，BC=CD=2，AC=AC， 所以△ABC≌△ADC， 因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°， tan∠ACB===，所以∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BCD=60°， 因为tan∠AFB===，所以∠AFB=60°，所以AF∥CD. 因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以AF∥平面PCD， 又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD， 因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面AEF， 所以平面AEF∥平面PCD， 所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第4章 <<< 平面与平面平行的判定 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面的位置关系、平面与平面平行的判定定理，并加以证明. 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行. 学习目标 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留，中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 导 语 一、空间中平面与平面的位置关系 二、平面与平面平行的判定 课时对点练 三、线面平行、面面平行的综合应用 随堂演练 内容索引 空间中平面与平面的位置关系 一 提示　有两种.平行、相交. 特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线. 将一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 问题1 1.两个平面平行的定义 如果两个平面α，β没有_______，就称这两个平面平行，记作_______，用集合语言描述，就是α∥β⇔α∩β=____. 公共点 α∥β ∅ 知识梳理 2.空间中任意两个不重合的平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 两平面相交   α∩β=a 有一条公共直线 两平面平行   α∥β 没有公共点 知识梳理 　　　(多选)以下四个命题中，正确的有 A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不 　为0，那么这两个平面平行 D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行 　或相交 例 1 √ √ 9 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误； 显然C，D正确. 10 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外，先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法. 反 思 感 悟 11 　　　　　如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是　　　　　　.  跟踪训练 1 平行或相交 根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示. 12 二 平面与平面平行的判定 提示　三角尺和桌面一定平行，硬纸片和桌面不一定平行. 如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 问题2 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的_____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言   两条相交直线 b⊂α α∥β a∩b=A 知识梳理 15 　　　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D. 例 2 16 ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴D1C1　A1B1，AB　A1B1， ∴D1C1　AB. ∴四边形D1C1BA为平行四边形. ∴D1A∥C1B. 又D1A⊄平面BC1D，C1B⊂平面BC1D， ∴D1A∥平面BC1D. 同理D1B1∥平面BC1D. 又D1A∩D1B1=D1，D1A，D1B1⊂平面AB1D1， ∴平面AB1D1∥平面BC1D. 反 思 感 悟 (1)定义法：两个平面没有公共点. (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 平面与平面平行的判定方法 　　　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 跟踪训练 2 19 ∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB. ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD， 又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PAB. 线面平行、面面平行的综合应用 三 　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 例 3 22 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下： 连接PQ(图略)，在△DBD1中，P是DD1的中点， O为DB的中点， ∴PO∥D1B， 又∵PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO， ∴D1B∥平面PAO. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴PQ∥CD，PQ=CD. 23 又CD∥AB，CD=AB， ∴PQ∥AB，且PQ=AB， ∴四边形ABQP为平行四边形， ∴BQ∥AP， 又∵BQ⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴BQ∥平面PAO， 又∵D1B∩BQ=B，D1B，BQ⊂平面D1BQ， ∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 24 反 思 感 悟 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　. 线线平行 线面平行 面面平行 所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理. 　　　　　已知在四棱锥S-ABC中，G是AB上的点，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明. 跟踪训练 3 26 SG∥平面DEF. 证明如下：方法一　连接CG，交DE于点H，连接FH. ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG， ∴H为CG的中点.∵F是SC的中点， ∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG. 又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF， ∴SG∥平面DEF. 27 方法二　∵EF为△SBC的中位线， ∴EF∥SB. ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理可得DF∥平面SAB. 又EF∩DF=F，EF，DF⊂平面DEF， ∴平面SAB∥平面DEF. 又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF. 28 1.知识清单： (1)空间中平面与平面的位置关系. (2)平面与平面平行的判定. (3)线面平行、面面平行的综合应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 ∵α∥β，∴α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， ∴m与n无公共点， ∴m与n平行或异面. √ 1 2 3 4 2.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有 A.1对　　　　　B.2对　　　　　C.3对　　　　　D.4对 如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1， 平面BCC1B1∥平面FEE1F1， 平面AFF1A1∥平面CDD1C1， 平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1， ∴此六棱柱的面中互相平行的有4对. √ 1 2 3 4 3.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是　　　(填“平行”或“相交”).  若α∩β=l，则在平面α内，存在与l相交的直线a， 设a∩l=A，对于β内的任一直线b， 若b过点A，则a与b相交， 若b不过点A，则a与b异面， 即β内不存在直线b∥a，与题意矛盾.故α∥β. 1 2 3 4 平行 4.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是　　　.  由题图知，A1E∥BE1， ∵A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1， ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理，A1D1∥平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1=A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1， ∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 平行 1 2 3 4 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C A B AB (1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1 (3)平面AB1C 题号 8 11 12 13 14 15 答案 相交或平行 ABC C D M在线段FH上 (1)1　 (2) 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 由题意知A1G EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD=O，则点O为AC的中点，连接OH，如图所示，在△ACF中， 因为点H为CF的中点，所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下： 如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，因为PB=3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点，可得BF=. 因为AB=AD=2，BC=CD=2，AC=AC，所以△ABC≌△ADC， 因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，tan∠ACB===， 所以∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BCD=60°， 因为tan∠AFB===，所以∠AFB=60°，所以AF∥CD. 因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD， 又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD， 因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD， 所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加条件 A.n是直线且n⊂α，n∥β B.n，m是异面直线，n∥β C.n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D.n，m是平行直线且n⊂α，n∥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知平面α，β和直线m，n，下列说法正确的是 A.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交 D.若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于A，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误； 对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误； 对于C，若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交，故C正确； 对于D，若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行或相交，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.下列四个说法中正确的是 A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β B.α∩γ=a，α∩β=b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则 　γ∥β C.平面α内的一个三角形的三条边分别平行于平面β内的一个三角形的三 　条边，则α∥β D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边 　对应平行，则α∥β 由平面与平面平行的判定定理知C正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是 A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，∵EG∥E1G1， EG⊄平面E1FG1， E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E， 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG=E，H1E，EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥平面EGH1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.下列四个正方体图形中，A，B，C为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是 B中，易证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF. 又AB∩BC=B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可能有 A.0个　　　　　B.1个　　　　　C.2个　　　　　D.无数个 ①当经过平面α外两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使得β∥α； ②当经过平面α外两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故不能作出与平面α平行的平面. 故满足条件的平面有0个或1个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 7.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，写出一个满足条件的平面： (1)与平面ADD1A1平行的平面为　　　　　　；  (2)与平面ABB1A1平行的平面为　　　　　　；  (3)与平面A1DC1平行的平面为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平面BCC1B1 平面DCC1D1 平面AB1C 答案 因为ABCD-A1B1C1D1为长方体， 所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 同时A1C1∥AC，DC1∥AB1， 又因为AC⊄平面A1DC1，AB1⊄平面A1DC1， 所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1， 因为AC∩AB1=A，AC，AB1⊂平面AB1C， 所以平面A1DC1∥平面AB1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是　　　　　　.  b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求； 若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求， 故α与β的关系为相交或平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 相交或平行 答案 9.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：平面EFA1∥平面BCHG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 由题意知A1G　EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△CEF中， 因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD=O，则点O为AC的中点， 连接OH， 答案 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在△ACF中， 因为点H为CF的中点， 所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 答案 55 11.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是 A.平面EFGH∥平面ABCD B.平面PAD∥BC C.平面PCD∥AB D.平面PAD∥平面PAB √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 答案 如图所示，把平面展开图还原为四棱锥， 则EF∥AB，易证EF∥平面ABCD. 同理可证EH∥平面ABCD， 又EF∩EH=E，EF，EH⊂平面EFGH， 所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确； 平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，它们两两相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以平面PCD∥AB. 同理，平面PAD∥BC，故B，C正确； 显然D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是 A.平面 　　 B.直线 C.线段，但只含1个端点 D.圆 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连接BN. ∵在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上， 且AA1∥BD，AA1∩A1C1=A1，BD∩DN=D， ∴平面BDN∥平面A1ACC1. ∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点， 且有平面BDM∥平面A1ACC1， ∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合， ∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图. 截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱的中点)， 可知N在经过P，Q，R三点的平面上， 所以B，C错误； MC1与QE是相交直线，所以A错误； 由图知D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足　　　 　时，有MN∥平面B1BDD1.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M在线段FH上 答案 连接HN，FH，FN(图略). 由题易知HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1， ∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动， ∴M∈FH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC(λ>0). (1)当λ=　　时，平面BEF∥平面A1DQ；  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 当λ=1时，Q为BC中点， 因为E是AD的中点， 所以ED=BQ，ED∥BQ， 则四边形BEDQ是平行四边形， 所以BE∥DQ. 又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ， 所以BE∥平面A1DQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又F是A1A的中点，所以EF∥A1D， 因为EF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ， 所以EF∥平面A1DQ. 因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF， 所以平面BEF∥平面A1DQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)当λ=　　时，使得BD⊥FQ.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 连接AQ， 因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD. 若BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ，且AA1∩FQ=F， 所以BD⊥平面A1AQ. 因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD. 在矩形ABCD中，由AQ⊥BD， 得△AQB∽△DBA， 所以AB2=AD·BQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又AB=1，AD=2， 所以BQ=，QC=， 则=，即λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC=CD =2，AB=AD=2.若PB=3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD？若存在，求出线段BF的长；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下： 如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，因为PB=3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点， 可得BF=. 因为AB=AD=2，BC=CD=2，AC=AC， 所以△ABC≌△ADC， 因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°， tan∠ACB===，所以∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BCD=60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 72 因为tan∠AFB===，所以∠AFB=60°，所以AF∥CD. 因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以AF∥平面PCD， 又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD， 因为AF∩EF=F，AF，EF⊂平面AEF， 所以平面AEF∥平面PCD， 所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 73 第一章 <<< $$