2.3.2 和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用 [学习目标]　1.了解和差化积、积化和差公式的推导过程.2.掌握和差化积、积化和差及辅助角公式并能用公式解决一些简单的问题． 导语 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式． (1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？ (2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？ 这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧． 一、和差化积 知识梳理 和差化积公式 (1)cos α＋cos β＝2cos cos ； (2)sin α＋sin β＝2sin cos ； (3)cos α－cos β＝－2sin sin ； (4)sin α－sin β＝2cos sin . 例1　把下列各式化成积的形式： (1)sin 44°＋sin 76°； (2)cos 50°＋cos 42°； (3)cos 3x－cos 5x； (4)sin 50°－sin 70°. 解　(1)原式＝2sin cos ＝2sin 60°·cos 16°＝cos 16°. (2)原式＝2cos cos ＝2cos 46°cos 4°. (3)原式＝－2sin sin ＝2sin 4xsin x. (4)原式＝2cos sin ＝2cos 60°sin(－10°)＝－sin 10°. 反思感悟　利用和差化积公式化简求值时的两个注意点 (1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式． (2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式． 跟踪训练1　将下列各式化成积的形式： (1)sin－sin；(2)sin x＋. 解　(1)原式＝2cos · sin ＝2cos αsin ＝cos α. (2)原式＝sin x＋sin ＝2sin cos ＝2sincos. 二、积化和差 知识梳理 积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 例2　(1)sin cos 等于(　　) A.－ B.＋ C.－ D.＋ 答案　B 解析　原式＝ ＝＝＋. (2)把下列各式化成和或差的形式： ①sin 64° cos 134°；②cos 2·cos 1.2. 解　①原式＝[sin(64°＋134°)＋sin(64°－134°)] ＝(sin 198°－sin 70°)． ②原式＝[cos(2＋1.2)＋cos(2－1.2)] ＝(cos 3.2＋cos 0.8)． 反思感悟　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式． 跟踪训练2　求cos 15°cos 60°cos 75°的值． 解　原式＝cos 15°cos 75° ＝×[cos(15°＋75°)＋cos(15°－75°)] ＝×(0＋cos 60°)＝. 三、辅助角公式及其应用 问题1　请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x. 提示　sin x±cos x＝sin，sin x±cos x＝2sin，cos x±sin x＝2sin. 问题2　一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？ 提示　第一步：提常数，提出， 得到y＝； 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝，sin φ＝， 得到y＝(cos φsin x＋sin φcos x)； 第三步：化简、逆用公式得y＝asin x＋bcos x ＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 知识梳理 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－θ)． 例3　已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 解　(1)f(x)＝ ＝cos2x－sin2x ＝－ ＝cos 2x－， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x ＝cos， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时， h(x)有最大值， 此时x的取值集合为. 反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝sin(x＋φ)或y＝cos(x－φ)的形式，以便研究函数的性质． 跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解　(1)由已知，得f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为x∈， 所以2x－∈， 当－≤2x－≤－，即－≤x≤－时，f(x)单调递减；当－≤2x－≤，即－≤x≤时，f(x)单调递增， 所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且f ＝－，f ＝－，f ＝， 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. 1．知识清单： (1)和差化积公式． (2)积化和差公式． (3)辅助角公式及其应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：对本节课的公式应用不熟导致解题错误． 1．f(x)＝12sin x＋5cos x化为y＝Asin(x＋φ)形式，其中正确的是(　　) A．f(x)＝13sin(x＋φ) B．f(x)＝13sin(x＋φ) C．f(x)＝13sin(x－φ) D．f(x)＝13sin(x－φ) 答案　A 解析　f(x)＝12sin x＋5cos x ＝13 ＝13sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 2．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　) A．－ B. C．－m D．m 答案　C 解析　sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m. 3．化简：sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝________. 答案　0 解析　原式＝2sin ·cos －cos 20°＝cos 20°－cos 20°＝0. 4．y＝cos x－sin x的最大值为________． 答案　2 解析　y＝cos x－sin x＝2 ＝2＝2cos， 所以ymax＝2. 1．sin cos 等于(　　) A．－－ B．－＋ C.＋ D.－ 答案　A 解析　原式＝ ＝＝－－. 2．将sin 93°＋sin 27°化为积的形式，下列结论正确的是(　　) A.cos 43° B.cos 33° C.cos 53° D.cos 63° 答案　B 解析　原式＝2sin cos ＝cos 33°. 3．函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－时，f ＝0，即函数f(x)的一个对称中心为. 4．已知sin x＋cos x＝，则cos等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵sin x＋cos x＝2sin＝， ∴sin＝， 则cos＝cos＝sin＝. 5．若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的最大值为2 C．函数f(x)的一个对称中心为 D．函数f(x)在上单调递增 答案　D 解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， ∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误；由f ＝sin＝≠0，故C错误；由π<x<，得<2x＋<，可知函数f(x)在上单调递增，故D正确． 6．当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－2，) B．[－2，] C．(－，) D．[－，] 答案　B 解析　由题意知，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，即sin x－cos x＝m在x∈上有解，则函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象与直线y＝m在上有交点，如图， 由图象易得，－2≤m≤. 7．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x的图象过点和，则a＝________，b＝________，f(x)的最大值是________． 答案　1　－　2 解析　由题意得 解得 ∴f(x)＝sin x－cos x＝2sin， ∴f(x)的最大值为2. 8．化简：＝________. 答案　tan 解析　原式＝＝＝＝tan . 9．求证：＝. 证明　左边＝ ＝ ＝＝＝右边， 所以原等式成立． 10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若x∈，求函数的值域． 解　(1)因为f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x ＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x－2sin2x ＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)当x∈时，2x∈[0，π]， 所以2x＋∈， 所以sin∈， 所以函数f(x)的值域是. 11．已知cos(α＋β)·cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　cos(α＋β)·cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β) ＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β＝. 12．若函数f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|的最大值是8，则m等于(　　) A．3 B．13 C．3或－3 D．－3或13 答案　C 解析　∵f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|， ∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|， ∵－5≤5sin(x＋φ)≤5， ∴当m>0时，f(x)max＝|5＋m|＝8， 解得m＝3； 当m<0时，f(x)max＝|－5＋m|＝8， 解得m＝－3. 13．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)，由x∈[0，π]， 令t＝ωx＋∈， 又函数y＝2sin t在t∈上有两个零点，如图， 则2π≤ωπ＋<3π，解得ω∈. 14．设向量a＝，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，则x的值为________； (2)设函数f(x)＝a·b，则f(x)的最大值为_____． 答案　(1)　(2) 解析　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝， 所以x＝. (2)因为f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， 所以当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值， 又x∈，所以当k＝0，x＝时， f(x)max＝1＋＝， 所以f(x)的最大值为. 15．已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝. 证明　由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，① cos A＋cos B＝－cos C．② 所以2sin cos ＝－sin C，③ 2cos cos ＝－cos C．④ 因为当cos ＝0时，sin C＝cos C＝0，该式不成立， 所以cos ≠0. ③÷④，得tan ＝tan C. 所以cos(A＋B)＝＝＝cos 2C. ①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1， 即cos(A－B)＝－， 所以cos2A＋cos2B＋cos2C ＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B＋1＋cos 2C) ＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos 2C] ＝＋＝. 16．已知a≠0，函数f(x)＝acos 2x＋asin 2x－2a＋b，x∈，是否存在实数a，b，使函数f(x)的值域为？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解　∵f(x)＝2asin－2a＋b，x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈. 当a>0时， 解得 当a<0时， 解得 综上所述或 故存在实数a＝，b＝1或a＝－，b＝－，使函数f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$