第2章 2.1.3 两角和与差的正切公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

2.1.3　两角和与差的正切公式 [学习目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 导语 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”. 一、两角和与差的正切公式 问题1　请同学们写出两角和与差的余弦公式、正弦公式. 提示　cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β， cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β； sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 问题2　同角三角函数中的商数关系是什么？ 提示　=tan α. 问题3　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示　tan(α+β)=== =. 用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β). 知识梳理 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α，β，α+β≠kπ+(k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α-β)= T(α-β) α，β，α-β≠kπ+(k∈Z) 注意点： 公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 例1　(1)tan 255°等于(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 答案　D 解析　原式=tan(180°+75°)=tan 75° =tan(45°+30°)= ==2+. (2)化简等于(　　) A.　B.　C.3　D.1 答案　B 解析　原式==tan(45°-15°)=tan 30°=. 反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan”“=tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 跟踪训练1　化简求值： (1)； (2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. 解　(1)原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-. (2)∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°， ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. 二、给值求值(角) 问题4　根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 提示　T(α+β)的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. T(α-β)的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β)； tan αtan β=-1. 例2　已知sin α=，α∈，tan(π-β)=，则tan(α-β)的值为(　　) A.-　B.　C.　D.- 答案　A 解析　因为sin α=，α∈， 所以cos α=-，即tan α=-. 因为tan(π-β)=-tan β=，故tan β=-. 所以tan(α-β)= ==-. 延伸探究　若本例条件不变，求tan(α+β)的值. 解　因为α∈，sin α=， 所以cos α=-， tan α=-，又tan β=-tan(π-β)=-， 所以tan(α+β)= ==-2. 反思感悟　(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求： (1)tan(α+β)的值； (2)α+2β的大小. 解　(1)由条件得cos α=，cos β=. ∵α，β为锐角， ∴sin α==， sin β==. 因此tan α==7， tan β==. ∴tan(α+β)===-3. (2)∵tan 2β=tan(β+β)===， ∴tan(α+2β)===-1. ∵α，β为锐角， ∴0<α+2β<，∴α+2β=. 三、两角和与差的正切公式的综合应用 例3　(1)设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的根，则tan(α+β)的值为(　　) A.-3　B.-1　C.1　D.3 答案　A 解析　由题意知tan α+tan β=3，tan αtan β=2， 所以tan(α+β)===-3. (2)綦江区东溪中学，始建于1944年，位于千年古镇东溪镇，是一所有着悠久历史和深厚文化底蕴并能与时俱进、持续创新的学校.东溪中学设施齐全，拥有200米标准环形跑道的塑胶球场，可供1 600人住宿的学生公寓，区内一流的理化生室、微机室、多媒体室、电子阅览室，先进的校园广播电视系统、网络系统和“一卡通”电子消费系统.学校的标志性建筑是投资150万元并于2004年投入使用的“飞机楼”.飞机楼以展翅腾飞，搏击长空的形象彰显了东溪中学“扶摇直上九万里”的鸿鹄之志. 小华同学为了估算飞机楼的高度，她进行了一番估测：飞机楼底部中点近似处于球场的中心轴上，飞机楼正前方的塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状，估测得圆的半径为r=15.3 m，站在两个半圆圆心(记为点C，D)处分别测得对飞机楼顶点A的仰角为α=15°和β=45°. ①估算距离CD； ②根据以上数据估算飞机楼的高度AB.(结果保留2位小数.参考数据：π≈3.14，≈1.732.) 解　①根据题意，塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状， 所以200米标准环形跑道的塑胶球场周长为2πr+2CD=200(m)， 将π≈3.14，r=15.3 m代入可求得CD≈51.96 m. ②设飞机楼的高度AB=h， 由β=45°可得AB=DB=h， 在Rt△ABC中，tan α==， 由α=15°可得tan α=tan(45°-30°)==2-， 即=2-，所以h=CD， 代入数据可得h≈19.02(m)， 所以飞机楼的高度AB约为19.02 m. 反思感悟　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 跟踪训练3　在斜△ABC中，若C=45°，则(1-tan A)(1-tan B)等于(　　) A.1　B.-1　C.　D.2 答案　D 解析　在斜△ABC中，C=45°， 所以(1-tan A)(1-tan B) =1-(tan A+tan B)+tan Atan B =1-tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B =1+tan C(1-tan Atan B)+tan Atan B=2. 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 1.已知tan α=-，则tan等于(　　) A.-　B.-7　C.　D.7 答案　D 解析　tan===7. 2.已知tan α=2，tan β=3，则tan(α+β)等于(　　) A.1　B.5　C.-1　D.-5 答案　C 解析　tan(α+β)===-1. 3.已知α，β都是锐角，tan α=，tan β=，则α+β的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　tan(α+β)===1，由α，β都是锐角可知α+β=. 4.计算：=　　　　.  答案　1 解析　原式==tan 45°=1. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.与相等的是(　　) A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21° 答案　B 解析　原式==tan(45°-21°) =tan 24°. 2.已知α∈，sin α=-，则tan等于(　　) A.-7　B.-　C.　D.7 答案　B 解析　∵α∈，sin α=-， ∴cos α=，∴tan α=-. ∴tan===-. 3.若α+β=，则(1-tan α)(1-tan β)等于(　　) A.　B.2　C.1+　D.不确定 答案　B 解析　∵α+β=， ∴tan(α+β)==-1， ∴tan α+tan β=tan αtan β-1， ∴(1-tan α)(1-tan β) =1-(tan α+tan β)+tan αtan β =1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2. 4.若tan 28°tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°等于(　　) A.m B.(1-m) C.(m-1) D.(m+1) 答案　B 解析　∵28°+32°=60°， ∴tan 60°=tan(28°+32°)==， ∴tan 28°+tan 32°=(1-m). 5.已知sin α=，且α为锐角，tan β=-3，且β为钝角，则角α+β的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　因为sin α=，且α为锐角， 所以cos α=，tan α=， 所以tan(α+β)===-1. 又α+β∈，故α+β=. 6.(多选)已知cos α=-，则tan等于(　　) A.-　B.-7　C.　D.7 答案　CD 解析　因为cos α=-， 所以sin α=±=±， 所以tan α=±. 当tan α=时，tan==； 当tan α=-时，tan==7. 7.(5分)已知2tan θ-tan=7，则tan θ=　　　　.  答案　2 解析　∵2tan θ-tan=7， ∴2tan θ-=7， 即2tan θ-2tan2θ-tan θ-1=7-7tan θ， 即2tan2θ-8tan θ+8=0， 即2(tan θ-2)2=0，解得tan θ=2. 8.(5分)已知0<α<，sin α=，tan(α-β)=-，则tan β=　　　　，=　　　　.  答案　3　 解析　因为0<α<，sin α=， 所以cos α===， 所以tan α==，又因为tan(α-β)=-， 所以tan β=tan[α-(α-β)]====3， 所以====. 9.(10分)已知tan α，tan β是方程x2-2x-4=0的两根，试求sin2(α+β)-2sin(α+β)cos(α+β)的值. 解　由已知得 ∴tan(α+β)===， ∴sin2(α+β)-2sin(α+β)cos(α+β) = = ==-. 10.(11分)已知tan=2，tan β=. (1)求tan α的值；(5分) (2)求的值.(6分) 解　(1)∵tan=2， ∴=2， ∴=2，解得tan α=. (2)∵tan α=，tan β=， ∴原式= == =tan(β-α)= ==. 11.已知α，β均为锐角，且tan β=，则tan(α+β)等于(　　) A.　B.　C.1　D. 答案　C 解析　因为tan β===tan， 又α，β均为锐角，所以-<-α<，0<β<，可得β=-α， 即α+β=，所以tan(α+β)=tan=1. 12.(多选)在△ABC中，C=120°，tan A+tan B=，下列各式中正确的是(　　) A.A+B=2C B.tan(A+B)=- C.tan A=tan B D.cos B=sin A 答案　CD 解析　∵C=120°，∴A+B=60°，∴2(A+B)=C， ∴tan(A+B)=，∴选项A，B错误； ∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=， ∴tan A·tan B=， ① 又tan A+tan B=， ② ∴联立①②解得tan A=tan B=， ∴cos B=sin A，故选项C，D正确. 13.角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 答案　A 解析　由题意得tan A+tan B=， tan Atan B=， ∴tan(A+B)==， ∴tan C=-tan(A+B)=-， ∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 14.(5分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  答案　- 解析　方法一　由题意得tan(α+β) ===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈((2m+2k)π+，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0， 则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= = ==-. 15.(5分)已知sin=，cos=-，且α-和-β分别为第二、三象限角，则tan的值是　　　　.  答案　- 解析　因为sin=，且α-为第二象限角， 所以cos=-=-. 又cos=-，且-β为第三象限角， 所以sin=-=-. 所以tan=-，tan=， 所以tan=tan ===-. 16.(12分)已知tan(α-β)=，tan β=-，α，β∈(0，π)，求2α-β的值. 解　∵tan β=-，tan(α-β)=， ∴tan α=tan[(α-β)+β] = ==， tan(2α-β)=tan[(α-β)+α] ===1. ∵α，β∈(0，π)，tan α=>0，tan β=-<0， ∴α∈，β∈，∴α-β∈(-π，0). 又∵tan(α-β)=>0， ∴α-β∈， ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π，0). 又∵tan(2α-β)=1，∴2α-β=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.3 第2章 <<< 两角和与差的正切公式 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 学习目标 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”. 导 语 一、两角和与差的正切公式 二、给值求值(角) 课时对点练 三、两角和与差的正切公式的综合应用 随堂演练 内容索引 两角和与差的正切公式 一 提示　cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β， cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β； sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 请同学们写出两角和与差的余弦公式、正弦公式. 问题1 提示　=tan α. 同角三角函数中的商数关系是什么？ 问题2 提示　tan(α+β)=== =. 用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β). 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 问题3 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(α+β)=____________ T(α+β) α，β，α+β≠kπ+(k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α-β)=_____________ T(α-β) α，β，α-β≠kπ+(k∈Z) 知识梳理 公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 注 意 点 <<< 10 　(1)tan 255°等于 A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 例 1 √ 原式=tan(180°+75°)=tan 75° =tan(45°+30°)===2+. 11 (2)化简等于 A.　 B.　 C.3　 D.1 √ 原式==tan(45°-15°)=tan 30°=. 12 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan”“=tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 反 思 感 悟 13 　化简求值： (1)； 跟踪训练 1 原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-. 14 (2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. ∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°， ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. 15 二 给值求值(角) 根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 问题4 提示　T(α+β)的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. T(α-β)的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β)； tan αtan β=-1. 　已知sin α=，α∈，tan(π-β)=，则tan(α-β)的值为 A.-　 B.　 C.　 D.- 例 2 √ 因为sin α=，α∈， 所以cos α=-，即tan α=-. 因为tan(π-β)=-tan β=，故tan β=-. 所以tan(α-β)===-. 19 　若本例条件不变，求tan(α+β)的值. 延伸探究 因为α∈，sin α=， 所以cos α=-， tan α=-，又tan β=-tan(π-β)=-， 所以tan(α+β)===-2. 20 反 思 感 悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A， B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求： (1)tan(α+β)的值； 跟踪训练 2 22 由条件得cos α=，cos β=. ∵α，β为锐角， ∴sin α==， sin β==. 因此tan α==7， tan β==. ∴tan(α+β)===-3. 23 (2)α+2β的大小. ∵tan 2β=tan(β+β)===， ∴tan(α+2β)===-1. ∵α，β为锐角， ∴0<α+2β<，∴α+2β=. 24 两角和与差的正切公式的综合应用 三 　(1)设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的根，则tan(α+β)的值为 A.-3　 B.-1　 C.1　 D.3 例 3 √ 由题意知tan α+tan β=3，tan αtan β=2， 所以tan(α+β)===-3. 26 (2)綦江区东溪中学，始建于1944年，位于千年古镇东溪镇，是一所有着悠久历史和深厚文化底蕴并能与时俱进、持续创新的学校.东溪中学设施齐全，拥有200米标准环形跑道的塑胶球场，可供1 600人住宿的学生公寓，区内一流的理化生室、微机室、多媒体室、电子阅览室，先进的校园广播电视系统、网络系统和“一卡通”电子消费系统.学校的标志性建筑是投资150万元并于2004年投入使用的“飞机楼”.飞机楼以展翅腾飞，搏击长空的形象彰显了东溪中学“扶摇直上九万里”的鸿鹄之志. 27 小华同学为了估算飞机楼的高度，她进行了一番估测：飞机楼底部中点近似处于球场的中心轴上，飞机楼正前方的塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状，估测得圆的半径为r=15.3 m，站在两个半圆圆心(记为点C，D)处分别测得对飞机楼顶点A的仰角为α=15°和β=45°. ①估算距离CD； 28 根据题意，塑胶球场可近似看作两个等大半圆夹一个矩形的形状， 所以200米标准环形跑道的塑胶球场周长为2πr+2CD=200(m)， 将π≈3.14，r=15.3 m代入可求得CD≈51.96 m. 29 ②根据以上数据估算飞机楼的高度AB.(结果保留2位小数.参考数据：π≈3.14，≈1.732.) 30 设飞机楼的高度AB=h， 由β=45°可得AB=DB=h， 在Rt△ABC中，tan α==， 由α=15°可得tan α=tan(45°-30°)==2-， 即=2-，所以h=CD， 代入数据可得h≈19.02(m)， 所以飞机楼的高度AB约为19.02 m. 31 反 思 感 悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 　在斜△ABC中，若C=45°，则(1-tan A)(1-tan B)等于 A.1　 B.-1　 C.　 D.2 跟踪训练 3 √ 在斜△ABC中，C=45°， 所以(1-tan A)(1-tan B) =1-(tan A+tan B)+tan Atan B =1-tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B =1+tan C(1-tan Atan B)+tan Atan B=2. 33 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知tan α=-，则tan等于 A.-　 B.-7　 C.　 D.7 tan===7. √ 1 2 3 4 2.已知tan α=2，tan β=3，则tan(α+β)等于 A.1　 B.5 　 C.-1　 D.-5 tan(α+β)===-1. √ 1 2 3 4 3.已知α，β都是锐角，tan α=，tan β=，则α+β的值为 A.　 B.　 C.　 D. tan(α+β)===1，由α，β都是锐角可知α+β=. √ 1 2 3 4 4.计算：=　　　.  原式==tan 45°=1. 1 2 3 4 1 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B B B CD 2 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 3　 C CD A - - 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由已知得 ∴tan(α+β)===， ∴sin2(α+β)-2sin(α+β)cos(α+β)= ===-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵tan=2， ∴=2，∴=2，解得tan α=. (2)∵tan α=，tan β=， ∴原式=== =tan(β-α)===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∵tan β=-，tan(α-β)=， ∴tan α=tan[(α-β)+β]===， tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]===1. ∵α，β∈(0，π)，tan α=>0，tan β=-<0， ∴α∈，β∈， ∴α-β∈(-π，0). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 又∵tan(α-β)=>0， ∴α-β∈， ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π，0). 又∵tan(2α-β)=1，∴2α-β=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.与相等的是 A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21° 原式==tan(45°-21°)=tan 24°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知α∈，sin α=-，则tan等于 A.-7　 B.-　 C.　 D.7 ∵α∈，sin α=-， ∴cos α=，∴tan α=-. ∴tan===-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.若α+β=，则(1-tan α)(1-tan β)等于 A.　 B.2　 C.1+　 D.不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵α+β=， ∴tan(α+β)==-1， ∴tan α+tan β=tan αtan β-1， ∴(1-tan α)(1-tan β) =1-(tan α+tan β)+tan αtan β =1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.若tan 28°tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°等于 A.m B.(1-m) C.(m-1) D.(m+1) ∵28°+32°=60°， ∴tan 60°=tan(28°+32°)==， ∴tan 28°+tan 32°=(1-m). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.已知sin α=，且α为锐角，tan β=-3，且β为钝角，则角α+β的值为 A.　 B.　 C.　 D. 因为sin α=，且α为锐角， 所以cos α=，tan α=， 所以tan(α+β)===-1. 又α+β∈，故α+β=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)已知cos α=-，则tan等于 A.-　 B.-7　 C.　 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为cos α=-， 所以sin α=±=±， 所以tan α=±. 当tan α=时，tan==； 当tan α=-时，tan==7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知2tan θ-tan=7，则tan θ=　　　.  ∵2tan θ-tan=7， ∴2tan θ-=7， 即2tan θ-2tan2θ-tan θ-1=7-7tan θ， 即2tan2θ-8tan θ+8=0， 即2(tan θ-2)2=0，解得tan θ=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 8.已知0<α<，sin α=，tan(α-β)=-，则tan β=　　，=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 答案 因为0<α<，sin α=， 所以cos α===， 所以tan α==，又因为tan(α-β)=-， 所以tan β=tan[α-(α-β)]====3， 所以====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.已知tan α，tan β是方程x2-2x-4=0的两根，试求sin2(α+β)-2sin(α+β)cos(α+β)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知得 ∴tan(α+β)===， ∴sin2(α+β)-2sin(α+β)cos(α+β) ====-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 58 10.已知tan=2，tan β=. (1)求tan α的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵tan=2， ∴=2， ∴=2，解得tan α=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求的值. ∵tan α=，tan β=， ∴原式=== =tan(β-α)===. 答案 60 11.已知α，β均为锐角，且tan β=，则tan(α+β)等于 A.　 B.　 C.1　 D. 因为tan β===tan， 又α，β均为锐角，所以-<-α<，0<β<，可得β=-α， 即α+β=，所以tan(α+β)=tan=1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 12.(多选)在△ABC中，C=120°，tan A+tan B=，下列各式中正确的是 A.A+B=2C B.tan(A+B)=- C.tan A=tan B D.cos B=sin A √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 ∵C=120°，∴A+B=60°，∴2(A+B)=C， ∴tan(A+B)=，∴选项A，B错误； ∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=， ∴tan A·tan B=， ① 又tan A+tan B=， ② ∴联立①②解得tan A=tan B=， ∴cos B=sin A，故选项C，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意得tan A+tan B=， tan Atan B=， ∴tan(A+B)==， ∴tan C=-tan(A+B)=-， ∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β =4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 答案 方法一　由题意得tan(α+β) ===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则α+β∈((2m+2k)π+，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0， 则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β= ===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.已知sin=，cos=-，且α-和-β分别为第二、三象限角，则tan的值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 答案 因为sin=，且α-为第二象限角， 所以cos=-=-. 又cos=--β为第三象限角， 所以sin=-=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所以tan=-，tan=， 所以tan=tan===-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知tan(α-β)=，tan β=-，α，β∈(0，π)，求2α-β的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵tan β=-，tan(α-β)=， ∴tan α=tan[(α-β)+β]===， tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]===1. ∵α，β∈(0，π)，tan α=>0，tan β=-<0， ∴α∈，β∈，∴α-β∈(-π，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 74 又∵tan(α-β)=>0， ∴α-β∈， ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π，0). 又∵tan(2α-β)=1，∴2α-β=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 75 第一章 <<< $$