第2章 2.1.2 两角和与差的正弦公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

2.1.2　两角和与差的正弦公式 [学习目标]　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 导语 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止.在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展. 一、两角和与差的正弦公式 问题1　如何借助公式sin α=cos推导出sin(α-β)的公式？ 提示　sin(α-β)=cos =cos =coscos β-sinsin β =sin αcos β-cos αsin β. 问题2　如何借助sin(α-β)的公式推导出sin(α+β)的公式？ 提示　用-β替换公式中的β即可. 知识梳理 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，其中α，β∈R，简记为S(α+β)；  sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，其中α，β∈R，简记为S(α-β).  注意点： (1)公式展开形式的记忆口诀：两角和差之正弦，正余余正号相同. (2)公式的逆用一定要注意函数名称的顺序和角的顺序. 例1　求值： (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=　　　　；  (2)sin 15°+sin 75°=　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40° =sin(20°+40°)=sin 60°=. (2)sin 15°+sin 75° =sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30°=. 反思感悟　探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式. 跟踪训练1　cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为(　　) A.-　B.-　C.　D. 答案　B 解析　方法一　原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40° =-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°=-. 方法二　原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40° =sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40° =sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-. 二、给值求值 例2　已知sin α=，cos β=-，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α+β)的值. 解　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-， 所以cos α=，sin β=， 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×+×=. 延伸探究　若本例条件不变，求sin(α-β)的值. 解　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-，所以cos α=，sin β=， 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 跟踪训练2　已知<α<，0<β<，cos=-，sin=，求sin(α+β)的值. 解　因为<α<，所以<+α<π. 因为cos=-， 所以sin=. 因为0<β<，所以<+β<π. 因为sin=， 所以cos=-. 因为+=π+α+β， 所以sin(α+β)=-sin[π+(α+β)] =-sin =-sincos-cossin =-×-×=. 三、给值求角 例3　已知锐角α，β满足sin α=，sin β=，求α-β的值. 解　由α，β∈且sin α=，sin β=可知，cos α=，cos β=. ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 又α，β∈，∴-<α-β<， ∴α-β=-. 反思感悟　给值求角的解题策略 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角. (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在第一、二或第三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在第一、四或第二、三象限，则选正弦函数等. 跟踪训练3　已知cos α=，sin(α+β)=，0<α<，0<β<，求角β的值. 解　因为0<α<，cos α=， 所以sin α=. 又因为0<β<，所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)=<sin α， 所以<α+β<π，所以cos(α+β)=-， 所以sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 又因为0<β<，所以β=. 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围. 1.sin 105°的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin °45=. 2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于(　　) A.-　B.-　C.　D. 答案　A 解析　原式=sin(21°-81°)=sin(-60°)=-. 3.设0<α<β<，sin α=，cos(α-β)=，则sin β的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　因为0<α<β<，所以-<α-β<0，所以cos α==，sin(α-β)=-=-， 故sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=. 4.sin 15°-cos 15°=　　　　.  答案　- 解析　原式=sin 15°cos 60°-sin 60°cos 15° =sin(15°-60°)=-sin 45°=-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　) A.-　B.　C.-　D. 答案　D 解析　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=. 2.已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin等于(　　) A.- B. C. D.- 答案　D 解析　根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=，所以sin=sin αcos-cos αsin=-. 3.已知cos=-(α为锐角)，则sin α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵cos=-(α为锐角)， ∴sin=. ∴sin α=sin =sin-cos =×-×=. 4.在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B，则这个三角形一定为(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 答案　B 解析　∵在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B， ∴cos(A+B)>0， 又A+B+C=π，∴cos C<0， 则C为钝角，故△ABC一定为钝角三角形. 5.(多选)若sin αcos -cos αsin =，α∈[0，2π)，则α等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　AD 解析　sin αcos -cos αsin =sin=，又α∈[0，2π)，所以-≤α-<，则α-=或， 所以α=或. 6.若锐角α，β满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　∵cos(α+β)=，α，β∈， ∴0<α+β<，又∵cos α=， ∴sin α=，sin(α+β)=. ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 7.(5分)形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式 的值是　　　　.  答案　- 解析　=sin 15°-cos 15° =sin(15°-45°) =sin(-30°) =-. 8.(5分)已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=　　　　.  答案　- 解析　∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0， ∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ① cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ② ①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1， ∴sin(α+β)=-. 9.(10分)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=，β是第三象限角，求sin的值. 解　∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α =sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α =sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=， ∴sin β=-，又β是第三象限角， ∴cos β=-=-， ∴sin=sin βcos+cos βsin =×+×=-. 10.(11分)如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交于A，B两点. (1)求cos(α+β)的值；(5分) (2)若α∈，β∈，求2α-β的值.(6分) 解　(1)由A，B， 得cos α=，sin α=，cos β=-，sin β=， 则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. (2)由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=-，sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=. 因为cos 2α<0，α∈，所以2α∈. 因为β∈，所以2α-β∈. 则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=-. 所以2α-β=-. 11.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数，则φ的值可能为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　AD 解析　f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x =2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x， 若f(x)为奇函数， 则2sin φ-1=0，即sin φ=时，满足题意， 结合选项，φ可取，. 12.已知α为钝角，且sin=，则cos等于(　　) A. B. C.- D. 答案　C 解析　∵α为钝角，且sin=， ∴cos=-， ∴cos=cos =coscos-sinsin =-×-×=-. 13.设α∈，β∈，且tan α=，则(　　) A.2α-β=0 B.2α+β= C.2α+β=0 D.2α-β= 答案　D 解析　∵=，∴sin α·cos β=cos α+cos α·sin β， ∴sin(α-β)=cos α=sin， ∵-<α-β<，0<-α<， ∴α-β=-α， ∴2α-β=. 14.(5分)若方程sin x-cos x=m-1有解，则m的取值范围是　　　　.  答案　[-1，3] 解析　sin x-cos x=m-1， 即2=m-1， 即2sin=m-1， ∵sin∈[-1，1]. ∴-2≤m-1≤2，即-1≤m≤3. 15.在△ABC中，3sin A+4cos B=6，3cos A+4sin B=1，则C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　由题意知 ①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37. 则sin(A+B)=. ∴在△ABC中，sin C=， ∴C=或C=. 若C=，则A+B=， ∴1-3cos A=4sin B>0. ∴cos A<. 又<，∴A>，不符合题意. ∴C=. 16.(12分)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则曼哈顿距离为d(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦相似度为cos(A，B)=·+·，余弦距离为1-cos(A，B). (1)若A(-1，2)，B，求A，B之间的曼哈顿距离d(A，B)和余弦距离；(3分) (2)已知M(sin α，cos α)，N(sin β，cos β)，Q(sin β，-cos β)，若cos(M，N)=，cos(M，Q)=，求tan αtan β的值；(4分) (3)已知0<α<β<，E(5cos α，5sin α)，F(13cos β，13sin β)，P(5cos(α+β)，5sin(α+β))，若cos(E，P)=，cos(E，F)=，求E，P之间的曼哈顿距离.(5分) 解　(1)d(A，B)=+=， cos(A，B)=×+×=， 故余弦距离为1-cos(A，B)=. (2)cos(M，N)=·+· =sin αsin β+cos αcos β=； cos(M，Q)=·+· =sin αsin β-cos αcos β=， 故sin αsin β=，cos αcos β=-， 则tan αtan β==-3. (3)因为=5， =5， 所以cos(E，P)=·+·=cos β=. 因为0<β<， 所以sin β==. 因为=13， 所以cos(E，F)=·+·=cos(α-β)=. 因为0<α<β<，则-<α-β<0， 所以sin(α-β)=-=-. 因为cos α=cos(α-β+β) =cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=， 所以sin α==， 所以E(3，4). 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-， sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=， 所以P. 所以d(E，P) =+=+=， 所以E，P之间的曼哈顿距离是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 第2章 <<< 两角和与差的正弦公式 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 学习目标 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止.在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展. 导 语 一、两角和与差的正弦公式 二、给值求值 课时对点练 三、给值求角 随堂演练 内容索引 两角和与差的正弦公式 一 提示　sin(α-β)=cos =cos =coscos β-sinsin β =sin αcos β-cos αsin β. 如何借助公式sin α=cos推导出sin(α-β)的公式？ 问题1 提示　用-β替换公式中的β即可. 如何借助sin(α-β)的公式推导出sin(α+β)的公式？ 问题2 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)= ，其中α，β∈R，简记为S(α+β)；  sin(α-β)= ，其中α，β∈R，简记为S(α-β).  sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 知识梳理 (1)公式展开形式的记忆口诀：两角和差之正弦，正余余正号相同. (2)公式的逆用一定要注意函数名称的顺序和角的顺序. 注 意 点 <<< 9 　求值： (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=　　　　；  例 1 sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°=. 10 (2)sin 15°+sin 75°=　　　.  sin 15°+sin 75° =sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30°=. 11 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式. 探究解决给角求值问题的策略 反 思 感 悟 12 方法一　原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40° =-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°=-. 方法二　原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40° =sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40° =sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-. 　cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为 A.-　 B.-　 C.　 D. 跟踪训练 1 √ 13 二 给值求值 　已知sin α=，cos β=-，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α+β)的值. 例 2 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-， 所以cos α=，sin β=， 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×+×=. 15 　若本例条件不变，求sin(α-β)的值. 延伸探究 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-，所以cos α =，sin β=， 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-. 16 反 思 感 悟 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 给值求值的解题策略 　已知<α<，0<β<，cos=-，sin=，求sin(α+β)的值. 跟踪训练 2 18 因为<α<<+α<π. 因为cos=-， 所以sin=. 因为0<β<<+β<π. 因为sin=， 所以cos=-. 19 因为+=π+α+β， 所以sin(α+β)=-sin[π+(α+β)] =-sin =-sincos-cossin =-×-×=. 20 给值求角 三 　已知锐角α，β满足sin α=，sin β=，求α-β的值. 例 3 由α，β∈且sin α=，sin β=可知，cos α=，cos β=. ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 又α，β∈，∴-<α-β<， ∴α-β=-. 22 反 思 感 悟 (1)解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角. (2)选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在第一、二或第三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在第一、四或第二、三象限，则选正弦函数等. 给值求角的解题策略 　已知cos α=，sin(α+β)=，0<α<，0<β<，求角β的值. 跟踪训练 3 24 因为0<α<，cos α=， 所以sin α=. 又因为0<β<，所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)=<sin α， 所以<α+β<π，所以cos(α+β)=-， 25 所以sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 又因为0<β<，所以β=. 26 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1.sin 105°的值为 A. B. C. D. sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin °45=. √ 1 2 3 4 2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 A.-　 B.-　 C.　 D. 原式=sin(21°-81°)=sin(-60°)=-. √ 1 2 3 4 3.设0<α<β<，sin α=，cos(α-β)=，则sin β的值为 A.　 B.　 C.　 D. 因为0<α<β<，所以-<α-β<0，所以cos α==，sin(α-β)= -=-， 故sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=. √ 1 2 3 4 4.sin 15°-cos 15°=　　　.  原式=sin 15°cos 60°-sin 60°cos 15° =sin(15°-60°)=-sin 45°=-. 1 2 3 4 - 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D C B AD C - 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 - AD C D [-1，3] A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(α-β-α) =sin(-β)=-sin β=， ∴sin β=-，又β是第三象限角， ∴cos β=-=-， ∴sin=sin βcos+cos βsin=×+×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)由A，B， 得cos α=，sin α=， cos β=-，sin β=， 则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (2)由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=-， sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=. 因为cos 2α<0，α∈，所以2α∈. 因为β∈，所以2α-β∈. 则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=-. 所以2α-β=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)d(A，B)=+=，cos(A，B)=×+×=， 故余弦距离为1-cos(A，B)=. (2)cos(M，N)=·+·=sin αsin β+cos αcos β=； cos(M，Q)=·+·=sin αsin β-cos αcos β=， 故sin αsin β=，cos αcos β=-， 则tan αtan β==-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (3)因为=5， =5， 所以cos(E，P)=·+·=cos β=. 因为0<β<， 所以sin β==. 因为=13， 所以cos(E，F)=·+·=cos(α-β)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 因为0<α<β<，则-<α-β<0， 所以sin(α-β)=-=-. 因为cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=， 所以sin α==，所以E(3，4). 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-，sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=， 所以P. 所以d(E，P)=+=+=， 所以E，P之间的曼哈顿距离是. 1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于 A.-　 B.　 C.-　 D. 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin等于 A.- B. C. D.- 根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=，所以sin= sin αcos-cos αsin=-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.已知cos=-(α为锐角)，则sin α等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵cos=-(α为锐角)， ∴sin=. ∴sin α=sin =sin-cos =×-×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B，则这个三角形一定为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 ∵在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B， ∴cos(A+B)>0， 又A+B+C=π，∴cos C<0， 则C为钝角，故△ABC一定为钝角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.(多选)若sin αcos -cos αsin =，α∈[0，2π)，则α等于 A.　 B.　 C.　 D. sin αcos -cos αsin =sin=，又α∈[0，2π)，所以-≤α-<，则α-=， 所以α=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 6.若锐角α，β满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值是 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵cos(α+β)=，α，β∈， ∴0<α+β<，又∵cos α=， ∴sin α=，sin(α+β)=. ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.形如的式子叫作行列式，其运算法则为=ad-bc，则行列式 的值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - =sin 15°-cos 15°=sin(15°-45°)=sin(-30°)=-. 答案 8.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=　　　.  ∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0， ∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ① cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ② ①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1， ∴sin(α+β)=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 答案 9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=，β是第三象限角，求sin的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α =sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α =sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=， ∴sin β=-，又β是第三象限角， ∴cos β=-=-， ∴sin=sin βcos+cos βsin=×+×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 52 10.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交于 A，B两点. (1)求cos(α+β)的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由A，B， 得cos α=，sin α=，cos β=-，sin β=， 则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 54 (2)若α∈，β∈，求2α-β的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=-，sin 2α=sin(α+α) =sin αcos α+cos αsin α=. 因为cos 2α<0，α∈，所以2α∈. 因为β∈，所以2α-β∈. 则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=-. 所以2α-β=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 56 11.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数，则φ的值可能为 A.　 B.　 C.　 D. f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x =2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x， 若f(x)为奇函数， 则2sin φ-1=0，即sin φ=时，满足题意， 结合选项，φ可取. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 答案 12.已知α为钝角，且sin=，则cos等于 A. B. C.- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵α为钝角，且sin=， ∴cos=-， ∴cos=cos =coscos-sinsin =-×-×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.设α∈，β∈，且tan α=，则 A.2α-β=0 B.2α+β= C.2α+β=0 D.2α-β= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵=，∴sin α·cos β=cos α+cos α·sin β， ∴sin(α-β)=cos α=sin， ∵-<α-β<，0<-α<， ∴α-β=-α， ∴2α-β=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.若方程sin x-cos x=m-1有解，则m的取值范围是　　　　.  sin x-cos x=m-1， 即2=m-1， 即2sin=m-1， ∵sin∈[-1，1]. ∴-2≤m-1≤2，即-1≤m≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [-1，3] 答案 拓广探究 15.在△ABC中，3sin A+4cos B=6，3cos A+4sin B=1，则C的大小为 A. B. C.或 D.或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知 ①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37. 则sin(A+B)=. ∴在△ABC中，sin C=， ∴C=或C=. 若C=，则A+B=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴1-3cos A=4sin B>0. ∴cos A<. 又<，∴A>，不符合题意. ∴C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则曼哈顿距离为d(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦相似度为cos(A，B)=·+·，余弦距离为1-cos(A，B). (1)若A(-1，2)，B，求A，B之间的曼哈顿距离d(A，B)和余弦距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 d(A，B)=+=， cos(A，B)=×+×=， 故余弦距离为1-cos(A，B)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 67 (2)已知M(sin α，cos α)，N(sin β，cos β)，Q(sin β，-cos β)，若cos(M，N)=，cos(M，Q)=，求tan αtan β的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos(M，N)=·+· =sin αsin β+cos αcos β=； cos(M，Q)=·+· =sin αsin β-cos αcos β=， 故sin αsin β=，cos αcos β=-， 则tan αtan β==-3. 答案 (3)已知0<α<β<，E(5cos α，5sin α)，F(13cos β，13sin β)，P(5cos(α+β)，5sin(α+β))，若cos(E，P)=，cos(E，F)=，求E，P之间的曼哈顿距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为=5， =5， 所以cos(E，P)=·+·=cos β=. 因为0<β<， 所以sin β==. 因为=13， 所以cos(E，F)=·+·=cos(α-β)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为0<α<β<，则-<α-β<0， 所以sin(α-β)=-=-. 因为cos α=cos(α-β+β) =cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=， 所以sin α==， 所以E(3，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-， sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=， 所以P. 所以d(E，P) =+=+=， 所以E，P之间的曼哈顿距离是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$