第2章 2.1.1 两角和与差的余弦公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

2.1.1　两角和与差的余弦公式 [学习目标]　1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值、计算. 导语 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器计算，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α-β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 一、两角和与差的余弦公式 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. 提示　P(cos α，sin α). 问题2　如图，设α=∠xOP，β=∠xOP'，如何借助所学的向量知识求cos(α-β)的值？ 提示　(1)当α-β∈[0，π]时，如图，在OP及OP'上分别取两个单位向量=a，=b， 则∠AOB=α-β就是a与b的夹角. 由平面向量基本定理知， a=(cos α，sin α)， b=(cos β，sin β). 所以a·b=cos αcos β+sin αsin β. 又当α-β∈[0，π]时，则cos〈a，b〉=cos(α-β)， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=cos(α-β)， 即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)对任意的角α，β，总可选取适当的整数k，使得α-β-2kπ∈[-π，π)，记β1=β+2kπ，则β1与β的终边相同，且α-β1∈[-π，π)，如图，从而0≤|α-β1|≤π，则|α-β1|就是a，b的夹角〈a，b〉. 因此cos〈a，b〉=cos|α-β1|=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β). 因此有cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 问题3　试比较cos(α-β)和cos(α+β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示　我们注意到α-β与α+β有联系，α+β=α-(-β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos α·cos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式. 知识梳理 两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，其中α，β∈R，简记为C(α-β).  两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，其中α，β∈R，简记为C(α+β).  注意点： (1)公式展开形式的记忆口诀：两角和差之余弦，余余正正号相反. (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (3)公式的逆用仍然成立. 例1　(1)cos(-15°)=　　　　.  答案　 解析　cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=×+×=. (2)求下列各式的值： ①cos cos +cos sin ； ②cos 15°+sin 15°. 解　①原式=cos cos +cossin =cos cos +sin sin =cos =cos =. ②原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°=. 反思感悟　两角和与差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解. (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解. (3)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再逆用两角和与差的余弦公式求解. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos 54°cos 24°+cos 36°sin 24°； (2)-sin 167°sin 223°+sin 257°sin 313°. 解　(1)原式=cos 54°cos 24°+sin 54°sin 24°=cos 30°=. (2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°) =sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° =sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°)=. 二、给值求值 例2　已知sin α=，α∈，cos β=-，β∈，求cos(α+β)的值. 解　∵α∈，sin α=， ∴cos α=-=-. 又β∈，cos β=-， ∴sin β=-=-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =×-×=. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α=(α+β)-β； ②β=-； ③2α=(α+β)+(α-β)； ④2β=(α+β)-(α-β). 跟踪训练2　已知α，β∈，且sin α=，cos(α+β)=-，求cos β的值. 解　因为α，β∈， 所以0<α+β<π， 由cos(α+β)=-，得sin(α+β)=， 又sin α=，所以cos α=， 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =×+×=. 三、给值求角 问题4　若0<α<，0<β<，你能求β-α的取值范围吗？ 提示　-<β-α<. 例3　已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，求β的值. 解　由cos α=，0<α<，得 sin α===. 由0<β<α<，得0<α-β<. 又∵cos(α-β)=， ∴sin(α-β)===. ∵β=α-(α-β)， ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =×+×=. ∵0<β<，∴β=. 反思感悟　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 跟踪训练3　已知α，β∈，且sin α=，cos β=，求α+β的值. 解　∵α，β∈， sin α=，cos β=， ∴cos α=，sin β=， ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =×-×=-. 又0<α+β<π， ∴α+β=. 1.知识清单： (1)两角和与差的余弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求角时忽视角的范围. 1.cos 20°等于(　　) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°+sin 10°cos 30° 答案　B 解析　cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. 2.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为(　　) A.-　B.　C.-　D. 答案　B 解析　原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos 60° =. 3.已知cos α=，α∈，则cos的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　因为α∈，所以sin α=-， 所以cos=cos αcos+sin αsin =×+×=. 4.若cos(α-β)=，cos 2α=，且α，β均为锐角，α<β，则α+β=　　　　.  答案　 解析　因为0<α<，0<β<，α<β. 所以-<α-β<0. 又cos(α-β)=， 所以sin(α-β)=-=-. 又因为0<2α<π，cos 2α=， 所以sin 2α==， 所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) =×+×=-， 又0<α+β<π，故α+β=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°的值是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　原式=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10° =cos(70°-10°)=cos 60°=. 2.设α∈，若sin α=，则cos等于(　　) A.　B.　C.-　D.- 答案　A 解析　∵α∈，sin α=，∴cos α=. ∴cos=cos αcos-sin αsin =(cos α-sin α) =×=. 3.向量a=(sin α，cos α)，b=(cos β，sin β)，且a∥b，若α，β∈，则α+β等于(　　) A.0　B.　C.π　D.π 答案　B 解析　由向量平行可得sin αsin β-cos αcos β=0， 即cos(α+β)=0， 又∵α，β∈， ∴α+β∈[0，π]，∴α+β=. 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m　B.-　C.　D.3m 答案　A 解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 5.若0<α<<β<π，且cos β=-，sin(α+β)=，则cos α等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　∵cos β=-，<β<π，∴sin β=， ∵0<α<<β<π，sin(α+β)=， ∴<α+β<π，∴cos(α+β)=-=-， ∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-×+×=. 6.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是(　　) A.-　B.-　C.　D. 答案　AC 解析　对比公式特征知，cos=cos(x+φ)， 所以φ=-+2kπ，k∈Z，结合选项知φ=-，都合适. 7.(5分)已知cos(α+β)=，cos(α-β)=-，则cos αcos β=　　　　.  答案　0 解析　cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=， cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-， 两式相加可得2cos αcos β=0，即cos αcos β=0. 8.(5分)=　　　　.  答案　 解析　原式= = ==cos 15°=cos(60°-45°)=. 9.(10分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的纵坐标分别为，. (1)求cos α和sin β的值；(5分) (2)求cos(β-α)的值.(5分) 解　(1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为，， ∴sin α=，sin β=， 又∵α为锐角， ∴cos α==. (2)∵β为钝角， ∴由(1)知cos β=-=-， ∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α =-×+×=. 10.(12分)若sin=-，sin=，其中<α<，<β<，求角α+β的值. 解　因为<α<，所以-<-α<0， 因为<β<，所以<+β<， 由已知可得cos=，cos=-. 则cos(α+β)=cos =coscos+sinsin =×+×=-. 因为<α+β<π，所以α+β=. 11.在△ABC中，sin A=，cos B=，则cos C等于(　　) A.或 B.-或- C.- D. 答案　D 解析　依题意得sin B=，sin B>sin A， ∴B>A，∴A为锐角. 又∵sin A=，∴cos A=， ∴cos C=cos [π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B =-×+×=. 12.已知函数f(x)=sin 126°sin(x-36°)+cos 54°cos(x-36°)，则函数f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案　A 解析　因为函数的定义域为R，且f(x)=sin 126°·sin(x-36°)+cos 54°cos(x-36°)=cos 54°cos(x-36°)+sin 54°sin(x-36°)=cos[54°-(x-36°)]=cos(90°-x)=sin x，故函数f(x)为奇函数. 13.已知sin α+sin β+sin γ=0和cos α+cos β+cos γ=0，则cos(α-β)的值是(　　) A.　B.　C.-　D.- 答案　C 解析　sin α+sin β=-sin γ，cos α+cos β=-cos γ，两式分别平方，然后相加可得 2+2sin αsin β+2cos αcos β=1， 所以sin αsin β+cos αcos β=-， 即cos(α-β)=-. 14.(5分)已知0<α<π，sin=，则cos α=　　　.  答案　 解析　由0<α<π，得<α+<，又sin=<，故<α+<π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos=-=-， cos α=cos=coscos +sinsin =-×+×=. 15.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，则cos(α-β)的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，可得小正方形的边长为，可得cos α-sin α=， ① sin β-cos β=. ② 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， 所以①×②得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β) =1-cos(α-β)，解得cos(α-β)=. 16.(12分)已知α，β为锐角，且=. (1)求cos(α-β)的值；(5分) (2)若cos α=，求cos β的值.(7分) 解　(1)∵=， ∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)=， ∴cos(α-β)=. (2)∵cos α=，cos(α-β)=，α，β为锐角， ∴sin α=，sin(α-β)=±. 当sin(α-β)=时，cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=. 当sin(α-β)=-时， cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0. ∵β为锐角，∴cos β=0不符合题意，舍去. ∴cos β=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 第2章 <<< 两角和与差的余弦公式 1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值、计算. 学习目标 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器计算，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α-β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 导 语 一、两角和与差的余弦公式 二、给值求值 课时对点练 三、给值求角 随堂演练 内容索引 两角和与差的余弦公式 一 提示　P(cos α，sin α). 已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. 问题1 如图，设α=∠xOP，β=∠xOP'，如何借助所学的向量知识求cos(α-β)的值？ 问题2 提示　(1)当α-β∈[0，π]时，如图，在OP及OP'上分别取两个单位向量=a，=b， 则∠AOB=α-β就是a与b的夹角. 由平面向量基本定理知， a=(cos α，sin α)， b=(cos β，sin β). 所以a·b=cos αcos β+sin αsin β. 又当α-β∈[0，π]时，则cos〈a，b〉=cos(α-β)， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=cos(α-β)， 即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)对任意的角α，β，总可选取适当的整数k，使得α-β-2kπ∈[-π，π)，记β1=β+2kπ，则β1与β的终边相同，且α-β1∈[-π，π)， 如图，从而0≤|α-β1|≤π，则|α-β1|就是a，b的夹角 〈a，b〉. 因此cos〈a，b〉=cos|α-β1|=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ) =cos(α-β). 因此有cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 提示　我们注意到α-β与α+β有联系，α+β=α-(-β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos α·cos(-β)+ sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式. 试比较cos(α-β)和cos(α+β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 问题3 两角差的余弦公式 cos(α-β)= ，其中α，β∈R，简记为C(α-β).  两角和的余弦公式 cos(α+β)= ，其中α，β∈R，简记为C(α+β).  cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β 知识梳理 (1)公式展开形式的记忆口诀：两角和差之余弦，余余正正号相反. (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (3)公式的逆用仍然成立. 注 意 点 <<< 12 　(1)cos(-15°)=　　 　　.  例 1 cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=× +×=. 13 (2)求下列各式的值： ①cos cos +cos sin ； 原式=cos cos +cossin =cos cos +sin sin =cos =cos =. 14 ②cos 15°+sin 15°. 原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°=. 15 (1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解. (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解. (3)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再逆用两角和与差的余弦公式求解. 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 反 思 感 悟 16 求下列各式的值： (1)cos 54°cos 24°+cos 36°sin 24°； 跟踪训练 1 原式=cos 54°cos 24°+sin 54°sin 24°=cos 30°=. 17 (2)-sin 167°sin 223°+sin 257°sin 313°. 原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°) =sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° =sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°)=. 18 二 给值求值 　已知sin α=，α∈，cos β=-，β∈，求cos(α+β)的值. 例 2 ∵α∈，sin α=， ∴cos α=-=-. 又β∈，cos β=-， ∴sin β=-=-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=. 20 反 思 感 悟 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α=(α+β)-β； ②β=-； ③2α=(α+β)+(α-β)； ④2β=(α+β)-(α-β). 因为α，β∈， 所以0<α+β<π， 由cos(α+β)=-，得sin(α+β)=， 又sin α=，所以cos α=， 所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=. 　已知α，β∈，且sin α=，cos(α+β)=-，求cos β的值. 跟踪训练 2 22 给值求角 三 若0<α<，0<β<，你能求β-α的取值范围吗？ 提示　-<β-α<. 问题4 24 　已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，求β的值. 例 3 25 由cos α=，0<α<，得 sin α===. 由0<β<α<，得0<α-β<. 又∵cos(α-β)=， ∴sin(α-β)===. 26 ∵β=α-(α-β)， ∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =×+×=. ∵0<β<，∴β=. 27 反 思 感 悟 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 　已知α，β∈，且sin α=，cos β=，求α+β的值. 跟踪训练 3 ∵α，β∈， sin α=，cos β=， ∴cos α=，sin β=， ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. 又0<α+β<π， ∴α+β=. 29 1.知识清单： (1)两角和与差的余弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求角时忽视角的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1.cos 20°等于 A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°+sin 10°cos 30° cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. √ 1 2 3 4 2.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为 A.-　 B.　 C.-　 D. 原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos 60°=. √ 1 2 3 4 3.已知cos α=，α∈，则cos的值为 A.　 B.　 C.　 D. 因为α∈，所以sin α=-， 所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=. √ 1 2 3 4 4.若cos(α-β)=，cos 2α=，且α，β均为锐角，α<β，则α+β=　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 因为0<α<，0<β<，α<β. 所以-<α-β<0. 又cos(α-β)=， 所以sin(α-β)=-=-. 又因为0<2α<π，cos 2α=， 所以sin 2α==， 1 2 3 4 所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) =×+×=-， 又0<α+β<π，故α+β=. 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A B A B AC 0 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 D A C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为，， ∴sin α=，sin β=， 又∵α为锐角， ∴cos α==. (2)∵β为钝角， ∴由(1)知cos β=-=-， ∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. 因为<α<， 所以-<-α<0， 因为<β<， 所以<+β<， 由已知可得cos=，cos=-. 则cos(α+β)=cos=coscos+sinsin =×+×=-. 因为<α+β<π，所以α+β=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)∵=， ∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)=， ∴cos(α-β)=. (2)∵cos α=，cos(α-β)=，α，β为锐角， ∴sin α=，sin(α-β)=±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 当sin(α-β)=时，cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=. 当sin(α-β)=-时， cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0. ∵β为锐角， ∴cos β=0不符合题意，舍去. ∴cos β=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1.sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°的值是 A.　 B.　 C.　 D. 原式=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10° =cos(70°-10°)=cos 60°=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.设α∈，若sin α=，则cos等于 A.　 B.　 C.-　 D.- ∵α∈，sin α=，∴cos α=. ∴cos=cos αcos-sin αsin =(cos α-sin α)=×=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.向量a=(sin α，cos α)，b=(cos β，sin β)，且a∥b，若α，β∈，则α+β等于 A.0　 B.　 C.π　 D.π 由向量平行可得sin αsin β-cos αcos β=0， 即cos(α+β)=0， 又∵α，β∈， ∴α+β∈[0，π]，∴α+β=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于 A.-3m　 B.-　 C.　 D.3m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.若0<α<<β<π，且cos β=-，sin(α+β)=，则cos α等于 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵cos β=-<β<π，∴sin β=， ∵0<α<<β<π，sin(α+β)=， ∴<α+β<π，∴cos(α+β)=-=-， ∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-×+× =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是 A.-　 B.-　 C.　 D. 对比公式特征知，cos=cos(x+φ)， 所以φ=-+2kπ，k∈Z，结合选项知φ=-都合适. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 7.已知cos(α+β)=，cos(α-β)=-，则cos αcos β=　　　.  cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=， cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-， 两式相加可得2cos αcos β=0，即cos αcos β=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 答案 8.=　　 　　.  原式= = ==cos 15°=cos(60°-45°)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的纵坐标分别为，. (1)求cos α和sin β的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为， ∴sin α=，sin β=， 又∵α为锐角， ∴cos α==. 答案 (2)求cos(β-α)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵β为钝角， ∴由(1)知cos β=-=-， ∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-×+×=. 答案 10.若sin=-，sin=，其中<α<，<β<，求角α+β的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为<α<，所以-<-α<0， 因为<β<<+β<， 由已知可得cos=，cos=-. 则cos(α+β)=cos =coscos+sinsin =×+×=-. 因为<α+β<π，所以α+β=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 57 11.在△ABC中，sin A=，cos B=，则cos C等于 A.或 B.-或- C.- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 依题意得sin B=，sin B>sin A， ∴B>A，∴A为锐角. 又∵sin A=，∴cos A=， ∴cos C=cos [π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B =-×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.已知函数f(x)=sin 126°sin(x-36°)+cos 54°cos(x-36°)，则函数f(x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 因为函数的定义域为R，且f(x)=sin 126°·sin(x-36°)+cos 54°cos(x-36°) =cos 54°cos(x-36°)+sin 54°sin(x-36°)=cos[54°-(x-36°)]= cos(90°-x)=sin x，故函数f(x)为奇函数. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.已知sin α+sin β+sin γ=0和cos α+cos β+cos γ=0，则cos(α-β)的值是 A.　 B.　 C.-　 D.- sin α+sin β=-sin γ，cos α+cos β=-cos γ，两式分别平方，然后相加可得 2+2sin αsin β+2cos αcos β=1， 所以sin αsin β+cos αcos β=-， 即cos(α-β)=-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知0<α<π，sin=，则cos α=　 　　.  由0<α<π，得<α+<，又sin=<<α+<π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得cos=-=-， cos α=cos=coscos +sinsin =-×+× =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.《周髀算经》中给出了如图所示的弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积 之比为9∶25，则cos(α-β)的值为 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形的面积之比为9∶25，可得小正方形的边长为，可得cos α-sin α=， ① sin β-cos β=. ② 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， 所以①×②得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β -sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β) =1-cos(α-β)，解得cos(α-β)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知α，β为锐角，且=. (1)求cos(α-β)的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=， ∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)=， ∴cos(α-β)=. 答案 (2)若cos α=，求cos β的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵cos α=，cos(α-β)=，α，β为锐角， ∴sin α=，sin(α-β)=±. 当sin(α-β)=时，cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=. 当sin(α-β)=-时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 67 cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0. ∵β为锐角，∴cos β=0不符合题意，舍去. ∴cos β=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 68 第一章 <<< $$