第1章 平面向量及其应用 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1章 <<< 章末复习课 知识网络 知识网络 一、向量的线性运算 二、向量的数量积运算 三、余弦定理、正弦定理 内容索引 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 向量的线性运算 一 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于 A.(4，0) B.(0，4) C.(4，-8) D.(-4，8) √ 因为a∥b， 所以1×4=-2×m，解得m=-2，所以b=(-2，4)， 所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)=(4，-8). 例 1 7 (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=AB，则等于 A.+ B.- C.+ D.- √ 由题意，根据向量的运算法则，可得=-=-=-++)=-=×2-=-. 8 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 反 思 感 悟 9 　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于 A. B. C. D.2 跟踪训练 1 √ 10 因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+) =(λ-μ)+， 且=+ 所以λ+μ=. 二 向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB=3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点.若AD⊥AB，则·的值是 A.27　 B.-27　 C.9　 D.-9 例 2 √ 14 由D是线段BC上靠近B的一个四等分点， 可得=4， 又由AD⊥AB，可得·=0， 所以=-=4+=4(-)+=4-3， 则·=·(4-3)=4·-=-27. (2)已知向量a=(1，3)，b=(3，4)，若(a-λb)⊥b，则λ=　　　.  因为a-λb=(1，3)-λ(3，4)=(1-3λ，3-4λ)， 所以由(a-λb)⊥b可得，3(1-3λ)+4(3-4λ)=0， 解得λ=. 16 (1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①平行、垂直问题. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， a∥b⇔x1y2-x2y1=0， a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； 反 思 感 悟 17 ②求向量的夹角和模的问题. 设a=(x1，y1)，则|a|=. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ== . 反 思 感 悟 18 　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则·的值为 A.- B.-2 C. D.2 跟踪训练 2 √ 19 因为=-=-， 所以·=(-)·(-) =· =· =-+·- =-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2. 20 (2)已知平面向量a，b，c满足a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.  21 因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)， a∥b，b⊥c， 所以2×(-2)=1×λ，1×(-1)+(-2)μ=0， 解得λ=-4，μ=-， 所以a=(2，-4)，c=， 所以a+b=(3，-6)，b+c=， 所以cos〈a+b，b+c〉===. 22 余弦定理、正弦定理 三 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养. 　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=. (1)求∠C的大小； 例 3 由=化简整理得a2+b2-c2=ab，∴cos C==， 又∵0<∠C<π，∴∠C=. 25 (2)若△ABC外接圆的半径R=1，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状. 26 若△ABC外接圆的半径R=1，则c=2Rsin C=， 由余弦定理得3=c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab， 当且仅当a=b时，等号成立， ∴S△ABC=absin C=ab≤， 当且仅当a=b时，等号成立， ∴△ABC面积的最大值为， 由∠C=及a=b可知此时△ABC的形状为等边三角形. 27 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔∠A=∠B；sin(A-B)=0⇔∠A=∠B；sin 2A=sin 2B⇔∠A=∠B或∠A+∠B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A =等，通过代数变换将角的关系转化为边的关系. 反 思 感 悟 28 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1-sin2B-cos2C=sin2A-sin Asin B. (1)求∠C； 跟踪训练 3 29 由1-sin2B-cos2C=sin2A-sin Asin B及平方关系，得 sin2C+cos2C-sin2B-cos2C=sin2A-sin Asin B， 即sin2C-sin2B=sin2A-sin Asin B. 由扩充的正弦定理，得 c2-b2=a2-ab，即a2+b2-c2=ab. 由余弦定理，得cos C===， ∵0<∠C<π，∴∠C=. 30 (2)若∠A=，△ABC的面积为4，M为AB的中点，求CM的长. 31 由(1)知∠C=，∵∠A=，∴∠A=∠C， 即a=c，∠B=π-∠A-∠C=. ∵△ABC的面积为4，∴S△ABC=acsin B=a2sin=4，解得a=4. ∵M为AB的中点， ∴BM=AB=2， 在△BCM中，由余弦定理，得CM2=BM2+BC2-2·BM·BC·cos B=4+16-2×2×4×=28，即CM==2. 32 余弦、正弦定理在实际问题中的应用 四 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后要将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； 例 4 35 需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1；B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). 36 (2)用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 37 方法一　第一步：计算AM. 在△ABM中，由正弦定理，得AM=； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理，得AN=； 第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理，得 MN=. 38 方法二　第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理，得BM=； 第二步：计算BN. 在△ABN中，由正弦定理，得BN=； 第三步：计算MN. 在△BMN中，由余弦定理，得 MN=. 39 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 反 思 感 悟 40 　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 跟踪训练 4 41 如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处， 即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°，∠ACB=15°. 在△ABC中，=， 即=，∴AC=20. 过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角 ∠AGE最大， 在△ABC中，由面积公式知×BC×AG=×BC×AC×sin∠ACB. 42 ∴AG= =AC×sin∠ACB=20sin 15°， ∴AG=20×=10(-1). 在Rt△AEG中， ∵AE=AGtan∠AGE， ∴AE=10(-1)×=10-=， ∴塔高为 m. 43 第一章 <<< $$ 一、向量的线性运算 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 例1　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于(　　) A.(4，0) B.(0，4) C.(4，-8) D.(-4，8) 答案　C 解析　因为a∥b， 所以1×4=-2×m，解得m=-2，所以b=(-2，4)， 所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)=(4，-8). (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=AB，则等于(　　) A.+ B.- C.+ D.- 答案　D 解析　由题意，根据向量的运算法则，可得=-=-=-++)=-=×2-=-. 反思感悟　向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+) =(λ-μ)+， 且=+，所以解得 所以λ+μ=. 二、向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB=3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点.若AD⊥AB，则·的值是(　　) A.27　B.-27　C.9　D.-9 答案　B 解析　由D是线段BC上靠近B的一个四等分点， 可得=4， 又由AD⊥AB，可得·=0， 所以=-=4+=4(-)+=4-3， 则·=·(4-3)=4·-=-27. (2)已知向量a=(1，3)，b=(3，4)，若(a-λb)⊥b，则λ=　　　　.  答案　 解析　因为a-λb=(1，3)-λ(3，4)=(1-3λ，3-4λ)， 所以由(a-λb)⊥b可得，3(1-3λ)+4(3-4λ)=0， 解得λ=. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①平行、垂直问题. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， a∥b⇔x1y2-x2y1=0， a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题. 设a=(x1，y1)，则|a|=. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ== . 跟踪训练2　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则·的值为(　　) A.- B.-2 C. D.2 答案　B 解析　因为=-，=-， 所以·=(-)·(-) =· =· =-+·- =-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2. (2)已知平面向量a，b，c满足a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.  答案　 解析　因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)， a∥b，b⊥c， 所以2×(-2)=1×λ，1×(-1)+(-2)μ=0， 解得λ=-4，μ=-， 所以a=(2，-4)，c=， 所以a+b=(3，-6)，b+c=， 所以cos〈a+b，b+c〉===. 三、余弦定理、正弦定理 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养. 例3　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=. (1)求∠C的大小； (2)若△ABC外接圆的半径R=1，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状. 解　(1)由=化简整理得a2+b2-c2=ab，∴cos C==， 又∵0<∠C<π，∴∠C=. (2)若△ABC外接圆的半径R=1，则c=2Rsin C=， 由余弦定理得3=c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab， 当且仅当a=b时，等号成立， ∴S△ABC=absin C=ab≤， 当且仅当a=b时，等号成立， ∴△ABC面积的最大值为， 由∠C=及a=b可知此时△ABC的形状为等边三角形. 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔∠A=∠B；sin(A-B)=0⇔∠A=∠B；sin 2A=sin 2B⇔∠A=∠B或∠A+∠B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A=等，通过代数变换将角的关系转化为边的关系. 跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1-sin2B-cos2C=sin2A-sin Asin B. (1)求∠C； (2)若∠A=，△ABC的面积为4，M为AB的中点，求CM的长. 解　(1)由1-sin2B-cos2C=sin2A-sin Asin B及平方关系，得 sin2C+cos2C-sin2B-cos2C=sin2A-sin Asin B， 即sin2C-sin2B=sin2A-sin Asin B. 由扩充的正弦定理，得 c2-b2=a2-ab，即a2+b2-c2=ab. 由余弦定理，得 cos C===， ∵0<∠C<π，∴∠C=. (2)由(1)知∠C=，∵∠A=，∴∠A=∠C， 即a=c，∠B=π-∠A-∠C=. ∵△ABC的面积为4，∴S△ABC=acsin B =a2sin=4，解得a=4. ∵M为AB的中点， ∴BM=AB=2， 在△BCM中，由余弦定理，得 CM2=BM2+BC2-2·BM·BC·cos B=4+16-2×2×4×=28，即CM==2. 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后要将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 解　(1)需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1；B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). (2)方法一　第一步：计算AM. 在△ABM中，由正弦定理，得AM=； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理，得AN=； 第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理，得 MN=. 方法二　第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理，得BM=； 第二步：计算BN. 在△ABN中，由正弦定理，得BN=； 第三步：计算MN. 在△BMN中，由余弦定理，得 MN=. 反思感悟　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 跟踪训练4　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 解　如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处， 即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°，∠ACB=15°. 在△ABC中，=， 即=，∴AC=20. 过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大， 在△ABC中，由面积公式知 ×BC×AG=×BC×AC×sin∠ACB. ∴AG= =AC×sin∠ACB=20sin 15°， ∴AG=20×=10(-1). 在Rt△AEG中， ∵AE=AGtan∠AGE， ∴AE=10(-1)×=10-=， ∴塔高为 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$